埃及数学学会：热辐射和磁场对非定常混合对流换热的影响

Journalof the Egyptian Mathematical Society（2012）20，215埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章热辐射和磁场的效应有吸力的指数拉伸表面上非定常混合对流换热在存在内部热生成/吸收Elsayed M.A.Elvis beshya，T.G.Emamb，*，K.M.Abdelgaberca埃及开罗Abbassia Ain Shams大学理学院数学系b埃及开罗新开罗市，开罗德国大学数学系c埃及开罗Helwan大学Mataria工程学院物理工程数学系接收日期：2012年1月23日;修订日期：2012年4月11日;接受日期：2012年2012年10月2日在线提供本文用数值方法讨论了在具有指数温度分布的指数拉伸表面上存在热辐射、内部生热或吸热以及磁场的不可压缩粘性流体的非定常二维层流边界层流动和传热问题。控制边界层方程被简化为一个常微分方程组。在得到初始条件后，利用Mathematica软件对该方程组进行了数值求解。在某些特殊情况下，将所得数值结果与已发表的结果进行了比较，结果吻合良好2012年埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍连续运动表面上的混合对流换热问题在许多工业应用中引起了人们的兴趣，例如热轧、造纸、拉丝、玻璃纤维生产、空气动力挤出、热塑性塑料、热塑性塑料和热塑性塑料。*通讯作者。电子邮件地址：tarek. guc.edu.eg（T.G. Emam）。同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：Elsevier塑料板、沿液膜的边界层、金属板在冷却槽和玻璃中的冷凝过程，以及聚合物工业。Sakiadis[1]是第一个研究连续固体表面上边界层流动的人。他导出了这种表面的基本微分和积分动量方程。Ali[2]给出了描述静止流体在受抽吸或喷射作用的拉伸表面驱动下的传热和对流的层流边界层方程的相似解。表面运动速度呈幂律分布，表面温度呈幂律变化.另一方面，Gupta和Gupta[3]分析了具有恒定表面温度的拉伸问题。1110- 256 X？ 2012埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2012.08.016关键词非定常湍流;边界层湍流;指数拉伸面;混合对流;磁场;热辐射;内部热量产生/吸收;抽吸216电磁场Ellingbeshy等人.n=qwf.Σ.渗透率参数¼gbT=U（-）01M磁参数<$rB21-at=U0q（-）.命名法不稳定参数（=a/U0）（B0磁场强度（A m-1）C局部表面摩擦系数2U2（cp恒压比热（m21s-2K-1）f无量纲应力函数（f0抽吸参数（g重力加速度（m s-2）k平均吸收系数（m-1）L参考长度（m）x沿表面的笛卡尔坐标（m）y沿表面法线的笛卡尔坐标（m）希腊字母a正常数（s-1）b体积热膨胀系数（K-1）d生热或吸热参数（=Q0（1-at）/U0qcp）（-）03Σ¼1NR热辐射参数16rsT= 3jk(kgm-2）Nu x努塞尔数（-）Pr普朗特数（=qcPm/j）（qr辐射热通量（kg m-2）Q0热源或热汇（kg m-1 s-3 K-1）Rex局部雷诺数（=LUw/m）（t时间（秒）拉伸表面温度分布T0拉伸面附近的温度（K）T1自由流的温度（K）u流体沿x轴的速度（m s-1）拉伸表面的Uw速度（ms-1）U0参考速度（m s-1）v流体沿y轴的速度（m s-1）Vw抽吸速度（m s-1）X无量纲坐标（=x/L）（h相似性 温度函数j导热系数（kg m s-3 K-1）20l液体的动力粘度（=j/qcp）（kg m-1 s-1）m液体的运动粘度（=l/q）（m2 s-1）q液体密度（kg m-3）r电导率（X-1m-1）rssw表面摩擦力（kg m-1 s-2）w流函数（m2 s-1）上标0相对于g的差异下标w拉伸表面条件0拉伸面附近的流体条件和远离拉伸面的流体条件Andersson等人[4]分析了水平拉伸板上层流液膜中的动量和热量传递，其中通过精确的相似变换将控制时间相关边界层方程简化为一组常微分方程。Ishak等人[5]研究了粘性不可压缩静止流体中连续拉伸表面上的非定常层流边界层湍流，其中湍流场和温度场的非定常性是由 拉 伸 速 度 和 表 面 热 流 的 时 间 依 赖 性 引 起 的 。