快于奈奎斯特信号干扰概率密度函数的渐近级数展开

工程科学与技术，国际期刊20（2017）1507完整文章Faster-Than-Nyquist信号干扰概率密度函数的渐近级数展开祖希尔·巴赫里电子电气工程系，巴林大学，伊萨镇，巴林阿提奇莱因福奥文章历史记录：2017年11月11日收到2017年12月9日修订2017年12月15日接受在线提供2018年保留字：快于奈奎斯特（FTN）信令码间干扰（ISI）Gram-Charlier展开根升余弦 （ RRC ） 误 码 率（BER）A B S T R A C T跟踪最近的分析调查的符号间干扰（ISI）的统计特性，由于快于奈奎斯特（FTN）信令。一个渐近级数展开-基于Edgeworth展开，给出了ISI概率密度函数（PDF）的解。非平凡的彼得罗夫公式（埃奇沃思级数的紧凑形式）被扩展为更简单易用的形式，精确到14阶统计量。在此扩展中使用的ISI累积量是用FTN基本信令脉冲的幂级数来表示的。利用计算机模拟，我们illustrate的优点和局限性的Edgewol-Petrov（EP）的扩展相比，其以前使用的Gram-Charlier（GC）对应。也就是说，虽然前者具有更好的收敛轮廓时，ISI是由于FTN与可忽略的相位抖动，后者似乎是更理想的计算FTN与较大的相位抖动。提供了一些应用笔记，以进一步说明这些扩展结果的使用。©2017 Karabuk University. Elsevier B.V.的出版服务。这是CCBY-NC-ND许可证（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。1. 介绍快 于 奈 奎 斯 特 （ FTN ） 信 令 [1] 是 更 广 泛 的 非 正 交 时 频 信 令（NOTFS）[2]的特殊情况。近年来，由于其更高的频谱效率（SE）受到了广泛的关注在更稀缺的带宽上实现更快的通信。FTN已成功地应用于各种实际应用，如光学和光纤通信[3-FTN背后的想法是故意违反奈奎斯特标准（满足奈奎斯特信令速率 ） ， 通 过 超 频 发 射 机， 使 更 多 的 比 特 发 送 每 单 位 的 信 道 带 宽（BW）。然而，这种SE的增加伴随着引入符号间干扰（ISI）的成本，这降低了系统的性能。多载波FTN（MFTN）[1]（也称为称为时频打包（TFP）[14]）是FTN的扩展，其中在时间和频率上进行打包，以便进一步提高SE这又通过引入信道间干扰（ICI）而导致性能的进一步电子邮件地址：zkbahri@uob.edu.bh由Karabuk大学负责进行同行审查除了ISI。通常使用复杂的基于格架的接收器[1和其中的参考文献]，以便补偿这种降级。然而，尽管大量的文献ISI/ICI，很少有人注意到其统计数据的分析特性。大多数研究人员采取数值方法，努力miti-门的影响，使经典的假设，它是高斯分布。最近，对ISI/ICI的统计特性进行了分析研究[15]，并确定后者总是Platykurtative（亚高斯）。在某些条件下，ISI/ICI渐近地接近高斯特性[15]。从天体物理学到经济学，近高斯随机变量在许多不同的研究领域中都有涉及在这种情况下，Gram-Charlier（GC）展开已被广泛用于近似正态分布及其导数（Hermite多项式）的近似高斯随机变量的PDF但是，理论上是成立的，[16]GC展开不是渐近的，因为在级数中添加任何额外的项并不一定保证展开PDF更接近（在均方误差意义上）真实的PDF。另一方面，Edgeplan-Petrov（EP）扩展恰好提供了此功能。关于每一次扩张的优点，报道褒贬不一。理论上，EP展开比GC具有优势，因为前者已被证明[16]具有渐近行为，导致更好的https://doi.org/10.1016/j.jestch.2017.12.0082215-0986/©2017 Karabuk University.出版社：Elsevier B.V.这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。可在ScienceDirect上获得目录列表工程科学与技术国际期刊杂志主页：www.elsevier.com/locate/jestchSSMð Þð÷-ð Þð Þð Þm¼-1ð ¼Þ奥什米jjpPð ÞW^我2我SMw^2Z街1508号Bahri/Engineering Science and Technology，an International Journal 20（2017）1507收敛曲线和可控的残余误差。