G-代数的L-fuzzyG模糊化及其性质分析

Journalof the Egyptian Mathematical Society（2015）23，219埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章G-代数的L-fuzzyGTapan Senapatia，*，Chiranjibe Janab，Monoranjan Bhowmikc，马杜曼加尔省a数学系，Padima Janakalyan Banipith，Kukurakhupi 721517，印度bVidyasagar大学应用数学与海洋学和计算机程序设计系，印度新德里c数学系，五。T. T. 印度孟买印度孟买接收日期：2013年9月24日;修订日期：2014年4月8日;接受日期：2014年2014年7月2日在线发布本文研究了G-子代数的L-模糊化，并研究了它的一些性质。给出了L-fuzzyG我们用G-代数的水平子代数族对G-子代数进行了分类2010年数学学科分类：06F35; 03G25; 08A72？2014制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表1. 介绍BCK=BCI-代数的研究是Imai和Iseki在1966年作为集合论差分和命题演算概念的推广而开始的。胡和李[3]引入了一类广泛的抽象代数：BCH-代数。证明了BCI-代数类是BCH-代数类的真子类。Neggers等[4]引入了Q-代数，并推广了BCK=BCI-代数中的一些定理. Ahn等人[5]引入了一个新的概念，称为QS-代数，并讨论了G-部分*通讯作者。联系电话：+91 9635430583。电 子 邮 件 地 址 ： math.gmail.com （ T.Senapati ） ，jana.chiranjibe7@gmail.com （ C. Jana ） ， mbvttc@gmail.com（M.Bhowmik），mmpalvu@gmail.com（M. ）。同行评审由埃及数学学会负责QS-代数Neggers和Kim[6]引入了一个新的概念，称为B-代数，它与几类感兴趣的代数如BCK=BCI=BCH-代数有关。Kim和Kim[7]引入了BG-代数的概念，它是B-代数的推广.Senapati等人[8-Walendziak[16]引入了一个新的概念，称为BF-代数，它是B-代数的推广，并得到了一些结果。Bandru和Rafi[17]引入了一个新的概念，称为G-代数，它是QS-代数的推广，并讨论了这些代数与其他相关代数如Q-代数，BCI-代数，BCH-代数，BF-代数和B-代数之间的关系。他们引入了G-代数的0-交换、G-部分和中间的概念，并研究了它们的相关性质。本文的目的是将L-模糊集的概念引入到G-代数的G定义了G-代数的L-fuzzyG-子代数的概念我们用G-代数的水平子代数族对G-子代数进行了分类证明了如果每个L-fuzzyG-子代数都有有限象，则1110- 256 X？ 2014制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2014.05.010制作和主办：Elsevier关键词G-代数;G-子代数;L-模糊集;L-fuzzyG-子代数220T. Senapati等人ωω12ðÞð Þ21/4杯咖啡2g2张图片f2张图片g联系我们ð Þ ð ω Þ ð Þ^ð Þ222G-子代数的每一个降链终止于有限步。除此之外，我们还观察到，如果任意L-fuzzyG-子代数的值集是L的良序子集，则G-子代数的值集在有限步终止。2. 预赛在这一部分中，包括了本文所需的一些基本方面。在本文件中，一般地，X的L-fuzzyG-子代数的无穷多个交也是X的L-fuzzyG-子代数。如果A是X的一个L-fuzzyG-子代数，则很容易证明集合IaA<$fx2X：aA<$x<$$>aA<$0<$g是X的一个G-子代数，X.定理3.2. 设B是X的非空子集，A是X中的L-fuzzy集，定义为一个100万美元。k、如果x2B表示具有极大元A的完全分配格1和最小元素0。s;否则定义2.1（[17]G-代数）。一个具有常数0和二元运算的非空集X称为G-代数，如果它满足以下公理G1：xωx¼ 0G2：xωxωyy;对于所有x;y2X：一个G-代数记为<$X; ω;0 <$。现在，我们引入清晰集X上的G-子代数的概念和二元运算。G-子代数的定义如下。定义2.2（[17]G-子代数）。G-代数X的一个非空子集S称为X的G-子代数，如果xωy2S，对所有x;y2S.