超球小波配点法解决2n阶初边值问题

Journalof the Egyptian Mathematical Society（2016）24，319埃及数学学会埃及数学学会会刊www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate原创文章求解2n阶初边值问题的新超球小波配点法E.H. 多哈a，W.M.Abd-Elhameedb，a，Y.H.Youssria，a埃及吉萨开罗大学理学院数学系b沙特阿拉伯吉达大学理学院数学系接收日期：2014年8月1日;修订日期：2015年5月5日;接受日期：2015年5月20日2015年6月16日在线发布摘要本文提出了一种基于超球面小波和谱配点法的谱算法。该算法被用来解决线性和非线性偶数阶初边值问题。该算法通过研究所用超球面小波展开的收敛性分析得到支持获得上述问题谱数值解的基本思想是利用小波配置法将带有初始或边界条件的线性或非线性微分方程组化为展开系数未知的线性或非线性代数方程组。用本文提出的算法可以有效地求解Lane-Emden型方程和Burger型方程等一些特殊的重要问题。为了检验算法的有效性和适用性，给出了一些数值算例数学学科分类： 65M70; 65N35; 35C10; 42C10版权所有2015，埃及数学学会. Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。∗通讯作者。电 子 邮 件 地 址 ： eiddoha@frcu.eun.eg （ E.H. 多 哈 ） 、walee_9@yahoo.com（W.M.Abd-Elhameed），youssri@sci.cu.edu.eg（Y.H.Youssri）。同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：Elsevier1. 介绍科学和工程领域中的许多实际问题和物理问题都可以表述为边值问题或初值问题。非线性边值问题在许多领域中经常出现，在许多应用中具有重要意义科学和工程学。例如，S1110- 256 X（15）00032-2版权所有2015年，埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V. 这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2015.05.002关键词超非球面多项式;Bernstein型不等式;配置法;偶数阶微分方程伯格320E.H.多哈等人22.，=，α−2（α）（α）≡n2n−1=−=−α−∼2公司简介∫αC（α）cos θ）|<二、 0≤θ≤π， 0<α 1。∫均匀加载矩形板的整个表面由弹性基础支撑，沿边缘刚性支撑，满足四阶微分方程，例如见[6，8，12谱方法在求解各种微分方程中占有重要地位。已知有三种最广 泛使用的 谱方法， 它们是τ 方法、 配位方 法和Galerkin方法。配置方法在求解微分方程中越来越受欢迎，特别是在提供非线性微分方程的高精度解方面非常有用（参见例如[1，6，8，12 - 15，19，20，28 - 30，41，49]）。高偶阶微分方程由于其在许多领域的应用中的重要性而得到比如说，2. 超球多项式和超球小波这一部分是关于超非球面多项式及其移位多项式的概述。此外，超球面小波构造在这一节。2.1. 超球多项式超球多项式是一类对称的Jacobi多项式.它们是定义在区间（− 1，1）上的正交多项式序列，关于与实参数相关的权函数w（x）=（1 − x2）α− 1（α>-1）。说明它们满足正交性在论文[18，16，17]的序列中，作者处理了这样的用Galerkin方法求解方程组他们建造了合适的11（1 − x2 C㈩C（x）dx=π21−2α<$（n+2α）m n你好！（n+α）（n（α））2满足-1给出微分方程。为此，他们使用了COM-）m n0，m/=n。（一）各种正交多项式的紧凑组合。本文提出的算法适用于处理一维和二维线性高偶阶边值问题。本文利用超球面小波配置方法，给出了一种处理线性和非线性偶数阶初边值问题的新算法。