Ellingbeshy和Bazid[6]研究了具有内部热生成或吸收的非稳态拉伸表面上的传热，其中数值求解了与时间相关的控制边界层方程。Ellingbeshy和Emam[7]研究了在热源或热汇存在的情况下，多孔介质中非稳态拉伸表面Sharma和Singh[8]研究了粘性不可压缩流体在有时间相关自由流存在的情况下，绕着拉伸薄板上驻点的二维非定常流动。Ellingbeshy和Aldawody[9]研究了热辐射和磁场对垂直多孔拉伸表面非定常边界层混合对流换热问题的影响。作者在Refs。文[8，9]将运动和能量的控制方程转化为非线性常微分方程，并用打靶法数值求解Magyari和Keller[10]数值研究了具有指数温度分布的指数拉伸连续表面上稳态热边界层的相似解。Ellingbeshy[11]用数值方法研究了层流边界层方程的相似解，该方程描述了由受摩擦的指数拉伸表面驱动的静止流体中的热和湍流。本文用Bidin和Nazar的Keller箱法[12]数值研究了指数拉伸薄板上存在热辐射的不可压缩粘性流体的二维定常层流边界层流动和传热问题。Al-odat等人[13]对存在磁场效应时具有指数温度分布的指数拉伸连续表面上的热边界层进行了数值研究。Sajid和Hayat[14]研究了辐射对指数拉伸薄板上粘性流体边界层流动和传热的影响。Hayat等人[15]分析了在辐射存在下第二等级液体的稳态磁流体动力学（MHD）湍流。Chen[16]分析了在存在热产生/吸收和热辐射的情况下，导电的幂律流体经过拉伸表面的磁流体动力学混合对流湍流和热传递问题。一种分析技术，即同伦分析方法，是廖[17]给出非定常边界层的级数解g相似性变量（-）热辐射和磁场对非稳态混合对流换热的影响217--2mL 1-at0þ00at）/U11þ在不渗透的拉伸板上流动。Ahmad等人[18]提供了径向拉伸薄板上二阶流体非定常轴对称湍流问题的解析解。Sajid研究了二阶非定常边界层绕拉伸薄板流动的问题 等人[19]第10段。本文用数值方法讨论了热辐射和磁场对指数型温度分布的吸除表面上有内生热或吸热时的二维层流非定常边界层流动和传热的影响。本研究可[11]这是一个很好的例子。其中u和v分别是沿x和y轴的流体速度分量，m是运动粘度，g是重力场，b是热膨胀的体积系数，T是流体温度，r是电导率，q是流体密度，j是热导率，cp是恒定 压 力 下 的 比 热 ， qr 是 辐 射 热 ， Vw （ x ， t ） =f0（U0m/2L（1at））1/2ex/2L为抽吸速度（Vw> 0），f0P0为抽吸参数，Q0为均匀体积生热或吸热。通过使用Rosseland近似[13]来评估辐射热通量，4rs@T4qr1/4 -3k@y; 15k2. 数学公式考虑不可压缩粘性流体沿轴向的二维非定常混合对流边界层流动，拉伸表面。x轴是沿着在运动方向上的表面和y轴是垂直的，如图1所示。拉伸面的速度为Uw（x，t）=U0ex/L/（1-at），温度分布为其中rs是 T4可以在T1附近的泰勒级 数 中 线 性 展 开 ， 得到T4¼4T3T- 3T4：106毫米替换Eqs。（5）和（6）的方程。（3）获得@T@T@T1美元。1 6rsT3@2Tp分布Tw（x，t）=T1+[T0ex/2L/（1-at）2]，其中U0是参考值。入射速度，a是 一 积极 随量纲倒数时间，L是参考长度，t是时间，T1是@tu@xv@yqcj3k1@y2Q0T-T1：ð7Þ远离拉伸面T0是拉伸面附近的温度。一个强度为B0的均匀磁场被正常地施加到拉伸表面上，该拉伸表面在x轴上产生磁效应。如果通过取小的磁雷诺数来忽略感生磁场的影响，则控制此类湍流的连续性、动量和能量方程将被写为：如果我们选择一个流，函数w（x，y）使得u = o w/o y和v = o w/o x。此外，以下相似性变换g¼sU0ex=2Ly;8wx;ys2U0mLex=2Lfg;9@u@v1-at@x@y¼0; 1T1T0x=2 Lþð1-atÞ2ehðgÞ;ð10Þ@u@u@u@2urB2@tu@xv@ym@y2gbT-T1-qu;2将被替换为Eqs。（2）和（7）获得以下结果@T@T@T1℃p@2T@qr常微分方程组：@tu@xv@yqcj@y2-@yQ0T-T1;3f000-2f00-2f02-Le-X=2H-2O-2O-受边界条件u<$Uwx;t;v<$A-Vwx;t;T<$Twx;t 在y 1/40处;ð4Þh00Pr1个NRð11Þfh0-f0h-Le-Xu！ 0;T！T1如y！1个;与边界条件g1/20：f1/20;f1/20;h 1/20;g！ 