虽然这一事实得到了一些研究人员的支持[17]，但其他研究人员[18]指出，从计算的角度来看，EP展开的这种优势并不总是成立。尽管EP扩展的优点已经在几个应用中被探索，但是它们还没有被应用于FTN系统中的ISIISI PDF[19]的早期工作集中在使用GC展开，并报告了其非渐近行为，表现为振荡收敛问题，使其难以进行任何误差分析。这导致了对处理ISI分布的扩展方法的兴趣减少。这项工作是先前努力的后续工作[15]，旨在更好地阐明FTN导致的ISI的分析统计特征。因此，主要目的是研究使用EP系列在FTN系统ISI的背景下作为GC的替代品，这在开放文献中迄今为止还没有完成。我们将简化Petrov在这些扩展中使用的累积量应根据FTN基础信令的幂级数来复杂地表示脉搏了建议的优点、局限性和有用性rtpEX1dht-maTwt;1m¼-1其中Es表示符号能量。在这项工作中，我们专注于降低复杂度的逐符号检测器，例如Barbieri等人提出的检测器。[21]而不是更复杂的基于网格的序列检测器[1]。因此，接收器由匹配滤波器hωt和基于软干扰消除均衡器的检测器组成[21]。匹配滤波器的输出由下式给出：ytpEX1dh^t-maTw^t;2m¼-1其中，是由以下傅里叶逆积分定义的h：的自相关系数h^tZ1jHfj2ej2pftdf3-1并且w^t是零均值高斯ian，但是具有PSD的色噪声由下式给出：SfNojHfj2;4借助于计算机模拟和与最佳二进制检测器的误差分析有关的一些实际注意事项，说明了扩展。在这种情况下，我们说明，对于具有可忽略相位抖动的FTN系统，EP扩展，如理论预期的那样[16]，优于GC。这反映了前者然而，更明显的相位抖动似乎会对EP级数的收敛产生负面影响，使其不太适合ISI。事实上，初始模拟结果表明，一个可能的解释是ISIPDF变得双峰具有较大的相位抖动，从而影响适用于单峰接近高斯分布的EP展开的渐近行为。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们提出了FTN ISI问题的制定。第3节提供了一些与GC和EP扩展相关的背景材料。 在第4节中，我们提出了简化的截断GC和EP展开精确到14阶统计量。第5节介绍了一些计算机模拟来说明这两种扩展的优点和局限性。在第6节中，我们说明了这些扩展的使用通过评估简单二进制检测器的性能，方差等于R2 1/4No; 2/5 N其中，在上文中，Hf表示h t的傅立叶变换，并且Eq. （5）是由于Parseval逐符号检测器对y（t）i的单个样本进行操作，（2）在nT^n0;1;当相位抖动发生时，ISI的引入导致性能进一步下降。当输出y（t）在jbj60： 5处采样时，会发生这种情况在不失一般性的情况下，我们专注于对应于由下式给出的n/40的样本：yybT^w^bT^pEX1Dh^b-maT1/4d0h^baTEsnIw^bT^;6其中，n表示由FTN信令生成的ISI随机变量，并且由下式给出：进一步说明EP展开的渐近性质。最后，我们在第7节中总结和总结了这项工作。n¼pEX0DMh^b-maT;72. 问题公式化在这项工作中，我们限制治疗单载波FTN系统，在平坦的通道。因此，ISI不是由于时频信道色散，而是由于与可能的设dn表示由FTN系统传输的数据符号，假定为零均值、独立和均匀分布。我们假设一个单位能量基信号脉冲h_t_n（跨导其中0m表示所有整数m 在最近的研究[15]中，已证明nI总是次高斯分布.这促使我们使用下一节的GC和EP扩展。3. 背景：GC展开式用标准PDF及其导数表示ISI PDF。一个基于矩的紧凑形式的GC展开式由[16]给出：与信道组合的信道）被使用，并且dn超过-¼ ðÞ1-x2“X1#xe我以FTN信令速率T^-1aT-1计时，其中a为区间（0，1）。这里，T指的是标称符号间隔cor。pGCrIp2p2R21þk½2S2K H2Kx=rIð8Þ响应于奈奎斯特速率（导致零ISI）。我们也假设具有等于N0/2的双侧功率谱密度（PSD）的零均值加性高斯白噪声（AWGN）破坏了所发送的信号。因此，到达接收器的FTN信号由下式给出：其中求和仅包括偶数阶项（不包括k = 2），因为pGCx的偶对称性（由于对数据符号的零均值假设），并且r2表示变量我的机会注意等式中的第一项。