在数学模型中，小波覆盖了很大的范围，已被用于处理各种医疗和工程-此外，它们是以下奇异Sturm的本征函数Liouville方程（1−x2）D2φm（x）−（ 2α+ 1）x Dφm（ x）+m（ m+ 2α）φm（x）= 0，Dd.DX关于超球多项式的更多性质，可以参考文献[5]。需要以下积分公式（见[5]）严格的纪律;特别是小波在信号分析、图像分割、时频分析和易于实现的快速算法中是非常合适的。韦夫特给<$C（α）（ x） w（ x） dx= −2α（ 1−x2）α+1n（ n+2α）C（α+1）（x），n ≥1.（二）各种函数和运算符的精确表示。此外，小波连接之间的快速数值算法，（见[11，38，32]）。勒让德小波先前已被用于求解各种微分和积分方程（参见示例）。[35，34，36，46第一和第二类切比雪夫小波已被用于解决一些整数和分数此外，下面的定理在推导收敛性时是有用的。超球面小波展开定理。定理1（[22] Bernstein型不等式）. 以下不等式对于超球面多项式成立：21−α。n+3α-β罪2[2019 - 05 - 15]最近，Abd-Elhameed等人在[2，3]中介绍了（θ） |n(（α）n+1+αα（三）二阶边值问题的Chebyshev小波新算法到目前为止，据我们所知，超球面小波在各种光谱中的应用，2.2. 移位超球多项式移位超球多项式在[0， 1]上定义为：数值应用在文献中是无迹可循的这给了我们α（α）（α）一个动机，介绍和使用超球面小波在各种应用。Cn（十）Cn（2 x①的人。超球多项式的所有结果都可以很容易地转化为它们的移位多项式的相应结果。的正交关系本文件的大纲安排如下。在第二节中，α（α）2 α−1第二，我们给出了超球多项式及其移位形式的一些相关性质。此外，在本节中，ul-Cn关于权函数ω（xx）给出2是构造了非球面小波在第3节中，con.证明了超球面小波展开的收敛性11（x−x2（α）（x）（α）（x）dx=π2 1−4α<$（n2 α）你好！（n+α）（n（α））2，m=n，第4节涉及提出和实现0求解偶数阶线性和非线性方程）Cn Cmm/= n.基于超球面小波和谱配置方法的线性初值或边值问题。第五节通过数值算例说明了算法的有效性和实用性。结论见第6节。关于超球面多项式的更多性质，请参见[40]。2.3. 超球面小波由称为母函数的单个函数的伸缩和平移构造的函数族的求解2n阶初边值问题321nm=KKnn+1（α）K+1⎩.nmnmnm. .2−||≤252k+1m2Kf（ t） C（α）2k+1t− 2n− 1ω（ 2kt−n） dt.（九）、一2K2 2 α m，α=m（ m+2α）fr（t） C（α+1）2k+1t− 2n− 1（ 2kt−n）M2K2K1+ 2n+ cosθ2k+1（t−t2α−2 f（ t）<$（α）（ t） dt.（3α+5k.αΣ .αΣ2 （m−1）2（m+ 2α− 1）2<$（α+ 2）<$m+212+2（2+2）n（m+2α）（m− 2）（n+1）2ω˜22π小波变换如果伸缩参数A和平移参数B连续变化，则得到以下连续小波族nm=2n+1。Σn2KMAB（t）=|一|-1/2英寸。t − B∈ R，A，B ∈ R，A/= 0。（四）将（9）的右手侧通过部件进行整合，并制作使用关系式（2），yield超非球面小波<$（α）（）<$（k， n， m，α， t）有五个函数：k， n可以是任意正整数，m是超球面多项式的次数，α是已知的超球面参数，t是归一化时间。他们是C5−k n+1。Σn2Km−1在区间[0，1]上定义为？（1 − 2 t+n）ω（2 t− n）dt。（十）2019年12月21日C. 2t−2n− 1<$， t∈ [， ]，0，否则，其中0≤m≤M，0≤n≤ 2k− 1，并且作用：2 k +1 t − 2 n − 1 = cos θ，使能写入2（α）2，m！（m+α）m，αcnm=2α+5k-1）（m+ 2α− 1）2=2α.（六）122（m2∫Σ0备注1. 这里值得注意的是，f（2）（t）等于Legendre小波（见[35]），λ（0）（t）与第一类Chebyshev小波（见[7]）相同，λ（1）（t）与第二类Chebyshev小波（见[56]）相同（十一）假设m>2，考虑到|≤L，并且借助于定理1，我们得到：| ≤ L, and with the aid ofTheorem 1, we obtain3. 