Journalof the Egyptian Mathematical Society（2016）24，295埃及数学学会埃及数学学会会刊www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate原创文章顾客到达相关且服务状态依赖的有限排队分析A. BanerjeeDepartment of Mathematical Sciences，Indian Institute of Technology（BHU），Varanasi-221005，India接收日期：2014年6月18日;修订日期：2014年11月8日;接受日期：2014年11月30日2015年2月19日在线发布摘要本文讨论了服务依赖于工作负载的有限容量排队问题。顾客到达遵循马尔可夫到达过程（MAP）.在现代电信网络中，由于消息具有突发性和相关性，MAP是一种非常有效的到达过程，可以用来模拟消息流服务时间，这取决于在服务初始时刻的队列长度，被认为是一般分布。得到了不同时刻的队长分布和关键性能指标。最后，对一些数值结果进行了讨论，以说明所考虑的模型的解析分析的数值相容性。2000年数学科目分级： 60K25; 68M20; 90B22版权所有2015，埃及数学学会. Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。1. 介绍在许多实际的排队情况下，等待服务的用户的长队列是相当常见的，这反过来又导致较差的系统性能（其根据丢失/拒绝/阻塞概率来测量）。为了避免这种不方便的情况，决策者往往决定控制到达率或服务率，以减少阻塞概率或干扰。电子邮件地址：anuradha. iitbhu.ac.in，anuradha. yahoo.in同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：Elsevier管理。为了防止电信网，特别是ATM（异步传输模式）网中的拥塞，人们研究了各种过载控制模型（Jain[1]）。Choi 和 Choi[2] 、 Choi 等 人 [3] 、 Sri-ram 和 Lucantoni[4] 、Banerjee和Gupta[5]、Banerjee等人[6]等在前面讨论了通过控制服务速率进行过载控制特别地，Choi和Choi[2]分析了有 限 排 队 ， 其 中 客 户 根 据 马 尔 可 夫 调 制 泊 松 过 程（MMPP）到达，服务长度依赖于服务。他们认为，如果在服务初始时刻的队列长度小于或等于一个阈值限制（例如，L），则服务时间服从G1分布，而如果在服务初始时刻的队列长度超过阈值限制，则客户的服务时间分布为G2。他们得到了在出发时刻和任意时刻的队长分布。他们还获得了性能指标，即。损失概率、平均等待时间等。S1110-256X（15）00011-5 Copyright 2015，Egyptian Mathematical Society.制作和主办：Elsevier B.V. 这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2014.11.005关键词阻塞概率;有限阻塞器;马尔可夫到达过程（MAP）;排队;长度相关服务296A. Banerjee===== ≤ ≤ ==+=+=×=-本文考虑了一类到达服从MAP的有限容量调度模型。具有矩阵表示（Q，h）的MMPP是具有矩阵表示（C，D）的MAP的特殊情况。也就是说，如果考虑QCD和hD后到达过程MAP将简化为MMPP。在本文中，客户的服务时间分布被认为是Gn，即，客户的服务时间取决于在客户的服务启动时期存在于系统中的客户的数量（N），并且通常也是分布的。因此，对于Gn G1（1n L），Gn G2（n> L），Dh和Q C D本文提出的模型将简化为Choi和Choi[2]讨论的模型。因此，本文所考虑的模型比Choi和Choi[2]所考虑的模型更一般和复杂。在这里可以注意到，本文中得到的结果不能从[2]中推导出来，而[2]中得到的结果可以作为特例从本研究中推导出来本文的分析是这样进行的：第一次离开历元概率已获得通过使用嵌入马尔可夫链技术。然后利用补充变量技术，将补充变量视为顾客的剩余服务时间，得到了任意离开时期概率与离开时期概率之间的关系。还得到了到达时刻排队顾客数的分布。性能指标，如平均数的客户在队列中，阻塞的概率和平均等待时间的客户在队列中已经获得。