奇异平面混合方程的矩形区域上Laplace方程边值问题的近似解及评估

Journalof the Egyptian Mathematical Society（2012）20，87埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章奇异平面混合方程曲矩形区域上Laplace方程边值问题A.O. El-Refaie，E.K.Rawy*，H.A.Z.哈桑埃及吉萨开罗大学理学院数学系2011年9月20日收到; 2012年2012年12月1日可在线查阅本 文 用 一 种 基 于 Trefftz 方 法 （ TM ） 变 形 的 混 合 方 法，结合通常的边界配置法（Boundary Collocation Method，简称BLM），求出了矩形区域上Laplace方程奇异二维混合边值问题的近似解。有一个弯曲的边的有喉的薄片。在将解表示为调和试函数的有限线性组合之后，通常的TM用于在弯曲侧上强制边界条件，而TM的变体应用于其余三个侧。通过用一个在一个角上具有奇异性的调和函数来充实展开式，从而处理矩形的一个角上的奇异性。该过程最终产生一个矩形的线性代数方程组，这是解决QR分解方法。数值结果进行了介绍和讨论，以评估所提出的方法的效率。2012年埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍求解偏微分方程边值问题的半解析方法得到了越来越多的发展*通讯作者。电子邮件地址：enaamkhalifa@yahoo.com，as_al1984@yahoo.com（E.K.Rawy）。同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：Elsevier在过去的几年里，由于它们在处理复杂几何形状方面的效率和灵活性，特别是随着快速计算机的出现，它们很受欢迎。这些方法都是本质上的近似方法，其目的是寻找相对简单的解析公式来近似问题的解，同时又保留精确解的主要特征。半解析方法有两个主要的发展方向：（1）从一开始就为近似解选择一个完全满足微分（场）方程的表达式。然后，任务简化为使用众所周知的技术（Galerkin型方法、边界配置方法、最小二乘法[1]）近似满足边界条件。Trefftz1110- 256 X？ 2012埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2012.08.014关键词拉普拉斯方程;混合边值问题;边界配置法;角奇异性@U12nn.ΣðÞ¼þðÞp2ð-Þ1-XR&D公元88年El-Refaie等人此分类上一篇：[2](ii)若要使用的边界表示，请使用边界条件解，通过该解，@U22的未知函数问题表示为一组边界积分以及包含未知数的代数方程这通常使用格林函数技术进行Laplace方程[4-12]属于边界过程族，它是求解二维边值问题的最简单的数值方法之一Barta于1937年首次使用该方法分析均布或集中载荷作用下的固支方薄板。它的优点在于数值解的高精度和计算机编程的简单性。该方法的基本特点是将解展开为一组完全满足微分方程的函数的线性组合，称为试在本例中，这些是调和函数。在一定数量的边界点处强制执行边界条件，通常会产生过度威慑，的系数的线性代数方程组的挖掘系统@n<$0;y<$g xxhx<$1-xx1;06x6 1;@h<$0;h<$0;06r6 1;U¼ -2 r;x ¼ 1;0 6y6E和y1/4E;06x6 1;ð2Þ其中（r，h）是如图1所示的极坐标，n是单位向内法向量，h是常数。该问题模拟了具有两个绝缘体的弯曲矩形中的稳态热传导。在其他两侧设置温度。 需要研究曲边对解的影响。文[13]中讨论了直矩形的对应问题。近似解采用以下形式：XNUa r;h a0nrcosnhn1扩张。当边界点的数量满足的边界条件等于自由度的数量（即膨胀系数的数量），则该方法被称为在这种情况下，线性代数方程组是平方的。在求解拉普拉斯方程的二维边值问题时，经常使用两组试探函数Trefftz方法（TM）最早于1926年提出。根据TM，边界条件的验证产生了一个这对[13]中产生的解析解的分析表明混合二阶导数的行为类似于4ln 1 x，当沿着边界的上侧接近右上角（1，E）时[14]。其他二阶导数在这一点上是正则的。具有这种行为的调和函数可以取为[13]。nx;y2q2lnqsin2/q2/cos2/;4p（q，f）是以右上角为中心的极坐标q 1/2[1-x2 [2]E-y2]1; /1/4tan-1E-y：105μm弯曲侧的边界条件：然后在边界傅立叶展开中展开函数@U22根据一组适当选择的正交三角函数功能协调发展的将近似水平所需的边界函数的傅里叶系数等于零，得到展开系数的线性代数方程组的矩形系统。本文用TM和ETM两种方法求出了一个弯曲矩形薄板的稳态温度分布，当温度在两个相邻的边上指定我们将在弯曲的一侧使用TM，在那里边界上的几何形状不简单;至于其他三个侧面，我们将使用TM。由此产生的系统的线性代数方程组求解使用QR-因子分解技术。我们注意到，所提出的两种方法的性能在很大程度上取决于一组试验函数的选择这些可以通过检查边界点处的解的局部行为来构造。一旦适当地选择了这一集合，这两种方法就很容易适用于处理二维和三维中更复杂的微分算子、边界几何和边界条件2. 问题表述和解决方案考虑拉普拉斯方程在弯曲矩形区域中的混合边值问题DU¼0;0

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