（8）是高斯PDF，第二项（求和）是由于devi.Mð ÞXN2KC四分之一！ðÞ半]ð ÞC联系我们Þ2R2我Cfg！CC6^4Hnx Hm xep2dx¼阿文！2个p.！Km¼1C^12C^4C^8C^8.33Y其中，Ujx是由下式定义的矩生成函数：我j-IÞZ. Bahri/Engineering Science and Technology，an International Journal 20（2017）1507-15141509从高斯分布中分离出真正的PDF。这里Hn x是n阶的Hermite多项式，由下式给出：n=2]Hnxcnkx-;8x2R：109mmk¼0与4. 简化ISI PDF截断级数表达式在本节中，我们提供了前面几节中给出的ISI PDF展开的简化截断版本。我们用累积量而不是矩来重新表示GC展开，并提供ISI累积量的简单表达式，幂级数：我们提供的表达式是准确的K10nkk！两千块！2K并且n=2表示最接近n=2的最小整数。此外，Hermite多项式构成关于高斯核的正交基，即高达第十四阶统计量，超过了公开文献中可用的（通常仅高达第九阶统计量）。我们将把彼得罗夫（14）转换成更简单的使用形式。令Cjx表示ISI的累积量生成函数随机变量nI定义为Z1-x2-1. 0ffiffiffiffiffiffi对于n对于n/m;Cjxln½Ujx];17利用Hnx在Eq.（11）我们得到从等式（八）s¼ 1Z1H x=rxk¼ 2; 3.. .ð12Þ2K2KEfexng;18其中Ef：g表示期望值，j21/4 - 1。正式系列两千块！ -1个我GC对于C的幂，导致[16]使用等式（9）在Eq. （12）我们得到Kð -ÞCjxX1C2kjx2k;19秒2千分之四1Xc2kmM2km;k¼ 2; 3.. .ð13Þk½1 2k！其中C2 k是n I的累积量 其中C21/4r2。 全是奇数序的其中Mn表示nI的第n阶矩。在Eq.（8）已被用于过去的工作何和叶[19]。然而由于其振荡收敛问题的报告，没有进一步进行。事实上，这是一种非-由于ISI pdf的偶对称性，累积量被丢弃使用公式（17）和（19），ISI随机变量的矩生成函数由[16]给出：GC的渐近性质[16]。EP展开定理是X1C2k2kcally建立[16]拥有这个渐近特性并且构成GC的有吸引力的替代物关于asymp-r x2U盘x盘e2 ek½2两千块！jx ：200万EP展开的渐进收敛提供了更好的控制在误差分析中，由于扩展中的每个附加项，对第二指数项进行泰勒当量（20）导致保证了分辨率以进一步减小残余误差。这种行为将在即将到来的计算机模拟中说明---我.X1^两千！21 X1^2 k第二节。EP展开用比矩更容易使用的累积量来这是因为Ujxe241þk½2C2kjx02！k½2C2kjx你... . 5ð21Þ累积量具有与独立随机变量的和及其仿射变换相关的易于处理的性质[16]。彼得罗夫[20]将埃奇沃思展开推广为其中，为了简单起见，我们使用^2k来表示加权累积量，优雅紧凑的公式，不幸的是，需要求和指数与一些非平凡的组合，因此阻碍其直接应用。EP展开公式由[20]给出。碳^2kC2K22两千块！GC将jx的等（递增）幂项分组-x2pxe我“1X1r2pXHx=r一起这样做，GC扩展到第14个累积量是给出EP-100rp2ppI2M“的。 ！Ujxe-421000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000þðjxÞC8环21C4jx第1页km！fkmg1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000^4^68^C^2×1C2m×25分14秒。！其中n表示nI的n阶累积量，并且km表示由下式þðjxÞ^2^C14 C4 C10 C6 C82你... .#ð23Þk12k2· · ·pkp：15和uk1k2···kp：16在Eqs中的EP和GC ISI PDF展开的紧性（八）C6C14ð11Þ两千块！m0r2k-mr 4 m2m 2m2m！þðjxÞ10ðC^10þC^4C^6Þ þðjxÞ12^22þ！^346.ðÞ通过对方程中的Ujx进行傅里叶逆变换（FT），（23）.