从这个定义可以看出，如果一个子集SG-代数且它是闭的，则S成为G-子代数.本文的主要目的是研究L-模糊集上的G-子代数的概念.在L-fuzzy集中，元素的隶属度值与元素一起写. 这个集合的定义如下。定义2.3（[18]）。 设X是一个非空集。L-模糊集A¼fhx;aAx i：x2XgofXisafunctionaA：X！ L.X 中 两 个 L- 模 糊 集 A<$f ： x2Xg 和B<$f ： x2Xg 的 交 定 义 为 A\B<$aA<$x< $ ^aA <$y<$x对所有x2X。3. 主要结果在下文中，设X表示G-代数，除非另有说明。结合清晰集上G-子代数的定义和L-fuzzy集的思想，我们定义了L-fuzzyG-子代数，定义如下。定义3.1. 让一个x;aAx：xX是X中的L-fuzzy集，其中X是G-子代数，则集合A是二元算子ω上的L-fuzzy G -子代数，如果它满足条件aA<$xωy<$PaA<$x< $ ^a A<$y <$p对所有x;y2X.若A是X中的L-fuzzy G-子代数，则对所有x2X，aA 0是aAx的上界，即aA 0P aAx.而且，很容易证明，aA<$0ωx<$P a A<$x<$p对所有x 2 X都成立. 设fxng是X的一个序列.然后AA0PAx n或1 PAA0PAxn。 Iflimn！1aAxn1 ，然后是A 01 。像其他子代数一样， 两个L-fuzzyX的G-子代数也是X的L-fuzzyG-子代数.更对于所有的k;s2L其中kPs。则A是X的L-fuzzyG-子代数当且仅当B是X的G-子代数.此外，我是A¼B。证据设A是X的L-fuzzyG-子代数.设x;y2X使得x;y2B.那么aAxωyPaAx^aAyk。所以xωy2B。因此，B是X的一个G-子代数.反之，设B是X的G-子代数. 让x;y2X.考虑两种情况：情况（i）如果 x;y2B 然后 xωy2B， 因此 aAxωykaAx ^a A y。情形（ii）若xRB或yRB，则aA<$xωy <$Ps¼aAx ^a A y。因此，A是X的L-fuzzyG-子代数.此外， IaA<$fx2X;aA x< $aA0g<$fx2X;aAxkg1/4B。 Q定义3.3.设A是X的L-fuzzyG-子代数.为s L，集合UaA：s x X：aAxPs 称为A的水平子集。显然，这个水平子集U aA：s 是的G-子代数，X.定理3.4. 设A是X中的L-fuzzy集，使得U aA：s是X的G-子代数，对任意s L.则A是X的L-fuzzy G-子代数。证据设对每个s2L，U∈A：s∈ A是X的子代数.相反，设x0;y02X使得aA<$x0ωy0 <$s1<$1s h1^h2<$> s和h2> s1<$1 s h1^h2<$> s。因此，h1^h2>s1>s 1/aAx0ωy0，因此x0ωy0 RUaA：s，这是一个矛盾，因为aAx0ω y 1h1Ph1^h2>s1，aAy0h2Ph1h2>s1。这意味着x; yA：s.AxyPaAxaAy对于所有的x;y X。因此，A是X的L-fuzzyG-子代数. H定理3.5.X的任何子代数都可以实现为X的某个L-fuzzy G-子代数的一个水平子代数。证据设P是X的L-fuzzyG-子代数，A是X上的L-fuzzy集，定义为.k;如果x2P0;否则aAx ¼G-代数的L-fuzzy G-子代数221ð Þ ðÞ⊂ ⊂ ⊂··· ⊂¼2½]¼f2gð Þ ðÞð Þ¼222012年2月2日ð Þ2 ð Þ ð Þð Þ¼价格€2.001ð Þ ðÞ一212一2一10G-子代数UaA：si;16i6n构成所有的水平子代数，一01R一0一1一联系我们R对于所有k2L.我们考虑以下情况：情况㈠： 如果x;y2P，然后aAxk;bAxs。因此，在本发明中，aA x ω y k k a A x ^a A y。情况（二）： 如果x2P和yRP，那么A=x=k，A =y=0。因此，aAx ω y P 0 aAx^aAy。情况㈢： 如果xRP和y2P，那么A=x=0，A =y=k。因此，aAx ω yP 0 a Ax^aAy。情况㈣： 如果xRP和y RP然后aA×A ×0，aA/50/40。现在aAxωyP0aAx^定理3.7. 设A是G-代数X. f A的两个水平子代数UaA：s1;UaA：s2（其中s1s1>···>s r ， 其 中 每 个 s i0; 1 。 设Ax;aAx>：x X是L-fuzzy的<集合定义为. s;如果x2P一年六个月<。从s，这意味着UaA：s1<$UaA：s2。这就完成了证明。H备注3.8.