牛顿-柯特斯公式代数精度怎么看

牛顿-柯特斯公式代数精度是指该公式在计算定积分时的精度。具体地说，如果使用 $n$ 阶牛顿-柯特斯公式计算一个函数 $f(x)$ 的定积分 $\int_a^b f(x)dx$，那么该公式的代数精度就是 $2n+1$。

代数精度的含义是，假设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上具有充分光滑的性质（比如连续、可导、可微等），那么使用 $n$ 阶牛顿-柯特斯公式计算 $\int_a^b f(x)dx$ 时的误差与步长 $h$ 的关系是 $O(h^{2n+2})$，即误差随着步长的减小而按 $h^{2n+2}$ 的速率减小。

因此，代数精度越高的数值积分方法，其计算定积分的精度越高，但相应的计算量也越大。在实际应用中，需要根据具体问题的需要和计算资源的限制，选择适当的数值积分方法。

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n个节点的牛顿-柯特斯公式代数精度

$n$ 个节点的牛顿-柯特斯公式的代数精度为 $2n+1$。这个结论可以通过数学归纳法证明。

首先考虑 $n=1$ 的情况，即使用一个节点的牛顿-柯特斯公式计算定积分。这时，公式形如 $\int_a^b f(x)dx \approx w_0 f(x_0)$，其中 $x_0$ 是区间 $[a,b]$ 上的一个节点，$w_0$ 是权重系数。容易发现，该公式的精度为 $2n+1=3$，即它可以精确计算一次多项式的定积分。

假设对于 $n=k-1$，$k\geq 2$，个节点的牛顿-柯特斯公式的代数精度为 $2k-1$。现在考虑 $n=k$ 的情况。使用 $k$ 个节点的牛顿-柯特斯公式计算 $\int_a^b f(x)dx$，可以将区间 $[a,b]$ 平均分成 $k$ 个子区间，每个子区间上使用 $k-1$ 个节点的牛顿-柯特斯公式。因此，整个定积分的计算公式可以写成

$$
\int_a^b f(x)dx \approx \sum_{i=0}^{k-1} w_i \int_{x_i}^{x_{i+1}} f(x)dx
$$

其中 $x_0=a, x_k=b$，$w_i$ 是权重系数。根据归纳假设，每个子区间上使用 $k-1$ 个节点的牛顿-柯特斯公式的代数精度为 $2(k-1)+1=2k-3$。由于多项式的定积分是可加的，因此整个定积分的误差为每个子区间误差之和。根据误差公式，

$$
\int_{x_i}^{x_{i+1}} f(x)dx - w_i f(x_i) = O(h_i^{2k})
$$

其中 $h_i=x_{i+1}-x_i$ 是子区间的步长。因此，

$$
\sum_{i=0}^{k-1} \left|\int_{x_i}^{x_{i+1}} f(x)dx - w_i f(x_i)\right| = O\left(\sum_{i=0}^{k-1} h_i^{2k}\right)
$$

由于 $h_i$ 相等，上式右边的和可以简化为 $kh^2$，因此整个定积分的误差为 $O(kh^2)$，即代数精度为 $2k+1$。这就证明了 $n=k$ 时的结论。

综上所述，对于任意的 $n$，$n$ 个节点的牛顿-柯特斯公式的代数精度为 $2n+1$。

5个节点的牛顿-柯特斯公式代数精度是

使用5个节点的牛顿-柯特斯公式计算定积分，可以将区间 $[a,b]$ 平均分成4个子区间，每个子区间上使用4个节点的牛顿-柯特斯公式。因此，整个定积分的计算公式可以写成：

$$
\int_a^b f(x)dx \approx \frac{h}{90}(7f(a)+32f(a+h)+12f(a+2h)+32f(a+3h)+7f(b))
$$

其中 $h=\frac{b-a}{4}$ 是子区间的步长，$f(a),f(a+h),f(a+2h),f(a+3h),f(b)$ 是区间端点和中间节点的函数值，系数 $7,32,12,32,7$ 是权重系数。这个公式的代数精度为 $2n+1=11$，即它可以精确计算一个十次多项式的定积分。

牛顿-柯特斯公式的代数精度公式为 $2n+1$，其中 $n$ 表示使用的节点数。因此，5个节点的牛顿-柯特斯公式的代数精度为 $2\times 5+1=11$。