1：f0！ 0;h！0的整数;ð13Þ其中素数表示关于g的微分，X=x/L是无量纲坐标，A=a/U0是不稳定 参数， k¼gb T0=U2 是 渗透率参数，M<$rB2<$1-at<$1=U0q是磁参数，Pr=qcPm/j是普朗特数，NR<$16rsT3=3jk是的 热 辐射 参数 和 d=Q0（1-10qcp图1物理模型是热生成（d>0）和吸收（d<0）参数。在这个问题中感兴趣的物理量是表面摩擦系数Cf和局部努塞尔数Nux，它们被定义为：218电磁场Ellingbeshy等人表2给出了X，NR，d，A，Pr，f0，k和M的不同取值时-f0 0（0）和- h 0（0）的值.参数（固定值）参数（不同值）-f00（0）-h0（0）0.21.489580.57398X转换成下面的一阶FX表1-h0（0）对于X=A=k=d=f0=0的比较。NRMPR[第11话][12]第十二话伊沙克[20]本结果000.720.767780.7672810.954780.95480.95480.9547821.47151.4714631.869071.86911.86911.8690752.50012.50013103.660373.66043.6603700.510.86110.861092/310.67650.6765031.38071.38075A=k=d=M=0.1，f0=0，Pr=0.72，NR=5X0.51.295530.2603911.295980.240531.51.293410.2254521.290420.21404A=k=d=M=0.1，X=f0=0，Pr=0.72NR01.322690.8478711.306170.5559331.292540.365251.286080.29667101.278320.20109A=k=M=0.1，X=f0=0，Pr=0.72，NR=5D-10.501.312531.304571.290770.611510.495730.33348k=d=M=0.1，X=f0=0，Pr=7，NR=3一0.10.050.21.286091.316071.394860.286671.320371.626850.51.540842.093650.71.630662.35025A=k=d=M=0.1，X=f0=0，NR=5PR0.721.286030.2864111.291210.3485231.313710.67922A=k=d=M=0.1，X=0，Pr=0.72，NR= 5f001.286080.2866711.776220.3338122.433590.39598A=M=0.1，d=-0.5，X=f0=0，Pr=0.72，NR=5K00.10.21.412661.304571.202580.487520.495730.50249A=0.3，k=0.1，d=-0.5，X=f0=0，Pr=0.72，NR=5M0.301.104721.351490.508390.5790.4 1.616360.569840.6 1.734210.56640.8 1.844760.563461 1.949190.560912lx@T=@yy¼03. 数值解及讨论Cf¼pRexX;Nux¼-;Tw-T1ð14Þ1CpRef000;Nu=pR eh00;等式（11）和（12）受到边界条件（13）的约束，其中，l=j/qcp是所述液体的动态粘度，Rex= xUw/m是雷诺数。微分方程如下：W01¼W2;1015mm2热辐射和磁场对非稳态混合对流换热的影响219图2不同X值的速度分布图，A= k = d = M = 0.1，f0= 0，Pr = 0.72和NR= 5。图5不同A值的速度分布图，k= d = M = 0.1，X = f0= 0，Pr = 7和NR= 3。图3速度 各方面的资料 值 NR，A= k = d = M = 0.1，X = f0= 0和Pr = 0.72。图6不同Pr值的速度分布图，A= k = d = M = 0.1，X = f0= 0和NR= 5。图4示 速度 普罗菲莱斯 为 各种 值 的 d与A= k = M = 0.1，X = f0= 0，Pr = 0.72和NR= 5。图7不同f0值的速度分布，A= k = d = M = 0.1，X = 0，Pr = 0.72和NR= 5。W0¼压力5-WW1个NR15 24 4 5W02¼W3;1016mm-dW4;19W0¼-WW 2W2Le-XA2W2000MW其中W1=f，W2=f0，W3=f00，W4=h和W5=h0。