然后讨论了服务时间分布为相位型（PH-分布）时的计算过程。这里应该注意的是，许多分布（即指数分布、超指数分布、次指数分布、Erlang分布、Cox分布等）在连续时间中，建立可以通过PH分布来近似。最后，利用自解释图作为顾客规模对性能指标的影响，对顾客服务时间与队长无关和顾客服务时间与队长相关的服务进行了比较研究。这些比较研究证实了这样一个事实，即我们的模型比服务时间与队长无关的为了便于说明，我们用MAP/Gn/1/N表示该模型，以供以后参考。这里可以注意到，在一个特殊情况下，当Gn G，即，当顾客的服务时间与排队长度无关时 ， 模 型 简 化 为 简 单 的 MAP/ G/1/N 排 队 （ Gupta 和Laxmi[7]）。Gupta和Laxmi[7]使用有限/无限缓冲器分析了MAP/ G/1，并使用补充变量技术获得了出发、任意和到达时刻队长分布之间的关系。然而，他们没有提供计算程序和数字说明。从本文的研究中可以很容易地得到MAP/G/1/NATM网络支持话音、数据和视频等具有不同业务特性的多种业务在B-ISDN/ATM网络中，语音、视频、数据的IP分组或信元在统计复用的基础上通过一个公共的传输信道发送。这些数据流被统计复用并以超高速传输。而且，可以看出，现代通信网络中的传输是高度不规则的（例如，突发的和相关的）。这种传输的一个很好的表示是马尔可夫到达过程（MAP）。因此，本文所讨论的模型可以用来控制拥塞的网络，通过控制传输速率（服务速率）取决于在队列中等待的数据包的数量（队列长度）。近年来，人们对以MAP为输入过程的排队系统的分析越来越感兴趣，MAP是一类丰富的点过程，包含许多常见的到达过程，如Poisson过程、中断Poisson过程（ IPP ） 、 PH 更 新 过 程 、 马 尔 可 夫 调 制 Poisson 过 程（MMPP）等。后来，已经广泛地研究了具有MAP的嵌入模型，例如，[9关于MAP的最新发展，参见[16所提出的模型的现实生活中的应用，可以观察到在现代电信网络，即先进的无线和移动互联网网络。对高速无线互联网接入、语音和多媒体应用的需求导致3G和4G等技术的普及IEEE802.16是一种电信标准技术，被设计为支持多媒体应用的各种无线和有线宽带接入，期望提供服务质量（QoS）。基本的IEEE 802.16系统由一个基站（BS）和一个（或多个）用户站（SS）组成。BS充当传输所有类型的数据（语音、视频、数据等）的发射机。传输通过两个独立的信道进行，即下行链路信道（从BS到SS）和上行链路信道（从SS到BS）。在互联网传输的情况下，下行链路比上行链路获得更高的优先级。该因特网传输流系统可以被建模为无线信道上的多媒体数据传输系统，其中分组在发射机（BS）处排队由于IEEE802.16标准中的入站业务具有不规则性和突发性，导致到达时间相关性，因此可以使用MAP对到达过程进行建模。由于2G和3G系统的迅速普及，有必要开发新的拥塞控制方案以减少队列长度、等待时间和拒绝（阻塞）概率。在这个方向上，如果考虑BS根据队列大小向SS发送数据，则可以将系统建模和分析为具有MAP的队列长度相关的服务队列，这在本文中已经完成（分析）。这种分组传输方案（例如，从BS到SS）增强了系统的总体效率以及改进了QoS。图1示出了上面讨论的数据传输系统。本文的其余部分组织如下。在第二中，给出了模型的描述及其在不同时期的分析第五详细说明了服务时间服从相型分布时的计算过程.第4节和第5节分别给出了系统性能指标和数值结果。本文最后在第6中作了一些总结性的评论。2. 模型描述和解决方案考虑一个单服务台排队系统，顾客的到达服从马尔可夫到达过程（MAP），m维矩阵表示为（C，D）。生成器Q控制着控制到达过程的连续时间马尔可夫链cess，则由QCD给出。设δ表示生成元为Q_∞的马氏过程的平稳概率向量。也就是说，δ是满足δQ<$0，δe1的唯一（正）概率向量。平稳MAP的基本到达率由λπδDe给出。这里e和0是m1分别为1和0有关此主题的更多详细信息参见，Lucantoni等人。[8]的一项建议。顾客到达相关且服务状态依赖的有限排队分析297+¸≤ ≤≤ ≤=DT联系我们.联系我们=图1IEEE 802.16网络中的框架。服务器一次只为一个客户服务。该队列具有大小为N>1的有限容量，因此在任何时候系统中最多可以存在N假设一个客户的服务时间是一般分布的，并且取决于在该客户（包括该客户）的服务启动时刻队列中存在的客户数。