作为定理3.7的结果，有限G-代数X的L-fuzzyG-子代数A的水平子代数形成链. 但是Ax6A0对于所有的x2X。因此UaA：s0，其中s0aA 0，是最小水平子代数但并不总是UaA：s0，如下例所示， 所以 我们 有 的 链UaA：s0U aA：s1·· ·U定理3.9. 设X是有限G-代数，A是X的L-fuzzy G-子代数. 如果Im为A，则f为1;.. . ; s ng，则si;ifx2Pi-Pi-1; 0i6r：<我们考虑以下两种情况：情形（i）：设x;y2Pi-Pi-1.（1）A.A因为Pi是一个G-子代数，我们有xωy2Pi，所以要么xωy2Pi-Pi-1要么xωy2Pi-1。 在任何情况下，我们得出结论，a Axω y Ps i aAx^aAy。情形（ii）：设x2Pi-Pi-1和y2Pj-Pj-1，其中i>j. 因此，由A1，Axs i和Ay s j。 则xωy2Pi，因为Pi是X的G-子代数且Pj <$Pi. 因此，aAx ω yP s j<$aAx^aAy。因此A是X的L-fuzzyG-子代数.从2011年开始，它遵循代数A.证据 设s2½0;1]和sRImaA。假设s1s2<···n不失一般性。<如果s6s1，则UaA：s1A：是的。如果s>sn，那么显然U=A：sn/。如果si-1s ssi，<<然后根据定理 3.7我们 得到 UaA：s¼X你好，我是说。因此，对于任何s2L，水平子代数是fUaA：siji1;2;中的一个。 . . ng.H一个G-代数的两个L-fuzzyG-子代数可以有相同的水平子代数族，但 L-fuzzyG-子代数不相等。定理3.10. 设X是G-代数，A是X的L-fuzzyG-子代数. 如果ImaA是有限的，就说fs1;s2;. . . . ;sng，那么我是一个s;s;. ;s .因此，A由G-子代数链给出Ua：sUa：s···Ua：sX：对于任何si;sj2ImaA;UaA：si< $u aA：sj蕴涵sisj。定理3.11. 设A<$fhx;aAx i：x2Xg和B<$fhx;aBxi：x2Xg是有限群的两个L-fuzzy G-子代数具有同一水平子代数族的G-代数X。 如果现在UaA：s0XX：aAxPs0均p0.最后我们证明的U aA：s iPi为0i6r.<很明显Pi UaA：si.如果x U aA：s i，则aAxPs i，这意味着xRP j，对于j>i。Axs0;s1;. ;si，soxPk对于某个k6i.当Pk<$Pi时，可以得出xPi。因此，UaA：si Pi= 06i6r。这就完成了证明。Q注意，如果X是有限G-代数，则X的G-子代数的个数是有限的，其中作为L-fuzzyG-子代数A的水平子代数的个数似乎是无限的。但由于每个水平子代数确实是X的一个G-子代数，所以并非所有这些G-子代数都是不同的。下一个定理描述了这个方面。Imat 0; t1;. . ; t rg和ImaBfs0; s1;. 其中t0>t1>···>t r且s0>s1>. . >sk，则我们有ði Þr ¼kðiiÞUðaA:tiÞ¼UðaB:siÞ;06i6k如果x2X使得aA=xn =ti;则aB=xn =si;06i6k：证明(i) 根据定理3.9，A和B的子代数只有两个族 UaA：ti和UaB：si。由于A和B有相同的水平子代数族，因此可以得出r^k。aAx ¼0ð1Þ222T. Senapati等人···ð Þ ð Þ···2 ð Þ¼ ð Þ¼¼22ω 2ð Þ≥ ≥···一ð Þ ð Þ ð Þ···B不一(ii) 利用注3.8和图1，我们得到了水平子代数UaA：t0UaA：t1···UaA：tkX和UaB：t0UaB：t1···UaB：tkX的链。很明显，如果ti;tj2ImaA，使得ti>tj，且si;sj2ImaB，使得si>sj，则UaA：t iUaA：t j和UaB：siUaB：sj：2由于这两类水平子代数是相同的，很明显UaA：t0UaB：s0。根据假设UaA：t1UaB：s j， 一些 j>0。 假设 的A：t1-B：s 1。则对于某个j > 1，U aA：t1<$UaB：s j，并且A：I'm notsure.I'mnot sure.<因此，通过2，我们得到UaB：sjuaA：t1uaA：t i和UaA：t iuaB：s1uaB：s j。这是一矛盾因此A：t1000 A：s1000. 通过对i;06i6k的归纳，我们最终（UaA：/t-1，因此我们得到一个严格下降链U aA：/1）U aA：/2 ）的G-子代数，而不是终止。这是不可能的。故A是有限的。