利用FT的微分性质和Rodriguesdnx2nX2e-2以及（14）以牺牲它们的易用性为代价。下一节dxne2Hn解决了GC和EP扩展的更简单的重新表述pGCx由下式给出：-我我C！C14ðÞð Þ-2r2C4“H我.. Σ6！C^^. Σ¼2014年上半年. Σ24r16H16C¼我þ120r20He我联系我们1℃4小时X1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000X1个C4HX半小时后，[rIp2p10℃10 ℃4 ℃6℃1012rIr14C 4C 10C 6C 8r42H1662““C10Z街1510号Bahri/Engineering Science and Technology，an International Journal 20（2017）1507X22r2^GCR.是的。Σ4我RIR6RI4^2.Σ2018年12月28日RI8x0的^2nM第一章.^^ ^. X轴RI^2^364R我. X轴其中P0m表示对所有非零整数s的求和。命题1的证明（留在附录A1中）。表1提供C1212H12rIEqs的显式求值（22）和（27），列出前20个加权ISI累积量.^^^^^C^2C^6！1我.x#�C14�C4�C10�C6�C8�214H14rI我... ：250万5. 计算机模拟参考方程式（21），EP扩展组的术语不根据jx的等幂，但根据相等的顺序[16]。这样做，并与逆傅立叶变换，EP扩展给出的紧凑公式在方程。（14）被简化（直到14阶累积量）为：2选择常用的根升余弦（RRC）（具有滚降因子r）用于基本信令脉冲h t，使用基于Par zen-Rosenblatt窗方法的核密度估计（KDE）来估计33位ISI范围被判定为这是一个很好的例子[15]。为 了 不 -XeIC^4. X轴“C^6. X轴C^2x#R对ISI进行平均，估计其均值和方差pEP100 ×100p1小时4小时4小时þ r6H6r2018年12月28日超过106个示例实现。 估计的归一化真实ISIRI2个p“C^8我. X轴我C^4C^6我我. xx3我8我我. x#然后，PDF也与归一化的高斯PDF一起绘制与EP和GC扩展产生的PDF 图 1描绘8H8rI10小时10分钟12H12Ia：75，b：0和r：1的情况下，而图。 二、对应^xþ R1010rI1^212C4C8H12XRI到a：1/40： 75，b：1/40： 2，和r：1/40： 1。可以看出，没有相位抖动（b0），EP展开比的GC。情况随着更明显的相位抖动而C^2C^6我^44rII. x#（b 0： 2）。这是由于ISI PDF分叉成一个双-模态分布，这一事实似乎更严重地影响了EP。为了定量地说明图1和图2的观察结果， 1和2以及“C^12Hx1、^ ^H. X轴说明EP的渐近行为，真实1.一、C^2C^8C^2C^4！. X轴C^3C^6. X轴R我RR4RIRR“pS2n ¼;n¼ 1; 2.. .ð28Þ6我12我14 RIþ16我4þ我þ我X4RCH. Σ2ISI加权累积量列表，最高阶数为20。8氯碳^4碳^12氯碳^6碳^10RI10 31S10= 1417512-691S12=93550表1C^5我20. x#^1414我X14rIOrdernWeightedcumulantC^n4-S4= 126S6= 451.一、C^2！ .X轴RIRIRRIþ 6418H18RIþ16我H168-17S8=2520.^3 ^2^ ！.Σ14 10922S14= 42567525R！CC1þC6C4C10HX621818 RI18 3202291S18= 97692469875我4720r24H24416-929569S16=1021620600020-221930581S20=18561569276250我4RI1.一、碳三碳八^2^24 6. X轴C^4C^6x第20章6þ4小时20RI24r22H22rIC^6H24我. x#···#：我注意，直到四阶累积量，GC和EP是一模一样请注意，扩展已被组织，以便每个子括号之间的一组项减少了残差并使扩展更接近真实的PDF值。这是渐近性质，区分EP展开在GC.这一点将在下一节通过com加以说明-计算机模拟。为了使这种扩展更实用，下面的命题将ISI累积量与幂级数