具体地，令Tn（1nN）为服务时间客户，其中n（1 nN）是客户数量， 在客户的服务启动时期的队列（包括-利用分布函数Hn（·），概率密度函数Hn（·），Laplace-StieltjestransformHn（s）=∞e−suhn（ u） du（Res≥0）和顾客平均服务时间是hn= −Hn<$（1）（0），其中Hn<$（1）（0）是Hn<$（s）的导数dP（0，t）P∈（0，t）C，DTdP<$（n，t）=P<$（n，t）C+P<$（n−1，t）D，n≥1，其中P=（0，0）=I.这些基质，关联与的计数过程N（t），J（t），t0，在文献中已作了较为深入的研究。Neuts和Li[22]给出了它们的计算公式和一个有效的计算程序。很容易证实，∫一Xk t dH 1nn0的KNn 不对该模型进行了稳态分析，将使用嵌入式马尔可夫链应用程序进行操作n， k（）=P（，）0∞n（），≤≤，≤ ≤ −，方法和补充变量技术，因为服务时间被假定为一般分布。一是看看半马尔可夫过程中嵌入的点，An， k（x）= An， l（x），1≤n≤N， k=N-n+ 1，L kBxx0x uDAu du 0k N1=一个客户的分离。为了达到这个目的，让我们定义广场m阶矩阵An，k（x）和B0，k（x），其中x≥0，如下0，k（）0.P（，−）B0，l1，k（），≤ ≤ −，（An，k（x））ij]=Pr{给定在时间0的离开，在队列中留下n（1≤n≤N）个顾客，并且到达过程在阶段i，下一个离开不迟于时间x发生，到达过程在阶段j，并且在该服务期间k（ k≥0）个顾客到达}，（B0，k（x））ij=Pr{给定在时间0的离开，在队列中留下0个顾客，到达过程在阶段i，下一个离开不迟于时间x发生，到达过程在阶段j，并且在该服务期间k（k≥ 0）个顾客到达}。设tN（t）和J（t）表示，确切地说，在（0，t]到达的客户和在时间的MAP的相位t. m个trices，P_n（n，t），n_0，t_0，whose（i，j）thentryde-作为p∈i， j（n，t）=P r{N∈（t）=n，J（t）=j|N（0）=0，J（0）=i}.（一）这些矩阵满足以下微分方程为便于后续使用，我们定义An， k=An， k （ ∞ ） ， 1 ≤n≤N ，0≤k≤N−n ， An ， k=An ， k （ ∞ ） ， 1≤n≤N， k=N−n+ 1，B0，k=B0，k（∞）=D<$A1，k，0≤k≤N−1，B0，N=B0，N（∞）=D<$A1，N，（2）其中D=（−C）−1D（Lucantonietal. [8]）。0∞在s=0时计算。X轴元素（An， k（x））ij和（B0，k（x））ij分别定义为B0，N（x）=L=N298A. Banerjee}联系我们联系我们+≤ ≤≥⎢00AA。. . AA≤ ≤N. 未知量πn可以通过以下方式获得：0˜ ˜ ˜˜ ˜˜˜+NN.-是的. . ..∫∞π+P=π+，π+e=1，∗∗∗∗=˜∗−苏2.1. 出发时刻的队长分布在这一节中，给出了在离开时刻，排队顾客数和到达过程相位已获得使用嵌入式马尔可夫链技术。为此，让Nn+和Jn+分别表示队列中的客户数和客户第n次离开后则离散时间过程（Nn+，Jn+），n0构成状态空间为（i， j）的二维马尔可夫链，0i N， 1jM.现在，在离开之后立即观察系统，如下获得上述马尔可夫过程的转移概率矩阵（TPM）PB0，N−1 B0，N ⎤让我们定义向量p和π（n，u），0 nN， u0，或 阶m，其第j个分量分别由pj和πj（n， u）给出。 然后将系统在时间t和t dt的状态联系起来，并使用补充变量技术，在稳态下，我们有以下（矩阵）微分方程。0=pC+π（0， 0），（4）D-duπ（0，u）=π（ 0，u）C+h1（u）π（ 1， 0）+h1（u）pD，（5）D-duπ（n， u）=π（n， u）C+hn+1（u）π（ n+1， 0）+π（n−1，u）D， 1≤n≤N− 1，（6）A1， 0A1，N−1A1，N ⎥D-π（N， u）=π（N， u）（C+D）+π（N−1，u）D。（七）P=02，N−2 2，N−1杜（三）3， 0 3， 1 3，N−3 3，N−2....定义π（n， u）的拉普拉斯变换为十万。 . .一N，0AN，1π（n， s）e0π（n， u） du，0≤n≤N，Res≥ 0，设πi+（n），0nN，是存在的联合概率n个顾客，顾客r离开后到达过程的状态为i（1 ≤i≤m）。