函数逼近与收敛性分析|cnm√2|（α）2 μm，α|2α+5k22（m− 1）2（m+ 2α− 1）2定义在[0，1]上的函数f（ t）可以根据以下展开：π。河 1+2 n+cosθ。F（α+2）2α +4超球面小波×0的情况。2k+1. |Cm−2（cos θ）|（sin θ）dθ∞∞2 L |α|（1 + α）μm，α|f（t）=. .cnmε（α）（t），≤2α+5k-1）（m+ 2α− 1）nmn=0m= 022（m2π（α+2）22α +4哪里×0|Cm−2 （cos θ）|（sin θ） dθ2 π L |α|（1 + α）|ξ |100+ 1 +β3+α.Σ∫ 11m，α<2Σ .2英里。此外，该函数可以近似为截断有限系列已知α >0，n< 2k− 1，并借助关系式（6），我们得到2k−1M−1nm2L|α|（1+α）δ。3+αββ。m+1+3αm！（m+α）f（ t）c nmε（α）（t）.|c|<α42 2α。αΣ√45本文给出并证明了如下重要定理：函数f（ x）具有有界二阶导数的超球小波展开一致收敛于f（ x）.4L（1+α）2μ m。m+1+3αm！（m+α）- 是的m+α（m+2α）（m− 2）4（n+ 1）5这就完成了定理的证明。QTheo rem2.设函数f（x）∈L2[0，1]，ω∈ L=1（x）x2）α−2，0 <α<1可以展开为无 穷 大 ，超球面小波，它一致收敛到f（x），条件是frr（x）L.由此可知，（7）中的展开系数满足不等式4 L（1 + α）2（m +1 + 3 α）m！（m+α）注1.这 里 应该注意的是，对于m和n的大值，并利用众所周知的斯特林公式（见[33]），可以很容易地表明，|c nm|时间复杂度为O（n−2m−2）。说明2. 这里值得注意的是，|c nm|<α√45，n≥0，m> 2。定理2可以改进，但有一些额外的条件（m+2）n（m+2 α）（m− 2）（n+1）2nm| ≤3αCm，αnm（α）（t）=m，α（五）另一种是分块集成，利用子块，2π（m+ 2α）×FRRC（α+2）（cosθ）（ sinθ）2α+ 4dθ。平方米C=f（ t），α（ t）=nmnmW0）nm2n=0m= 0..<322E.H.多哈等人（八）在函数f（ x）上，简单地说，如果f是p次可微的，对于p> 1，|f（p）（x）|≤L，我们可以证明，|c nm|具有证据从关系式（5）和（7），可以写出：时间复杂度为O（n−p−2m−2）。1求解2n阶初边值问题323. .u（x）=c（x）. （15）k，M，αnm.Σ=联系我们. .1.....（（+） −）inm. .我. .i c D （0）=a，nmi（. .i c D （1）=b，nmi）=（+2）cnm Dνε（α）+φε x，.3最小绝对误差E列示为k=Xnmnm4. 高偶阶微分方程在这一节中，基于超球面小波展开和谱配置方法，我们将带有初始或边界条件的2ν阶初边值问题化为线性或非线性代数方程组，并能有效地求解。考虑2ν阶微分方程u（2 ν）（x）+φx，u（x），ur（x），. . .，u（2 ν−1）（x）=0，x∈（0，1），（十二）受初始条件u（ i ） （ 0 ） = a i ，i = 0 ， 1 ， . . . ， 2 ν − 1 ，（ 13）或者狄利克雷边界条件u（i ）（0）=a i，u（i ）（1）=bi，i= 0，1，. . .，ν− 1.（十四）（12）的近似解可以根据超球面小波扩展为：2k−1M（α）nmn=0m= 0将（15）代入（12），使得能够将（12）的残差写为：0m的M. 该方程组可以借助于牛顿迭代法求解C，因此可以得到由（15）给出的所需谱小波解uk，M，α（ x）事实上，解决这样的问题，求解非线性方程组及其收敛性问题是一个困难的问题，也是牛顿法的一个缺点。有兴趣的读者参考有用的参考文献[26，42，39]的理论牛顿的方法-（线性化和迭代的非线性算子方程，收敛的牛顿的方法，uniform的解决方案）-求解广义系统的非线性代数方程在Banach空间。实际上，牛顿5. 数值结果和讨论例1. 考虑奇异ur r+1ur+u5= 0，x∈（0，1]，u（0）= 1，ur（0）= 0，（二十）2k−1MR（ x）=⎛2k−1M2nm用精确解u x1x2−。