埃及数学学会期刊：环的Jordan *-导子和广义Jordan *-导子

-222222Journalof the Egyptian Mathematical Society（2014）22，11埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章关于环Nadeem ur Mrsman*，Abu Zaid Ansari，Tarannum Bano数学系，Aligarh穆斯林大学，Aligarh 202 002，印度接收日期：2013年2月7日;修订日期：2013年3月28日;接受日期：2013年4月8日2013年6月14日在线提供设nP1是一个固定整数，R是一个（n+1）！有单位元的挠自由 *-环若F，d：RfiR是两个可加映射，对任意的x2R，满足F（xn+1）=F（x）（x*）n+xd（x）（x*）n-1+x2d（x）（x*）n-2+···+xndd（x），则d是R上的Jordan *-导子，F是R上的广义Jordan *-导子.2000年数学潜规则分类：16W25、16N60、16W10？2013制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍在整个R中将表示具有中心Z（R）的结合环。环R是n-挠自由的，其中n>1是整数，当nx=0时，xR蕴涵x=0.通常 ，交 换子 xy yx将 由[x， y]表 示。 回想 一 下， 如 果aRb={0}意味着a=0或b=0，则R是素数，如果aRa={0}意味着a=0，则R是半素数。一个加法映射d：RfR称为导子，如果d（xy）= d（x）y+xd（y）对所有对x，y R成立，则称为约旦推导在d（x2）=d（x）x+xd（x）对所有x R都成立.每一个导子都是约当导子，但一般情况下，反之则不必成立。Herstein[8，定理3.3]的一个经典结果指出：*通讯作者。联系电话：+91 9411981427。电子邮件地址：rehman100@gmail.com（N.乌尔库尔曼），安萨里 。abuzaid@gmail.com（ A.Z.Ansari ） ，tarannumdlw@gmail.com（T.Bano）。同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：Elsevier特征不同于2的素环上的每个Jordan导子都是导子。Bresar和Vukman在文[5]中简单地证明了这个结果。Cusack[4]进一步将这一结果推广到了半质环上，指出2-torsion free半质环上的每个Jordan导子都是导子（参见[4]另一个证明。Bresar在[3]中引入了广义导子的概念：一个加法映射F：RfR称为广义导子，如果存在一个相关的导子d：RfR，使得F（xy）=F（x）y+xd（y）对所有对x，y R成立。一个可加映射F：R f R称为广义Jordan导子，如果存在Jordan导子d：RfR使得F（x2）= F（x）x+xd（x）对所有x R.在[1]中，Ashraf和证明了在具有交换子非零因子的2-挠自由环中，R上的每个广义Jordan导子都是广义导子。最近，Vukman[9]证明了2-挠自由半质环上的广义Jordan导子是广义导子.根据[2]，一个加法映射d：R f R称为Jordan三重导子，如果d（xyx）= d（x）yx+xd（y）x+xyd（x）对所有x，y R成立.我们可以很容易地证明2-挠自由环上的任何Jordan导子都是Jordan三重导子（参见例[2]，其中可以找到进一步的参考文献布雷萨尔1110- 256 X？ 2013制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2013.04.011关键词加法映射、半素环与对合2nn···22222n2Xi n iXi n iXi n iX.1+ xd（x）（x）+ x d（x）x+···+xd（x）对于1/112..12牛顿。乌尔·萨勒曼等人[2]证明了2-挠自由半质环上的Jordan三导子是导子。 