Journalof the Egyptian Mathematical Society（2015）23，263埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章Legendre小波运算矩阵法分数阶Riccati-di-Escherichia方程的解S. Balaji*数学系，SASTRA大学，Thanjavur 613 401，印度接收日期：2014年2月22日;修订日期：2014年4月10日;接受日期：2014年4月22日2014年5月24日在线提供提出了一种求解分数阶非线性Riccati微分方程的Legendre小波运算矩阵方法，在工程和应用科学中有着广泛的应用利用勒让德小波运算矩阵将分数阶Riccati微分方程转化为代数方程组所提出的方案是更准确和可靠的解决方案，他们是最近发展的数值，解析和随机方法进行比较比较表明，所提出的LWM方法具有更高的性能和更少的计算工作量，以获得准确的解决方案。进一步给出了问题的存在唯一性，并证明了收敛条件2010年数学学科分类： 34A50; 34K37; 65T60？2014制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表1. 介绍近年来，分数阶导数在工程、生命科学以及其他科学领域的应用越来越广泛。分数阶微分方程的最大优点之一是可以用于许多动态系统的建模和控制。分数阶导数的应用是卓有成效的*电话：+91 4362264101。电子邮件地址：balaji_maths@yahoo.com同行评审由埃及数学学会负责模拟这些科学领域的许多显著发展，如量子化学、量子力学、阻尼定律、流变学和扩散过程[1-物理现象的建模依赖于两个参数，如时刻和先验时间历史，因为这个原因，通过分数阶微积分成功地实现了合理的建模。上述的优点和应用吸引了研究人员开发有效的方法来解决FDE，以获得这些问题的准确解决方案，并且在这些领域仍在进行更活跃的研究。大多数FDE的结构都很复杂，因此找到它们的精确解并不简单。因此，人们可以通过解析和数值方法来逼近FDE的最佳精确解1110- 256 X？ 2014制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2014.04.007制作和主办：Elsevier关键词Riccati方程;非线性常微分方程;分数阶微分方程;Legendre小波;收敛准则;解析逼近264S. Balaji¼¼k=2k联系 我们2Pm2t-n^;对于n^-16tn^12ð Þ方法.设计精确解或最优解的方法有很多种，每种方法都有其优点和局限性。本文的目的是求解分数阶Riccati微分方程，哪里我很高兴1Ca不-s0差值-1 fsds; 2在FDE家族中的重要方程。求解分数阶Riccati微分方程，最重要的方法是Adomian分解法[6]、同伦摄动法[7-10]、同伦分析法[7是a> 0，C是Gamma函数。tb，b>-1的分数阶积分如下：Cb1[11，12]、Taylor矩阵法[13]和Haar小波法[14]，Laplace，Adomian分解和我是个......Cba1t-aPade′近似[15]方法，基于粒子群优化和模拟退火的随机技术[16]，分数变分迭代方法[17]以及有限差分和Pade′-变分迭代数值方案的组合[18]。然而，上述方法在其性能上具有一些限制和缺点。例如，在Adomian分解方法中，构造了非常复杂和最困难的Adomian多项式。同样，我们也可以发现其他方法的缺点。此外，这些结果的收敛区域和实现都很小.小波理论是近年来数学领域中一种新兴的、具有代表性的方法分数阶积分和导数的性质如下[21]，其中a，b> 0。分数阶积分满足半群性质IaIbftIbIaftIabft：4整数阶导数Dn和分数阶导数彼此上下班DnDaftDaDnftDnaft：5分数阶积分算子和分数阶微分算子不满足交换性。总的来说和工程研究[19，20]。本文利用Legendre小波方法对分数阶非线性Riccati微分方程进行了解析逼近。歌剧-我真的很抱歉-n-1k¼0tkfk 0国王！：2016年为了求解分数阶和经典的Riccati微分方程，将Legendre小波的函数矩阵推广到分数阶微积分中.应用勒让德小波方法求解分数阶Riccati微分方程，并与最近提出的方法进行了比较。本文采用Legendre小波方法求解Riccati微分方程，不仅由于由于其新兴的应用，也由于其更大的收敛区域。第二节给出了分数阶微积分的定义和数学模型。第三节勒让德小波的性质、函数逼近和广义勒让德小波的运算讨论了矩阵分数阶微积分。第4节规定应用所提出的方法在解决Riccati差分-但我们用相反的方式，DaIbftDa-bft：73. 广义Legendre小波算子矩阵分数次积分由小波构成的函数族，由称为母小波的单个函数的伸缩和平移构造而成。当伸缩参数a和平移参数b连续变化时，以下是连续小波族[23]. t-b键一基本方程、问题解的存在唯一性以及算法的收敛性分析。第五节给出了具体的算例及其求解方法。