在表1中，最大-0和各种值n=0m= 2νn=0m= 0在表2中，我们给出了一个比较，×2k−1Mn=0m= 1c nmD（α），. . . 、2k−1cnm Dn=0m= 2ν−12ν−1（α）（十六）在k= 0，M= 11和α= − 0的情况下，应用UWCM得到的解。49，在k=0，M= 11的情况下，与[37]中得到的数值解进行比较。配置法的应用（例如，见[9]）意味着，R（x i）= 0，i =1，2，. . . ，。2k（M+1）− 2νπ，（17）实施例2. 考虑奇异边值问题（BVP）（参见[37]）：其中x是C（α）的前2kM1 2根2千人（M+1）. 更多-以上，边界条件（13）的使用给出2k−1Mc nmD（）n（α）（0）= ai，i = 0，1，. . . ，2 ν− 1，（18）n=0m= 0当使用（14）时，2k−1M（）下一页（α）nmn=0m= 02k−1M（）下一页 （α）nmn=0m= 0i= 0，1，. . . ，ν − 1.（十九）等式 （17）与（18）或（19）生成一组2k（M+1）在未知展开系数下，{cnm：0≤n≤ 2k− 1;表1示例1的最大绝对误差E。αMEMEMEMEME154.01 ×10−681.79 ×10−8116.49 ×10−11141.44 ×10−13174.44 ×10−161nmMcnmε（α），表2UWCM与[37]f或实施例1中的溶液之间的比较。X方法[37]UWCM精确解0.10.995037200.995037190.995037190.20.980580670.980580670.980580670.30.957826280.957826280.957826280.40.928476700.928476690.928476690.50.894427180.894427190.894427190.60.857492920.857492920.857492920.70.819231920.819231920.819231920.80.780868800.780868800.780868800.90.743294140.743294140.7432941410.707106780.707106780.70710678324E.H.多哈等人3.77 ×10−63.03 ×10−62.71 ×10−65.09 ×10−91.28 ×10−81.07 ×10−81.32 ×10−112.90 ×10−113.21 ×10−113.26 ×10−144.94 ×10−143.80 ×10−144.44 ×10−163.33 ×10−162.22 ×10−1620-0。49求解2n阶初边值问题325表4UWCM和[37]中的实施例2的溶液之间的比较UWCM（k=0）1.330 ×10−161.460 ×10−16XK==R==R====表3示例2的最大绝对误差E。αMEMEMEMEME135.97 ×10−62.23 ×10−61.63 ×10−75.82 ×10−751.99 ×10−86.02 ×10−92.85 ×10−101.10 ×10−973.84 ×10−111.06 ×10−113.00 ×10−131.45 ×10−1291.19 ×10−122.86 ×10−138.43 ×10−153.64 ×10−14119.10 ×10−152.55 ×10−158.88 ×10−169.99 ×10−16120-0。49urr+0。5ur= e u（0. 5−eu）， x∈（0，1]， u（ 0）= ln2，u（1）= 0，（21）实施例3（Burgers方程）。考虑奇异边值问题（参见，[44]）：1.一、urr+λur−λu=uur+f（x），x∈（0，1]，精确解u（ x）=ln（2）。在表3中，x x2列出了x2+11和在表4中，我们给出了在k=0，M= 11和α=1的情况下，应用UWCM在k=0，M= 11的情况下，文[37]中得到了一个calsolution备注2. 我们在这里提到，表2和表4中的比较说明，在保留模式数量相同的情况下，示例1和示例2的UWCM解比Nasab等人获得在[37]中，并与这两个例子的解析解进行了比较u（0）= 0，u（ 1）= cosh1， （22）其中f（x）被选择为使得（22）的精确解是u（x）x2cosh x。