进一步定义π+（n）=（π1+（n），π2+（n），. . . ，πm+（n）），0≤≤（）其中π+=（π+（0），π+（ 1），···，π+（N））是维数为（N+1）m的向量。2.2. 任意时刻的队长分布在这一节中，已经得到了任意时刻的排队顾客数和到达过程的相位的联合分布为此，我们将系统在时间t的状态定义为：• Nq（ t）是排队等待的顾客数并观察π（n）<$π<$（n，0）=<$∞π（n，u）du，0 ≤ n ≤ N.（8）现在将（5）-（7）乘以e-su并对u在0到∞之间，我们有−sπ（0，s）+π（ 0， 0）=π（ 0，s）C+H1（s）π（ 1，0）+H1（s）pD，（九）−sπ<$（n， s）+π（n，0）=π<$（n， s）C+Hn<$1（s）π（ n+1， 0）+π<$（n−1，s）D，1 ≤n≤N− 1，（10）−sπ（N， s）+π（N，0）=π（N， s）（C+D）+π（N−1，s）D。（十一）将4和（9）服务，•J（ t）是下式的基本马尔可夫链的状态MAP和• U（ t）是服务.n=0例π（n，s）e=1−H1（s）Sπ（0，0）e+.n=11−Hn（s）sπ（n，0）e.（十二）(if任何）。• （t）是服务器的状态，即，在（12）中取极限s→0，N N. 1，如果服务器是用户，0， 如果服务器空闲。.π（n）e = h1π（0，0）e +.h nπ（n，0）e，n=0例Nn=10AA⎥⎦解方程（t）=B0， 0B0， 1B0，2B0，3. . .A1， 1A1、2A1，3. . .顾客到达相关且服务状态依赖的有限排队分析299.p+结果将被使用。t→∞= ≤ ≤π（˜让我们定义为1≤i≤m，1−pe=h1π（ 0， 0）e+hnπ（ n， 0）e。（十三）n=1pi（t）=Pr{Nq（ t）=0，J（ t）=i，Nq（ t）= 0}，使用（8）和归一化条件eNn=0例 π（n）e=1，πi（n， u;t） du=Pr{Nq（ t）=n，J（ t）=i， u U（ t）<≤u+du，n（ t）=1}，0≤n≤N， u≥ 0.将稳态概率定义为pilimpi（ t）， 1i m，t→∞πi（n，u）= lim πi（n，u; t），1 ≤ i≤ m，0 ≤ n ≤N.得到了上述关系式在给出{p，π（n）}和{π+（n）}之间的关系之前，让我们首先导出以下关系：这里可以注意到，由于π+（n）和π（n，0）彼此成比例，因此，+n）=dπ（ n，0），0 ≤n≤N，（14）其中d是比例常数。下面的引理给出了d的表达式。300A. BanerjeeN.˜π（nn0的引理1，在少量操作之后，期望的结果（16）是证据在 n 的 范 围 内 对（14）的 两 边 求 和 ，n=0π（，并且使用（14），期望的结果（15）是递归过程中，获得所需的结果（17）与=表1研究了m = 2，λ = 3的MAP/PH n/1/30排队系统在不同时刻的顾客数分布. 999.nπ+（n）˜π（n）π−（n）j=1Jj=1j=1J00.000373140.000269740.000642890.000791880.000578300.001370190.000765190.000612810.0013779910.000797070.000583200.001380270.001427660.001047460.002475120.001380140.001106630.0024867620.001436370.001054510.002490880.002407200.001769930.004177130.002327540.001867320.0041948730.002420880.001780930.004201810.003855250.002839840.006695090.003728330.002992570.0067208940.003875660.002856350.006732010.005886970.004344110.010231080.005694110.004572530.0102666450.005915940.004367690.010283620.008587890.006348130.014936030.008307920.006674500.0149824260.008627020.006380190