第6节结束时，如 果 参 数 a 和 b 被 限 制 为 离 散 值 ，a-0k;bnb 0a-0k;a0>1;b0>0且n和k为正整数，以下是离散小波族：我们的结论。wk;nðtÞ ¼ ja0jw=a0t-nb0t;2.准备工作和注释本节中的符号、定义和初步事实将在本书的后续章节中使用。如[21]所述，Caputo分数阶导数使用具有一些物理解释的整数阶导数的初始和边界条件。Caputo分数阶导数一其中wk，n（t）形成L2（R）的小波基。特别地，当a0=2且b0= 1时，wk，n（t）形成标准正交基[23]。Legendre小波wn;m∈t∈wk;n^;m;t∈有四个 自变量;n^2N1;n1;2;3;.. . 2k-1，k可以取任意正整数，m是勒让德多项式的阶数，t是归一化时间.他们在区间[0，1]上定义为[24，25]。D提出的粘弹性理论。Caputo分数阶导数 程序 a>0;α2 R;n- 1<（qk=2关于我们m12K2K2k;a6个n;n2个Nnn2，h：100; 100！ R是连续的，定义如下：nm0;否则;其中m= 0，1，. ，M-1且n= 1，2，3，. ，2k-1。系数-Daf t In-aDnnftð1Þ有效率的qm1是正交的，膨胀参数是a=2-k，平移参数为b^n^2-k。Pm（t）是ZX.wa;bt;a;b2ffi;aWΣDTLegendre小波运算矩阵265-XXffcXX不1/4f 2 j jg不DTm1¼m1Mm1M-1其中，m_^2k-1M，相应地，我们有L1m×m1m×m一.- 是的Σ以初始条件为条件在区间[1，1]上定义的著名的m阶勒让德多项式，并且可以借助于以下递归公式来确定：P0不超过1;P1不超过1;P关于我们2个月 tPt-MP最大值;m1; 2; 3;.初始条件和收敛准则的LWM方法。考虑分数阶Riccati微分方程的形式Day tpty2qtyRt;t>0;0a6 1：11<函数f（t）[001-word 2nd]（1）y0k：1211nmn<$1 m<$0Wnm中文（简体）定义4.1.设I=[0，l]，l<1，C（I）是所有其中，cnm=f（t），wnm（t），其中，. 表示内积。如果方程中的无穷级数（8）是一个常数，则（8）可以写成2k-1M-1定义在I上的连续函数，范数kykupje-htyt j;h> 0;t2I它相当于y的超范数。也就是说，ftcnmwnmn<$1 m<$0最高价：19.00美元我的天啊，我的天啊，我的天啊。其中C和W（t）是由下式给出的2k-1M·1矩阵：C1/2c1 0;c1 1;. . ;c1M-1;c2 0;c2 1;.. . ;c2M-1;.. . c2k-10;c2k-11;.. . ; c2k-1M-1];备注。设分数阶Riccati微分方程的解y（t）等式（十一） 和 (12)属于 到 的 空间 S y R：y6c;c为任意常数，以研究初值问题的存在唯一性W10吨半;W11吨半;.. . ;w1M-1t;w2 0t;w21t;.. . ;我不知道.. . ; w k-1t;w k-1t;. ; w k-1t]10定义4.2. 可积函数空间L1[0，l]在2M-120 212M-1interval [0，l]定义为以下是几个合适的搭配点. 2i2千.ZlL1½0;l]¼您的位置：：jut jdt 1<0我们定义了m_定理4.1. 由Eqs给出的初始值问题。 （11）和- 是的.三便士。. 5便士.. 2kM（12）有一个独特的解决方案/m_×m_¼Wcos2千马克Wcos2千马克···Wcos2千马克y2CI;y02Xy2L1½0;l];kykke-htyt ko：^是的。.3p^..5便士。. 2kM证据由公式（1）分数阶微分方程（Fractional DifferentialEq.）（11）可以f¼ fcos不2千马克fcos2千马克···fcos2千马克写成¼C/m_×m_勒让德矩阵/m_×m_是可逆矩阵，系数向量CT由CTf^/-1得到 .m×m在等式中定义的W（t）的积分。 （10）可以勒让德小波系数矩阵P的勒让德小波级数逼近Zt0 Wtdt¼Pm_×m_WtI1-adytty2qtyr tt 13成为yt Iapt y2 qtyrt 14现在我们定义算子H：C（I）fIC（I）为：2015年12月15日，其中m-e-htHy-Hwe-htIaPy2tQytR-Pw2tQwtR集成的国家矩阵然后，勒让德小波运算矩阵Pa，61ZtA-S-1e-ht-sys-wsys分数积分由下式给出：m×mCa0P¼/一Fa/-1[ws-kys-ws]e-hsdsZ6ky-wksa-1e-hsds其中Fm×m在[21]中给出。4. 存在唯一性与收敛性因此，我们Ca0在这一节中，我们将利用广义Legendre小波算子矩阵来求解非线性Riccati微分方程，并讨论解的存在唯一性kHy-Hwkky-wk;<这意味着由Eq. （15），有一个唯一的不动点，因此给定的积分方程有唯一解y（t）∈C（I）。我们还可以看到，t2Iti¼cos第二节. 