对于λ 1，e10和λ2，e50这两种情况，表5给出了这种情况下k0和不同α值的绝对误差，而表6给出了使用[44]中的B样条配置（BSC）解和UWCM获得的误差之间的比较。1说明了精确的解和一些数值解。备注3. 我们在这里提到，表6表明，我们获得了比[44]中获得的更精确的解，尽管BSC将间隔分成80个相等的部分（n80），这增加了算法的复杂性，而在X0.1方法[37]0.68319682UWCM0.68319684精确解0.68319684本算法（k=0）。0.20.653926550.653926460.65392646实施例4. 考虑四阶非线性梁方程，0.30.653926550.606969480.60696948[2019 - 04 - 15][2019 - 04 - 15][2019- 04 - 15]0.40.544727100.544727170.544727170.50.470003660.470003620.470003620.60.385662500.385662480.385662480.70.80.294371060.198450880.294371060.198450930.294371060.19845093表6最佳最大绝对误差为例3。表5示例3的最大绝对误差E。λReαMEMEMEME110191.01 ×10−79.02 ×10−87.64 ×10−85.90 ×10−82.69 ×10−82.15 ×10−81.60 ×10−89.23 ×10−91.23 ×10−45.22 ×10−48.88 ×10−42.22 ×10−5111.46 ×10−101.17 ×10−108.83 ×10−114.92 ×10−111.64 ×10−119.89 ×10−123.59 ×10−121.08 ×10−122.35 ×10−75.27 ×10−87.24 ×10−82.35 ×10−8131.20 ×10−138.94 ×10−145.55 ×10−138.98 ×10−112.88 ×10−151.22 ×10−153.92 ×10−152.05 ×10−125.22 ×10−112.57 ×10−119.27 ×10−113.59 ×10−8151.33 ×10−157.32 ×10−152.79 ×10−144.53 ×10−121.46 ×10−162.22 ×10−163.72 ×10−153.05 ×10−124.68 ×10−121.25 ×10−125.71 ×10−116.24 ×10−8120-0。4925019111315120-0。49110319111315120-0。490.90.099820330.099820330.09982033λ=1，Re= 10λ= 2，Re= 5010.000000000.000000000.00000000BSC[44]（n=80）1.967× 10−151.085 × 10−15326E.H.多哈等人==−===-43=-−+有精确解u（x）x（1 x）e x。在表9中，列出了k 1和不同M值的最大绝对误差E，而在表10中，我们给出了由不同误差获得的最佳误差之间的比较。备注4. 我们在这里提到，表8和表10说明UWCM比不同作者使用的其他算法更准确（见[4，10，24，27，43实施例6. 考虑奇异边值问题（参见，[37]）：1 1图1实施例3的不同溶液。12ur r+exur+u=6x+x3+ 3x2ex，x∈（0， 1]，u（0）= 0，u（ 1）= 1，（27）精确解u（ x）x3。当量通过应用第4节中描述的算法来求解方程（27），u（4）=6e−4u−（1+x）4，x∈[0， 1]，（23）到αk0和M4，得到近似解u0，4 ， 0（x）。用第一类Chebyshev小波展开u0， 4， 0（x），我们得到u（0）= 0，u（ 1）= ln2，urr（ 0）=−1，urr（ 1）= −1，（24）u0， 4， 0（x）=c0，00+c0，11（2x31） c22019 -02- 1200：00：00（8x2 -8x+ 1）精确解u（ x）=ln（ 1+x）。