.015007210.011987900.008876380.020864280.011598960.009322590.0209215570.012038220.008917940.020956160.016036550.011893820.027930380.015518710.012478460.0279971780.016098270.011945210.028043490.020587340.015293690.035881040.019925640.016028810.0359544590.020659550.015354380.036013930.025397100.018896530.044293630.024584530.019784750.04436928100.025477690.018964990.044442680.030144070.022463140.052607210.029183960.023495710.05267967110.030229880.022536930.052766820.034463720.025720900.060184620.033370870.026877200.06024806120.034550820.025796910.060347730.037996590.028399410.066395990.036796940.029648070.06644501130.038080760.028474170.066554930.040439210.030268690.070707910.039167900.031570370.07073826140.040516460.030338830.070855290.041587770.031172310.072760080.040285840.032483500.07276934150.041654800.031234920.072889720.041365690.031048610.072414300.040076060.032326080.07240213160.041420300.031101610.072521910.039830220.029936400.069766620.038593490.031141260.06973475170.039871430.029978680.069850110.037157760.027964600.065122350.036008610.029065600.06507422180.037185840.027996020.065181870.033612420.025329010.058941430.032577000.026304590.05888159190.033628660.025350340.058978990.029505020.022261850.051766880.028599630.023100710.05170033200.029511400.022274460.051785860.025150980.019000070.044151040.024382110.019700510.04408263210.025149850.019005700.044155550.020834300.015758050.036592350.020199770.016326420.03652619220.020828050.015758570.036586610.016782520.012708450.029490970.016273260.013156930.02943019230.016773290.012705590.029478880.013154250.009972460.023126710.012756520.010316800.02307332240.013143780.009967710.023111490.010038510.007618980.017657490.009736070.007876370.01761244250.010028070.007613500.017641570.007463070.005670650.013133720.007239020.005858030.01309705260.007453430.005665290.013118710.005408090.004113970.009522060