2k-1M;m×m不266S. Balajidya2dDTt¼0k=2kXXXW t-C P--.Σ¼ð ÞDTCa00DTDTDT1/11我1我ðð ÞÞ¼ð þ我...ð ÞÞðn第1页JJb� b��JXX X我的 天啊Þþðþ þ þ þ吉吉X2.你好！¨¨2我是一个很好的朋友，t¼0 简体中文收敛到相同的值，这确实保证了从EQ。（14）我们有YTTAPy2 QyRIa1P0y2 2年0PQ0yQ y0r10的Ca1 00和牲畜废物管理的趋同5. 数值算例dyhta-1Py2QyRiaP0y22y0PQ0yQy0R0i;e-hty0tie-httta-1Py2QyRiaP0y22y0PQ0yQy0R0i;方法（LWM），我们实现LWM的非线性压裂，Ca 00ð17Þ函数型Riccati微分方程所有的数字实验-在个人电脑上进行的一些由此我们可以推导出y0（t）∈ C（I）和y0（t）∈ S。（14）dt<$dtI½PytQytR];MATLAB代码。PC的规格是英特尔酷睿i5处理器，并具有高达3.1 GHz的Turbo和4 GB的DDR3内存。下面的非线性Riccati微分方程的问题是用实系数求解的。I1-ady<$I1-adIa½Py2tQytR] <$dI1-aIa½Py2tQytR]DaytdI½Py2tQytR] <$Py2tQytR和y0IaPy2tQytRjk这意味着积分方程。（16）等价于初值问题（12），并证明了定理H实施例5.1.考虑下面的非线性分数阶Riccati微分方程Dayt12yt-y2t;0a61 18<初始条件y 2010年00月00日：2019年10月发现1/4的精确解为y=0。4.1. 收敛性分析设w我不知道wat-nb，其中w（t）形成小波¼1þ 第2章. 第2页第1页日志p2 1第2页第1k;n002k，nð20ÞL（R）的基础特别地，当a0=2且b0=1时，形成正交基[23]。由等式（2.22），设y=PM-1c不是方程的解方程的积分表示（18）和（19）是由Ia Da y t Ia12y t y2t21当量（11）其中c1i=y（t），w1i（t），其中k=1，. æ表示内积。taa a2n你不知道，我不知道yty 0C a12Iyt-Iyt 221/11i1i让我们一起来看看吧设bj=wy（t），w（t）其中w（t） =w1i（t）设x¼Pnb不是部分和的序列。然后，然后一不是不 一hyt;xni*yt;Xn¼n第1页bjwtj+¼Xnjbjn第1页。我不知道IytCIWtC P2k-1M×2k-1MWt 24通过将等式在（22）中，我们得到以下代数方程进一步J J第1页J第1页公司简介 Ca12C P2k-1M×2k-1M不2a2k-1M×2k-1MWtnkxn-xmk2½？bjwtj*Xn¼nbiwtin;bjwtj+通过求解上述线性方程组，我们可以发现矢量C.对不同的k、M和a值，得到了数值结果.通过建议的LWM获得的解决方案j1/2m 1n nnbibjhwj/m1jbj ja = 1，k = 1和M = 3的方法在图中给出。 1和对于a=0.6、0.7、0.8和0.9的不同值，k= 2和M = 5在图中以图形方式给出。 二、可以看出i <$m 1j< $m 1j <$m 1由于nfi1，根据贝塞尔从图1中可以看出，通过所提出的LWM收敛的hx-yt;wtj ix;w tj-h yt;w tj i.Σ第1页J方法更接近于精确解。为了分析建议进一步的方法，实施例1的所得结果a=0.5，0.75，k=1，M=3，Lt xn;wtj你好！1*Xn-bjLthxn;wtji-bj+报告的其他数值，分析和随机结果解算器，例如基于群智能的PSO[16]gence，解析近似解获得的frac-B2不一2你好！1¼为了说明Legendre小波的有效性，Þ不是Legendre小波运算矩阵267Lt你好！1第1页bjwtj;wtj-bjbj-bj0：变分迭代法（FVI）[17]和一个有限Pade′-变分差分数值迭代格式这意味着{xn}是柯西序列，并且它收敛于x(say)，这只有当y（t）=x时才可能。即y（t）和xn迭代 方法 （PVI） [18个国家] 基于 关于衍生物比较结果提供于表1和表2中。268S. Balaji-21.81.61.41.210.80.60.4实施例5.2.考虑另一个分数阶Riccati微分方程Dayt1-y2t;0a6 1;25<初始条件为y=0.00000：0.26发现上述方程的精确解为：e2t12019年12月21日方程的积分表示（25）和（26）由下式给出taa20.200.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80.9不yt y0Ca1-Iyt让我们一起来看看吧然后图1例5.1中a = 1时LWM的数值结果IaytCTIaWtCTPak-1M×2k-1 MW28通过将等式在（25）中，我们得到以下代数方程TTA不2a2.01.51.00.50.0-0.50.90.80.70.60.50.20.41.00.80.6CWC-C P2k-1M×2k-1MW通过求解上述线性方程组，我们可以找到向量C。