在表7中，最大-+c0，33（32x− 48x+ 18x− 1）2列出了k=1时的μ m绝对误差E，=c0+c1（2x− 1）+c2（ 8x− 8x+ 1）在表8中给出了不同数值解的最佳误差比较+c3（32x3− 48x2+ 18x− 1），（28）实施例5. 考虑四阶线性方程（见[24，43，45，54，55，27]）：u（4）+xu=0，x∈ [0，1]，（25）其中ci=i c0，i，i 0， 1， 2， 3。现在，Eq.（27）由R（ x）=32c3x3+ 8c2x2− 48c3x2− 8c2x+ 210c3x+c1（2x− 1）+c0+ 17c2− 97c3−x− 6x+e1. 6 c. 16 x2− 16 x +3 + 8 c（2 x − 1）+2 c − 3x2。X3u（0）= 1，u（ 1）= 0，urr（ 0）= 0，urr（ 1）=−4e，（26）2 1（二十九）表7实例4的最大绝对误差E。αMEMEMEMEME162.46 ×10−52.52 ×10−52.56 ×10−52.59 ×10−581.54 ×10−71.46 ×10−71.37 ×10−71.25 ×10−7105.56 ×10−105.06 ×10−104.28 ×10−103.57 ×10−10122.62 ×10−122.45 ×10−122.49 ×10−122.18 ×10−12143.44 ×10−151.30 ×10−131.32 ×10−122.35 ×10−13120-0。49表8比较例4的最佳误差。方法[44]方法[10]方法[4]方法[51]方法[52]UWCM1.25 ×10−126.30 ×10−115.40 ×10−82.70 ×10−126.70 ×10−123.44 ×10−15表9实例5的最大绝对误差E。αMEMEMEMEME求解2n阶初边值问题327171.26 ×10−31.35 ×10−31.44 ×10−31.56 ×10−391.05 ×10−51.10 ×10−51.15 ×10−51.21 ×10−5113.75 ×10−83.81 ×10−83.86 ×10−83.89 ×10−8137.12 ×10−116.99 ×10−116.81 ×10−116.57 ×10−11157.43 ×10−148.59 ×10−147.26 ×10−146.92 ×10−14120-0。49328E.H.多哈等人，多项式T（x），名为lyatx =（2±2−2）.Further-1，24=32==−1+2x==-1314表13实例8的最大绝对误差E。k M E0345.69 ×10−4K11.35 ×10−5M23E1.12 ×10−61.97 ×10−8表10比较例5的最佳误差。方法[24日][四十三][45个][五十四][55个][27日]UWCME4.98 ×10−115.01 ×10−111.67 ×10−95.40 ×10−52.70 ×10−56.38 ×10−136.92 ×10−14我们满足Eq。（29）在移位切比雪夫的前两个根处1√4此外，边界条件的使用产生，c0−c1+c2−c3=0，（30）c0+c1+c2+c3=1，（31）并且所得到的方程组的解给出，本文提出的数值计算方法比文献[50，45，21，23，53]中的数值计算方法更精确。实施例8. 考虑以下非线性二阶边值问题：yrr（x）+. yr（x）<$2−y（x）=sin h2x，y（0）=1，y（1）=cos h1（3，4），具有精确解y（x）cosh x。在表13中，我们列出了k和M的不同值的最大绝对误差E1。5c0=16，c115=32，c23=16，c31=32，实施例9. 考虑下面的二阶线性奇异初值问题（见[35]）：并且因此5 15 32yrr（x）+f（ x） yr（x）+y（ x）=g（ x），y（0）=0，yr（ 0）= 1，（35）u0， 4， 0（x）=16+32（2x− 1）+16（ 8x− 8x+ 1）13+32（32x -48x2+18x− 1）=x，（32）哪里也就是精确解实施例7. 考虑以下线性八阶边值问题（参见[50，45，21，23，53]）：y（8）−y= −8ex;0

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