31322 3 2初始条件-ke-X=2W4;17W04¼W5;118mmW11000英尺f0;W21000英尺1;W31000英尺s1;W41000英尺 1;W51000英尺s2;ð20Þ220电磁场Ellingbeshy等人图8示 速度 普罗菲莱斯 用于各种 值 的 k与A= M = 0.1，d =-0.5，X = f0= 0，Pr = 0.72和NR= 5。图图11不同NR值的温度曲线，X= f0= 0，A = k = d = M = 0.1和Pr = 0.72。图9中 速度Profiles for 各种值 的 M与A= 0.3，k = 0.1，d =-0.5，X = f0= 0，Pr = 0.72和NR=5。图图12不同d值的温度分布，A= k = M = 0.1，X = f0= 0，Pr = 0.72和NR= 5。图图10不同X值的温度曲线，f0= 0，A = k = d = M = 0.1，Pr = 0.72和NR= 5。图图13不同A值的温度曲线，k= d = M = 0.1，X = f0= 0，Pr = 7和NR= 3。其中s1和s2是作为解的一部分确定的先验未知数。利用Mathematica中的NDSolve子程序，对系统方程组进行求解（15）s1和s2的值是在求解边界条件W2（gmax）=0和W4（gmax）=0时确定的。一旦s1和s2被确定，系统将被关闭，并且可以通过NDSolve子程序再次数值求解以获得最终结果。因此，只需一条积分路径就足以解决问题，而不是像打靶法那样消耗迭代技术的时间。计算已经针对先前定义的参数X、A、k、M、Pr、NR、d和f0的各种值进行。通过在不同条件下与以前发表的论文进行各种比较，检查了数值方案的准确性。当地Nusselt的结果热辐射和磁场对非稳态混合对流换热的影响221-数值-h0（0）与文献[1]中报道的数值进行了比较。[11，12]对于X = A = k = d = M = f0= 0，对于Pr和NR具有不同的值。定量比较示于表1中，并且发现具有良好的一致性。从本研究中可以恢复无吸力稳定指数面的结果，并发现与Ishak[20]的结果非常一致，如表1所示。很明显，对于表2所示的所有不同参数值，表面摩擦系数f0 0（0）的值均为负值。物理上，f00（0）的负值意味着表面对流体施加了一个拖曳力，这适用于我们目前的问题，因为拉伸表面将诱导流体流动。随着无量纲坐标X、热辐射参数NR、生热（d>0）和吸热（d0<）参数或渗透率参数的增大，表面摩擦系数f0 0（0）增大k如表2所示。另一方面，如表2所示，这些值通过增加不稳定性参数A、普朗特数Pr、吸力参数f0或磁参数M而减小。Nusselt数的值 h0（0）增加增加无量纲坐标X、热辐射参数NR或如表2所示的发热（d>0）和吸收（d0）参数。<另一方面，这些值通过增加不稳定性参数A、普朗特数Pr或介电常数Pr而减小。图14不同Pr值的温度分布，X= f0= 0，A = k = d = M = 0.1和NR= 5。图15在Pr= 0.72、NR=5、X=0和A=k=d=M=0.1时，不同f0参数f0，如表2所示。最后，局部努塞尔数的值通过增加磁导率参数k而略微减小，并且通过增加参数磁性M而略微增大，如表2所示。X、NR、d、A、Pr、f0、k和M的不同值的速度分布图见图1和图2。2-9，分别。此外，X、NR、d、A、Pr和f0的不同值的温度分布图见图11和12。10-15，分别。图图5和图 13分别显示了非定常参数A对速度和温度分布的影响。可以注意到，A的增加导致速度和温度边界层变薄。热辐射的影响如图所示。 3.观察到增大NR值有增大速度和温度边界层的趋势。此外，热辐射参数NR增加的影响是增加温度边界层，如图11所示，这可以通过以下事实来解释：如果热辐射参数增加，平均吸收系数k将降低，这反过来又增加了辐射热通量的发散因此，传递到流体的辐射热的速率将增加，使得流体温度将增加。如图2和图3所示，生热（吸收）系数d的增加倾向于增加流体速度和温度。4和12。无因次坐标X对流体速度和温度的影响如图2和3所示。分别为2和10。随着X的增加，流体温度升高，而流体速度降低。如图9所示，磁参数M的增加倾向于减小流体速度。如图1A和图1B所示，Pra-1数Pr的增加具有降低流体的速度以及温度的效果。分别为6和14。最后，图7表明，随着吸力参数f0的增加，流体速度减小，而f 0 的增加使流体温度降低，如图7所示。 十五岁4. 结论本研究可被视为Elasticbeshy[11]的扩展。