.005246320.004246780.00949311270.005399430.004109380.009508810.003821530.002911070.006732600.003707720.003002420.00671014280.003813280.002907950.006721240.002633510.002010880.004644390.002555680.002070830.00462651290.002623520.002010640.004634160.001767480.001358740.003126220.001716390.001393270.00310966300.001749670.001365130.003114800.000935070.000731690.001666770.000909650.000741920.00165157总0.571332540.428667461.000000000.571057540.428308110.999365660.553213860.446144310.99935818p=[0. 000371030。00026331]，pe=. 00063434，p−=[. 00035757。00028426]，p-e=. 00064182L q= 14。71404236，W q= 3。67851059，P损失=. 00165157.引理1.d的值，如（14）中所示，由下式给出：N−1d−1= .n=0例π（n，0）e=1−peG.、（十五）π（N）=δ−p−π（n），（18）n=0例其中E= g + π+（0）（−C）−1e，g在引理1中给出。其中g=h1π+（0）e+Nn=1H+n）e.P roof. D ividing gbu（4）y.Nπ（n，0）e，使用（14）和desi redresultd−1=.N得到π（n，0）e。然后分割得到了 现在设置% s0在（9）和（10）中，使用（14）和a（13） b y.Nn0en=0=）顾客到达相关且服务状态依赖的有限排队分析301.p+π（经过一点代数运算后得到的。QLemma 1的帮助nE−1（0）{C）−1 Dn+1（−C）−1˜˜Σ定理1. 状态概率p，π（n）}和{π+（n）}是重最后的EQ （18）立即使用标准化控制，迟于{版本Nn=0例π（n）= δ。 Qp=E−1+0）（−C）−1（16）Σ302A. Banerjee≤ ≤容易获得，并由下式给出：一旦概率向量p和π（n）（0n N）是ob-其他利益分配，如分配在任意时期，队列中的客户数量当服务器空闲时，α1（0），忙时，α2（n）（0≤n≤N），顾客到达相关且服务状态依赖的有限排队分析303π（）=（−）304A. Banerjeen+1n+1−k顾客到达相关且服务状态依赖的有限排队分析30510）=pe+π（0）e，（19）306A. Banerjee+。k=1{π+（k）−π顾客到达相关且服务状态依赖的有限排队分析307+（k−1）}{（−C）−1D}（（ −C）−1，308A. Banerjee×0≤n≤N− 1，（17）α2（n）=π（n）e，0 ≤n≤N.（二顾客到达相关且服务状态依赖的有限排队分析309十）310A. Banerjee≤ ≤∗λn·≤ ≤n1009080706050403020100队列长度相关服务10 20 30 40 50 60 70 80 90 10010.50.10.011E-31E-41E-51E-61E-71E-81E-91020 30 405060 708090 100缓冲区大小（N）图2N在Lq上的投影2.3. 到达时刻的队长分布设p−和π−（n）（0 ≤n≤N）是由p−j和π−j（n）组成的第j个分量的m维向量，r∈p∈v∈y。p-j给出了在队列中找到0个客户的稳定性，服务器空闲，到达过程的状态为j。 π−j（n）g表示一个队列中有n（0 n N）个顾客，服务器忙，到达过程的状态为j的稳定性。然后向量p−和π−（n）由下式给出：pD缓冲区大小（N）图4N对P损失的影响。侧相位型（PH分布）服务时间分布。当服务时间服从PH分布时，An，k的计算过程这里应该注意的是，任何分布都可以近似为PH分布（即指数分布、超指数分布、次指数分布、Erlang分布、Coxian分布等）。PH分布可以完全由（β，S）表示，其中β和S具有维度ν，（即，β是初始概率向量，S是控制向各种过渡态的转变的方阵）。