对不同的k、M和a值，得到了数值结果. 对于a = 1、k =2和M = 3，LWM得到的结果如图所示。从图中可以看出，LWM给出的解仅与精确解重合。图4示出了等式4的获得的结果。（25）和（26）对于不同的a值和对于k=2和M=5，通过LWM来进行。由于分数阶情况的精确解不可用，如示例5.1，对于方程5.1，（25）和（26）与由所提出的方法给出的近似解以及其他方法PSO[16]、FVI[17]、PVI[18]的报告的近似结果进行比较。所得结果见表2，根据这些结果，我们可以确定图2例5.1在不同a值下LWM的数值结果。结果表明，在给定的适用范围内，LWM方法的计算结果比其它方法具有更好的收敛性。所提出的LWM方法的收敛保证是非常高的。实施例5.3.考虑非线性Riccati微分方程Daytt2y2t;0a6 1;tP 0：29<表1实例5.1的数值结果。不a=1/2a=3/4LWMPVIPSOFVILWMPVIPSOFVI0.10.5745000.3568030.5746480.5774310.2444580.1934010.2835030.2444600.20.8907890.9228650.8908900.9126540.4696890.4546020.5393520.4697090.31.1000111.6341391.0907161.1662530.6987000.7840320.7688040.6987180.41.2056072.2044411.2300691.3535490.9243051.1619860.9718330.9243190.51.3340872.4004471.3341811.4826331.1379391.5438811.1479391.1379520.61.4154932.0414351.4155121.5596561.2963021.8736581.2963201.3314620.71.4808792.4148891.4809181.5899841.4163112.1129441.4163191.4976000.81.5345982.4142481.5346041.5785591.5069132.2601341.5069361.6302340.91.5300192.4142461.5793961.5300281.5692212.3391341.5692521.7244391.01.4487032.4142311.6173321.4488051.6055712.3793561.6055801.776542确切LWMy（tLegendre小波运算矩阵269.8.70.60.50.40.30.80.70.60.50.40.30.20.100.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9不4030201001.00.90.80.70.60.50.20.41.00.80.6图3例5.2中a=1时LWM的数值结果图5例5.3不同a值下LWM的数值结果。000.21.00.10.80.00.90.80.70.60.50.20.40.6图4例5.2在不同a值下的LWM数值结果。65.554.543.532.521.510.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9不图6例5.3中a=1时LWM的数值结果表2例5.2的数值结果。不a=1/2a=3/4LWMPVIPSOFVILWMPVIPSOFVI0.10.2736000.3136780.2896670.2738750.1650560.1879450.1650870.1847950.20.3863580.4689540.3864890.4541250.2763320.3245670.2763500.3137950.30.4411040.5930050.4411200.5739320.3561150.4562190.3561960.4145620.40.4823040.6501220.4823480.6444220.4168170.6675810.4169160.4928890.50.5206640.8982370.5163790.6741370.4654800.9003210.4655200.4621170.60.5332871.0009430.5448720.6719870.5058941.1103410.5060040.5973930.70.5587431.5123980.5685450.6480030.5406061.5164480.5406290.6317720.80.5878121.8163840.5878950.6133060.5699981.9160040.5706320.6604120.90.5962342.0056320.6033440.5796410.5966002.0123520.5966360.6879601.00.6106422.0064850.6152680.5585570.6188242.0346320.6188730.718260LWM确切LWM确切y（ty（t270S. Balaji2ð Þ ¼þM×2M不2a表3例5.3的数值结果。