在得到初始条件后，利用Mathematica软件对该方程组进行了数值求解本文用数值方法研究了热辐射和磁场对具有内生/吸热的指数拉伸表面上非定常混合对流换热的影响通过适当的相似变换，将含时偏微分方程组转化为常微分方程组，并利用Mathematica软件求解数值计算结果表明，传热速率的计算值与以往的研究结果十分吻合获得以下结果1. 表面摩擦力随无量纲坐标、热辐射、生热/吸热和磁导率参数的增大而增大，随普朗特数、不稳定性、吸力和磁参数的增大而减小。222电磁场Ellingbeshy等人2. Nusselt数随无量纲坐标、热辐射和生热/吸热参数的增大而增大，随普朗特数、非定常性和抽吸参数的增大而减小。3. 随着热辐射参数的增加，热辐射的影响变得更加显著，因为传递到流体的辐射热量将增加。4. 随着磁参数的增加，磁场的影响变得更加显著，因为磁流体将减速。引用[1] B.C. Sakiadis，连续固体表面上的边界层行为：I.二维和轴对称湍流的边界层方程，AIChE Journal 7（1）（1961）26[2] 法医李明，“热边界层在吸、喷流作用下的动力学特性”，国立台湾大学机械工程研究所硕士论文，1995[3] P.S. Gupta，A.S.张志华，张氏管在空气中的传热传质，国立台湾大学化学工程研究所硕士论文，2000[4] H.T. J.B.安德森Aarseth，B.S.张文，非定常拉伸表面上液膜的热传递，热传递学报43（2000）69[5] A.伊沙克河纳扎尔岛Pop，具有规定热通量的不稳定拉伸表面 上 的 热 传 递 ， Canadian Journal of Physics 86 （ 6 ）（2008）853[6] 电磁场ElvisBeshy，M.A.A. 陈文，热传导理论在非稳态热传导中的应用，应用数学与计算，2003年第2期，第138页。[7] 电磁场T.G.埃尔南德斯·贝希Emam，热辐射和热传递在嵌入在多孔介质中的非稳态拉伸表面在热源或热沉存在下的影响，热科学，2010年。。[8] P.R.夏尔马湾Singh，在可变自由流存在下拉伸片材上关于停滞点的非定常湍流，Thammasat International Journal ofScience and Technology 13（1）（2008）11[9] 电磁场Ellingbeshy，D.A. Aldawody，热辐射和磁场对非定常混合对流多孔拉伸表面上的对流和热传递，国际非线性科学杂志9（4）（2010）448[10] E.马焦里湾张文龙，等离子体表面的传热与传质，应用物理学报，2000（4）：137 - 138.[11] 电磁场张文辉，等离子体表面热传导的研究，机械工程学报，2001，（6）：133[12] B.比丁河Nazar，数值解的边界层湍流在指数拉伸片与热辐射，欧洲科学研究杂志33（4）（2009）710[13] 最大质量Al-Odat，R.A. Damseh，T.A. Al-Azab，在磁场效应存在下指数拉伸连续表面上的热边界层，国际应用力学与工程杂志11（2）（2006）289-299。[14] M. Sajid，T. Hayat，由于指数拉伸片材引起的边界层湍流上的热辐射的影响，国际传热与传质通讯35（2008）347[15] T. Hayat，Z.阿巴斯，M. Sajid，S.张文，热辐射对磁流体流动的影响，国立台湾大学机械工程研究所硕士论文，2007[16] C.H. Chen ， Magneto-hydrodynamic mixed convection of apower-law crossroid past a stretching surface in the presence ofthermal radiation and internal heat generation/absorption ，International Journal of Nonlinear Mechanics 44（2009）296-603.[17] S.J. 廖 ， 非 定 常 边 界 层 绕 流 之 解 ， 应 用 数 学 研 究 117（2006）239[18] I.艾哈迈德，M。Sajid，T.哈亚特Ayub，在径向拉伸片材上 的 二 阶 非 定 常 轴 对 称 流 动 ， 计 算 机 数 学 与 应 用 56（2008）1351[19] M.萨吉德岛艾哈迈德，T.哈亚特Ayub，非定常湍流和拉伸片材上的第二等级流体的热传递，非线性科学和数值模拟通信14（2009）96[20] A. Ishak，MHD边界层湍流由于具有辐射效应的指数拉伸片，Sains Malaysiana 40（2011）391