受广义Jordan导子定义的启发，Jing和Lu [10]引入了广义Jordan三重导子的概念：如果存在Jordan三重导子d：RfiR使得F（xyx）= F（x）yx+xd（y）x+xyd（x）对所有x，y R成立，则称加法映射F：R fiR是R上的广义Jordan三重导子。受广义Jordan三元导数定义的启发，最近Dhara和Shrama[7]F（xn+1）= F（x）（x*）n+xd（x）（x*）n-1+x2 d（x）（x*）n-2++ xd（x），则d是Jordan *-导子，F是R上的广义Jordan *-导子.证据 鉴于Fxn1F xxωndxxωn-1x2dxx ωn-2···xdxXn证明了以下定理：定理1.1. 设nP1是一个固定的整数，设R是an（n+1）！-任何环无挠 如果F：R f R且d：R f¼FðxÞðxωÞnþ1/1xi d<$x<$$> xω<$n-i对于所有x2R：Q12： 10R是两个满足F（xn +1）的可加映射将公式2.1中的x替换为e，我们得到n n-1 2n-2 nFeFeeωnPne i deeωn-i. 根据引理2.1，我们所有x R。则d是Jordan导子，F是广义Jordan导子。环R上的加法映射x ′ x*称为对合，如果（x*）*=x和（xy）*= y*x* 对所有x，yR成立.的环具有对合的环称为具有对合的环或*-环。一个加法映射d：R f R被称为 *-导子（或Jordan *-derivation）如果d（xy）=d（x）y*+ xd（y）（resp. d（x2）= d（x）x*+xd（x））对于所有x，yR.一个加法映射F：R f R被称为广义 *-导子（或 广义Jordan *-导子），如果存在一个 *-导子（Jordan*-推导）等的F（xy）=F（x）y*+xd（y）（resp.F（x2）= F（x）x*+xd（x））对于所有x，yR.如果F：RfR和d：RfR是可加映射，满足Fxn1F xxωnxdxxωn-1x2dxxωn-2···对于所有的x R。根据定理1.1，很自然地要求加法映射满足（1.1），意味的得到F（e）= F（e）+nd（e）。 这意味着nd（e）=0，并且由于R是n-挠自由的，我们得到d（e）=0。在（2.1）中用x + ke代替x，其中k是任何正整数，我们得到Fxk en1F x k exke ωnn你知道吗？1/1¼ ðF ðx ÞþF ðke ÞÞðxωþke Þnnþ ðx þke Þd ðx þke Þðxω þke Þ-1/11/4Fx kF exω kennþðxþkeÞdðxÞðxωþkeÞ-:ð2:2Þ1/1经过扩展，我们发现，F.xn1。n1xnk。n1xn-1k2···kn1eF（x2）=F（x）x*+xd（x）和d（x2）=d（x）x*+xd（x），x 2R。在最近的一份文件Dhara等。”[6]他研究了这个问题。1.ωn2.nωn-1命题F（xm+n+1） =F（x）xm+n+xmD（x）xn，其中x在非中心上，素环R的实李理想，其中F和D都是¼ ðFðxÞþkFðeÞÞ ðxÞþ1公斤R的广义导子，进而确定F与D的结构之间的关系。在本文中，我们- 是的nxωnxiþ···þ1/1ii-2x2ki-2在 *-环的情形下改进了定理1.1，并具有与[6]相同的性质。事实上，它表明，加性映射，我小行星-1我是一个很好的朋友。xωn-in-i-2n-1- 2F，d：RfiRon an（n+1）！-挠自由 *-环R满足.n-iωn-i-1n-i（1.1），意味着d（x2）=d（x）x*+xd（x），F（x2）=F（x）x*+xd（x）对所有x2R.2. 主要结果我们从下面的引理开始讨论，乌斯怀亚1号 xkk e现在，使用（2.1），我们得到F. .n1xnk。n1xn-1k2···kn1e主要定理的证明*1/4k FexωnFxk Fe。. n<$$>xω<$n-1k引理2.1. 设R是具有对合 * 的环，则有e，其中e是R的单位元.=e，- 是的nxωnn-2ΣðxωÞ2kn-2证据因为e=（e*）*需要结果。H=（ee*）*=ee* =e*。 这得到n海恩-1 xωkn-1n1/1xidx。. n-ixω22= F（x）x.X1定理2.1. 设nP1是一个固定的整数，R是一个（n+1）！