不a=1/2a=3/4LWMPSOFVIPVILWMPSOFVIPVI0.11.6003451.6710551.6010551.6712561.2091131.2498631.2098631.2498700.22.2896522.3421312.3021312.3423211.4983421.5134631.5034631.5135000.33.1999863.2415013.2015013.2415211.8012871.8522181.8022181.8522180.44.4083284.4685084.4085084.4685382.3064572.3066992.3066992.3067210.56.1036796.1443896.1043896.1444022.9086632.9289962.9089962.9290120.68.4087458.4296668.4096668.4296963.7096123.7896433.7096433.7898830.711.5001011.5406611.5006611.541664.9051284.9853544.9053544.9855210.815.7001715.7704715.7004715.772376.6091236.6493246.6093246.6496610.921.3082321.5170021.5070021.517808.9052898.9653768.9053768.9656861.029.3001729.3209829.3009829.3216812.1072112.1875312.1075312.18823初始条件为y=0.001：0.30当a=1时，其精确解由下式给出：tJ-3=4t2=2C 1=42J3=4t2=2C3=4可靠的解决方案，更少的计算工作。进一步讨论了LWM格式的收敛性准则，从而保证了LWM格式解的一致性和稳定性你好，t2=2t2=2非线性分数阶Riccati微分方程其中Jn（t）是第一类贝塞尔函数方程的积分表示（29）和（30）给出了通过确认作者感谢编辑和审稿人的合作，2yt1C a12Ca我不知道你在说什么并提出改进意见和建议。引用让我们一起来看看吧然后I a ytCTI aWtCTP ak-1k-1 Wt32通过将等式在（29）中，我们得到以下代数方程[1] N.A.汗，M。Jamil，A. Ara，S.陈晓，时间分步间歇反应器系统的显式解，国际化学反应杂志。Eng.9（2011）。文章IDA91.[2] V.F.的巴特列河佩雷斯湖王文，陈文，陈文龙，等，水利灌溉工程中的控制问题，水利工程学报，2007年第15期，第 673-686页。CTWt12Ca12CaCTW[3] I.李文，分数阶系统与控制器，国立成功大学机械工程研究所硕士论文。Control 44（1999）208-214.P2k-1M×2k-1MW型电缆通过求解上述线性方程组，我们可以找到向量C。对不同的k、M和a值，得到了数值结果.获得的Eqs.（29）和（30）在图中示出。 5和6以及表3中。 图图5示出了对于不同的a值和对于k=2，M=4。图6将LWM得到的解与方程的精确解进行了比较。（29）和（30）当a=1 ， k=1 ， M=2 ， 表 3 提 供 了 LWM 的 所 得 结 果 和PSO[16]、FVI[17]和PVI的报告结果[18]对于a=1/2，3/4，k=3，M=5的值，从这些结果中，我们可以看到，所提出的LWM方法给出的解非常接近精确解，并且优于最近开发的方法。6. 结论本文提出了一种求解分数阶非线性Riccati 微分方程的Legendre小波运算矩阵方法LWM。将所提出的方法与最近针对同一问题开发的其他方法所获得的解进行了比较;所获得的结果表明，所提出的LWM产生更精确的结果[4] R. Garrappa ，关于一些显式Adams多步法，分数阶微分方程，J. Comput. 229（2009）392-399.[5] M. Jamil，N.A. Khan，分数粘弹性流体的滑动效应，国际J.Differ。Equat.（2011年）。文章ID193813。[6] S.李晓云，李晓云。172（2006）485- 490。[7] Z.奥迪巴特岛Momani，Modifiedhomotopyperturbationmethod：applicationtoquadraticRiccatidifferential equationof fractional order ， Chaos ， SolitonsFractals 36（2008）167-174.[8] N.A.汗，A. Ara，M. 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