有关PH分布及其属性的更多详细信息，请参考读者p−=，（21）λ∗[23]第二十三话下面的定理给出了一个过程，π−（n）= π（n）D，0≤n ≤ N。（二十二）由于从（16）-（18）已知p和π（n）3. 计算过程计算矩阵An， k。定理2. 设 H n（）（1 n N）服从具有不可约表示（βn，Sn）的PH-分布，其中βn和Sn是维数为ν的，则（2）中出现的矩阵An，k（B0，k）由下式给出An，k=（Imβn）Mn，k（ImS0），1 ≤n≤N，0 ≤k≤N− n，在这一节中，通过以下步骤计算TPMP的元素、矩阵An，k（B0，k）所需的必要步骤：35An， k=（ Imβn）[− Mn， k−1（ D Iν）（（ C Sn）+（D）Iv））−1]（ImS0），1（二十三）≤n≤N， k=N-n+1，（24）30B0，k25=DA1，k，0≤k≤N− 1，（25）2015105010 20 30 40 50 60 70 80 90100缓冲区大小（N）图3N在Wq上的投影。队列长度相关服务队列长度相关服务LQ文勤磷流失顾客到达相关且服务状态依赖的有限排队分析311M=−（C−1S），1≤n≤N−1。n，0nnB0，N=DA1，N，（26）哪里S0= −Sne，Mn， k=Mn， k−1（D Iν）Mn，01≤n≤N， 1≤k≤N−n注：这里Ir表示r维单位矩阵。当不需要强调这些向量的维数时，我们将抑制子空间。因此，我将表示适当维数的单位矩阵。符号和分别表示两个矩阵的克罗内克积和克罗内克和如果A是312A. Banerjee+的=0的情况。5个1. 5联系我们=n产品介绍- ==nνA=.A=（I<$0β）M（IS），1n，kn，lm n nm−≤ ≤−Pr（k，t）n−ndt，1 ≤n≤N，1 ≤k≤N−n。0 −μn现在让我们考虑以下两种情况：×××Mn=.P（j，t）eSntdt∫m阶矩阵如果B是p阶矩阵，q，则A B将表示阶mp nq的矩阵，其第（i， j）个分块矩阵由a ijB给出。两个方阵，即G阶方阵G和H阶方阵H的Kronecker和由下式给出我我H，一个维数为gh的方阵。了解更多关于Kronecker的信息产品，我们将其导入到MarcusandMinc[24]。Disgiven在（2）中。正在考虑的模型进行说明。为此，在表1中，针对以下输入参数显示了MAP/ PH/1/MAP表示取为C（-6。5个1. （0）和3 .第三章。五比五5D=（3. 52. 0）。对于使用时间，PH分布取βn=P roof. 首先注意，与用于MAP的计数过程相关联的m个三元组P（n，t），n0，t 0满足（例如，参见，Neuts（1. 00。0）S（−μn μn0 −μn）对于1≤n≤N，其中μn=μn−1+[22]）P<$ r（n，t）=P<$（n，t）C+P<$（n−1，t）D，n≥0，（27）其中P<$（1，t）0且P<$（0，0）I。利用Kronecker乘积的性质，注意到P∈（k，t）→0at→∞，我们看到at∞0的情况。2，1nN和μ05。0.为了提出一些定性方面的考虑中的模型，一个比较研究的服务长度相关的服务与服务长度无关的服务政策进行了考虑中的服务模型。一个决策系统的性能指标通常反映了有关模型的定性和定量两个方面。它为系统分析人员提供了一个强有力的工具，An，k=0P∈（k，t）dH n（t）=（Imβn）Mn，k.ImS0，1决策和判断有关系统的有效性。N（缓冲器尺寸）对主要系统性能的影响≤n≤N，0≤k≤N-n，（28）哪里措施，Lq， Wq和P损失，分别已说明，图对于MAP / PH n / 1 / N（N从5变化到100）排队，具有以下输入参数：MAP表示：Mn， k=∞P（k，t）eSntdt0C =C=（-4。6571. （第761段）1 .一、128 - 3。941 和D=1 .一、6571. 239（）下一页0的情况。8721. 941你好。ImS−n1<$−<$∞P<$r（0，t）eSntSn−1dt，1≤n≤N，k=0，0服务时间，PH分布取βn=（0. 40. 六、 Sn=⎩ ¸∞∼eStS1（二十九）（−μn0）的。对于1≤n≤N。在（29）中使用（27），并在涉及Kro的一些操作necker乘积和和，我们得到Mn，0= −（CSn）−1，1 ≤n≤ N，情况1：与业务长度无关的服务（对于1 ≤μn=μ0）n≤N且μ0= 0。