Q现在我们考虑定理3.13的逆命题定理3.14. 如果X的每个L-fuzzy G-子代数A都有有限象，则X的每个G-子代数的降链都终止于有限步。证据设X的G -子代数存在一个严格降链T0）T1）T2，它不以有限步终止. 定义X中的L-fuzzy集A，求出UaA：tiuaB：si;06i6k。aA/50/40。nn1如果x2TnnTn<$1;(iii) 设xX 使得aAx ti且令aBxsj，其 中 06i6k 和 06j6k 。这 足 以证 明 ，SJ 是 i 。 现在x2UaA：t iuaB：s i意味着aBxs jPs i。这使得从2，UaB：sjUaB：si。 由于x 2UaB：sj，it从ii得出x 2UaA：tj，因此aAxtiPtj，这意味着UaA：tiUaA：tj由2得出。使用双螺杆挤出机，我们1ifx2\1n<$0 Tn;其中n0; 1; 2;. T0代表X设x;y X.现在，我们考虑以下情况：如果 x和y Tn，则x yT n因为Tn是一X的G因此，我们认为，n有UaB：siU aA：tiUaA：tjU aB：sj。因此，根据定理3.10，aAxωyPn11/2Ax^aAy：斯贾斯岛这就完成了证明。H定理3.12. 设A和B是有限G-代数X的两个L-fuzzy G-子代数，使得A和B的水平子代数族相同. A.B. C.证据如果是A/B，那么很明显我是A/B，我是A/B。相反，假设ImaAImaB。为方便起见，我们用Im_a_A_f_t_0; t_1;. . ;t rg和ImaBfs0; s1;. 其中t0>t1>···>tr，s0>s1>···>sr.然后是02我的B组我的A组。因此，对于某个n0，s 0 1/4 t n 0。假设t n0- t 0.所以t n0s1，我们有t n0>t n1.继续这样，我们有t n0>t n1>···>t nr。由于s0m，则xωy2Tm. 因此，我们认为，MaAxωyPm1¼aAx^aAy：如果x2TnnTn 1和x2TmnTm 1，哪里nm，则/t-1，这意味着x 2 UaA：/t-1。因此乌鲁亚2Imat-1 对于t¼2; 3;.......... Since/ t-1 ：//：/Ua.其 中k/4 min fn 2 Njx 2 T ng0如果xRTn存在xt-1使得A=xt-1π/t-1。 它遵循x t-1\f22UaA：/t-1\f6，但x t-1\f2RUaA：/t-1\f6。 因此UaA：/t利用与定理3.14类似的方法，我们可以证明A是X的L-fuzzyG-子代数.由于链303不是aAx ¼K一一G-代数的L-fuzzy G-子代数223ð Þð Þð Þ ðÞ联系我们终止时，A具有严格递减的值序列。这与任何L-fuzzyG-子代数的值集是良序的这一结论相矛盾。这就完成了证明。Q4. 结论为了研究代数系统的结构，显然具有特殊性质的子代数起着重要的作用。本文考虑了G-代数的L-fuzzyG我们希望这一工作能为进一步研究G-代数理论打下基础。在G-代数的L-fuzzy结构的研究中，可以考虑以下几个问题：i寻找区间值L-fuzzyG-子代数，ii寻找直觉L-fuzzy和区间值直觉L-fuzzyG-子代数，iii寻找直觉T;S-fuzzyG-子代数，其中S和T是可想象三角模，iv寻找G-代数的s;sq-fuzzy和直觉L-fuzzyG-子代数确认作者非常感谢各位专家和M.感谢副主编Asaad先生对本文提出的宝贵意见和改进建议。引用[1] Y. 黄，BCI-代数，科学出版社，北京，2006。[2] T. Senapati ， M. Bhowmik ， M. Atanassov's intuitionisticfuzzy translations of intuitionistic fuzzy H-ideals in BCK =BCI - algebras，Notes Intuition.模糊集19（1）（2013）32-47。[3] Q.P. Hu，X.李明，关于BCH-代数，数学研讨会笔记11（2）（1983）313-320.[4] J. Neggers，S. S. Ahn，H.S. Kim，On Q-代数，Int. J. Math.数学科学27（12）（2001）749-757。[5] S.S. Ahn，H.S.金，关于QS-代数，J. Chungcheong Math.Soc.12（1999）33[6] J. Neggers，H.S. Kim，On B-algebras，Mat. 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