具有单位元e的挠自由 * -环如果F，d：R∈R是两个可加映射，满足你好n-i n-i-2{\fn黑体\fs22\bord1\shad0\3aHBE\4aH00\fscx67\fscy66\2cHFFFFFF\3cH808080}n-i n-i-1xωkn-i-1X...Σ21.CB2 22···2nC2.求的结果。关于环中尼岛 我也是。 我2xi-1kx2ki-2由于R是（n+1）-挠自由的，则联系我们I-2对于所有x2R，Fx2Fexω2dxxωxdx我小行星-1我是一个很好的朋友。xωn-ixωn-i-1k···并且我们还得到F（x）= F（e）x*+d（x）对所有xR。在先前的关系中，将x替换为x2，我们得到：- 是的n-i{\fn黑体\fs22\bord1\shad0\3aHBE\4aH00\fscx67\fscy66\2cHFFFFFF\3cH808080}n-ixωkn-i-1F x2F e xω2D x2二比四n-i-2n-i-1ð Þ¼ð ÞðÞþð Þ ð Þ这可以写成kf1xω;ek2f2xω;e···knfnxω;e^0对于所有x2R;其中fi（x*，e）是ki0s的系数，对于所有i=1，2，. . ，n.现在，将k替换为1，2，. . ，n，并考虑所得到的n个齐次方程组，我们得到该系统的结果矩阵是Van der Monde矩阵011···11通过等式（2.4）和（2.3），我们发现，dx21/4d xxωxdx，对于所有x2R：2：5现在，由公式2.3，我们可以写出F x2Fexω2d x xωxdx对于所有x2R，1/4 Fexωdxxωxdx：使用上面的F（x）=F（e）x*+d（x），我们得到B CF（x2）=F（x）x*+xd（x）对于所有x2R.因此，我们得到了重新-B@。..：.···一nn2···nn由于矩阵的行列式等于正整数的乘积，每个正整数都小于n，并且由于R是（n +1）！-无挠，它立即遵循 fi（x*，e）= 0对所有x R和i=1，2，. ，n.现在，f n（x*，e）=0意味着，对于所有x2R，这产生nF（x）=nF（e）x*+nd（x）。由于R是无挠的，我们得到对于所有x2R，Fx Fexωdx：同样，fn-1（x*，e）=0给出，nn<$n<$1<$F<$x2<$12nF<$x<$xω<$n<$n-1 <$F <$e <$1<$xω<$2<$n<$1<$d<$x<$n <$n-1 <$d <$x <$xω对于所有x2R：由于R是n-挠自由的，则我们得到对于所有x2R，因为我们有F（x）=F（e）x*+d（x）。在上面的关系中使用这个，我们发现，n1/2Fexω2 2dxxωnFexω2-Fexω2nxdxxd xdxxxω-dxxxωn确认作者感谢裁判员的宝贵建议。引用[1] M. Ashraf，N.张文，论环上的Jordan广义导子，国立中山大学数学系，2000年，第42期 ， 第 7-10页。[2] M. 张 文 龙 ， 等 . 半 素 环 的 Jordan 映 射 ， 代 数 学 杂志127（1989）218-228.[3] M.张文龙，等.[4] J.M. Cusack，Jordan derivations in rings，Proc. Am.数学协会53（2）（1975）321[5] M. Bresar，J. Vukman，质环的Jordan导子，Bull。Aust.Math.Soc.37（1988）321-324.[6] B. 达拉河谷De Filippis，R.K.Sharma，李理想上的广义导子和左乘子，Aequat。数学 81（2011）251- 261。[7] B. Dhara ， R.K. Sharma ， On additive mappings in ringswithidentity element ，Int. Math. Forum 4（15）（2009 ）727-732。[8] I.N.赫斯坦，《环论论题》，芝加哥大学出版社，芝加哥，1969年。[9] 吴志文，半质环的广义导子，台湾数学杂志，11（2）（2007）367[10] J.Wu，S.吕文，素环与标准算子代数上的广义若当导子，台湾数学杂志，74（2003）605- 613。