第五章）Mn， k=Mn，k−1（D I）M n，0，1 ≤ n ≤ N，1 ≤ k ≤ N-n。（三十）情况2：长度依赖服务（μn=nμ0，1≤n≤N且μ0= 0。第五章）注意到∞nL= k≤n≤N， k=N-n+1，（31）哪里∞∞˜j= k0= −Mn， k−1（D Iν）[（C Sn）+（D Iν）]−1，（32）在（24）中的An，k的所述表达式保持良好。使用类似的ap-proach的表达式为B0，k，0kN 1，和B0，N，立即遵循。Q4. 业绩计量在此基础上，研究了排队系统中的平均顾客数（Lq）、平均顾客等待时间（Wq）和顾客的损失概率（Wq）客户（P10s s ）由Lq=给出。Nnα2（n），Wq=Lq，Ploss=.0. 为0=顾客到达相关且服务状态依赖的有限排队分析313从图中可以清楚地看出。 2和3，随着N的增加，L q和W q在两种情况下都随着N增加，但对于情况1，与情况2相比，L q（W q）的值的增加非常高。因此，从这里我们可以得出结论，服务的服务长度依赖于显着减少队列长度（Lq）和客户在队列中的等待时间（Wq），这一直是系统分析师的核心目标现在观察图4，可以得出结论，所考虑的加密模型也降低了损失概率，这也是加密模型的另一个重要特征。由于从图4中可以清楚地看出，随着N的增加，两种情况下的P损失都减小，但是这种减小对于情况2来说非常高用于依赖于服务长度的服务。6. 总结发言本文研究了具有马尔可夫到达过程的有限容量排队系统，系统的服务依赖于队长。顾客的服务时间被认为是一般分布的，并且依赖于服务开始时的队列长度π−（N）e=π（N）Deλ∗n=0例λ∗纪考虑相型服务时间分布，发展了一种计算各历元稳态概率的有效计算方法。该过程-5. 数值结果在这一节中，分析结果的数值相容性，如前几节所获得的，该方法可用于分析更复杂的结构，基于批马尔可夫到达过程的复杂排队模型。本文的工作还可以推广到分析具有队长相关服务的离散时间BMAP314A. BanerjeeR确认作者感谢匿名审稿人的宝贵意见和建议，这些意见和建议有助于改进本文目前的形式。引用[1] R.张文，张文，等. ATM网络拥塞控制与流量管理的研究进展.北京：计算机科学出版社，1996.网络ISDN系统，281723-1738年。[2] B.D. Choi，D. I.基于服务时间排队系统及其在ATM网信元丢弃中的应用，IEE Proc. 143（1）（1996）5[3] D.I.崔角，澳-地克内斯尔角张文，张文，等，等。12（1）（1999）35-62。[4] K. Sriram，D. M.李文，“多路复用器中的比特丢弃平滑效应”，IEEE Trans. Commun. 37（7）（1989）703-712。[5] A.加州大学班纳吉分校Gupta，使用批量大小相关服务减少批量服务有限缓冲器缓冲系统中的拥塞，执行。Eval. 69（1）（2012）53-70。[6] A.加州大学班纳吉分校Gupta，K. Sikdar，具有可变服务容量和批量大小相关服务的有限批量到达批量服务排队分析：MX/GY/1/N，Int.J. 操作员Res. 5（3）（2013）358[7] U.C.张文龙，张文龙，等.有限/无限排队条件下MAP/G/1排队系统中的队长分布.北京：交通大学学报，2001. Res. Soc.印度，38 520[8] D.M. Lucantoni，K.S. Meier-Hellstern，M.F. Neuts，带服务台休假和一类不可更新到达过程的单服务台排队，1990年，Adv.Appl. 可能，22 676[9] C.黄文，无更新投入的有限容量休假模型，1991，28174-197。[10] A.张文，等.[11] A.S. Alfa ， 一 个 具 有 休 假 和 穷 举 时 限 服 务 的 离 散 时 间MAP/PH/1排队系统，Oper. Res. Lett. 18（1995）31[12] H.W. Lee，B.Y. Ahn，N.I.李明，多变量和单变量条件下MAP/ G / 1模型中队长分布的分解，随机模型17（2）（2001）157-190。[13] I.J.B.F. Adan，V.G.到达时间和服务时间均与马尔可夫函数相关的单服务台排队模型45（2）（2003）113-134。
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