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===软件X 18(2022)101034原始软件出版物qNoise:非高斯有色噪声的生成器Juan Punacio Dezaa,b,Punta,Hisham Ihshaishaa西英格兰大学环境与技术学院,布里斯托尔,BS 16 1QY,联合王国bUniversidad Arántida Argentina,Arenales 2740,Mar del Plata,B7600EGN,Argentinaar t i cl e i nf o文章历史记录:2021年11月29日收到2022年2月17日收到修订版,2022年保留字:非高斯随机过程发生器a b st ra ct本文介绍了一个软件生成器,用于处理一类有色(自相关)非高斯噪声,其统计量和频谱依赖于两个参数q和τ。受Tsallis的非广延统计物理公式的启发利用Heun方法(一种二阶Runge-Kutta型积分格式),通过随机微分方程产生q噪声,q噪声从q1平滑地趋向于具有自相关τ的Ornstein-Uhlenbeck噪声。该算法在C++中实现为独立库,并在Github存储库中作为开源提供。噪声<的统计量可以方便地指定;仅通过改变参数q:它具有对q 1(亚高斯区域)的紧凑支持和高达q 5 / 3(超高斯区域)的有限方差。一旦q被固定,噪声的自相关可以借助于参数τ独立地调谐。所提出的qNoise生成器提供了一个容易的工具来建模各种各样的真实世界的噪声类型,并且适合于研究随机微分方程系统中的相关性和偏离正态分布的影响,这是理解许多应用中的系统动力学的关键。本文简要讨论了噪声统计特性对一类非线性系统响应的影响。在许多这样的例子中,系统的响应在某些q1.因此,本文的目的是介绍用于C++的qNoise生成器,类水平,并评估它产生的噪音,以及它们在一系列应用中的使用版权所有©2022作者。由爱思唯尔公司出版这是CC BY许可下的开放获取文章(http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/)中找到。代码元数据当前代码版本v1.0用于此代码版本的代码/存储库的永久链接https://github.com/ElsevierSoftwareX/SOFTX-D-21-00226Reproducible Capsule的永久链接https://github.com/ignaciodeza/qNoise/blob/2ba1943bcb66c6574a64240046700c5b29841f15/qNoise.cppGPL使用git的代码版本控制系统软件代码语言、工具和服务使用C++。编译要求,操作环境依赖性编译器:GNU g++4.7或更高版本。如果可用,链接到开发人员文档/手册https://github.com/ignaciodeza/qNoise/blob/main/README.md技术支持邮箱:ignacio. uwe.ac.uk软件元数据当前软件版本1.0。该版本可执行文件的永久链接https://github.com/ignaciodeza/qNoise/blob/2ba1943bcb66c6574a64240046700c5b29841f15/qNoise.cpp可再生胶囊的永久链接https://github.com/ignaciodeza/qNoise/blob/2ba1943bcb66c6574a64240046700c5b29841f15/qNoise.cppGPL计算机平台/操作系统BSD,Linux,OS X,Microsoft Windows,Unix类。安装要求依赖git clonehttps://github.com/ignaciodeza/qNoise.git.编译器:GNU g++4.7或更高版本。如果可用,请链接到用户手册-如果正式出版,请在参考列表中引用该出版物https://github.com/ignaciodeza/qNoise/blob/main/README.md技术支持邮箱:ignacio. uwe.ac.uk*通讯作者:西英格兰大学环境与技术学院,布里斯托尔,BS 16 1QY,英国。电子邮件地址:ignacio. uwe.ac.uk(Juan Jasminacio Deza)。https://doi.org/10.1016/j.softx.2022.1010342352-7110/©2022作者。 由Elsevier B.V.出版。这是一篇开放获取的文章,使用CC BY许可证(http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/)。可在ScienceDirect上获得目录列表SoftwareX期刊主页:www.elsevier.com/locate/softxJuan Padacio Deza和Hisham Ihshaish软件X 18(2022)1010342⟨ ⟩=⟨=→→≈D==⟨ ⟩⟨ ⟩⟨ ⟩= ⟩QZqD2qητ(q−1D2)噪声发生器[14]被实现为C++ 作为类,1. 动机大多数关于噪声诱导现象的研究[1,2]都假设总结主要结果。使用1噪声源具有高斯分布,或者(无记忆)或“彩色”(红色、粉红色等)。. .)[3]。虽然cus-PST()=1[1+τ(q−1)η2]1−q(四)在中央的基础上,极限定理,这一假设背后的真正原理在于获得一些分析结果的可能性,并避免了产生和处理非高斯噪声时出现的许多困难。然而,有实验证据表明,至少在某些情况下(特别是在感觉和生物系统中),非高斯噪声源可以向噪声引起的现象添加期望的特征(例如,鲁棒性、容错性[4])。这些发现为寻找处理非高斯噪声的可行方法的任务增加了实际兴趣。已经进行了几次尝试来建模和生成非高斯噪声。一些例子是参数泊松白噪声[5],乘法Levy噪声[6],等等。建议读者参考[7]以获得详细的综述。它只能针对q<3进行归一化(Zq是归一化因子)。第一个时刻η总是消失[8,10η22个D、(五)τ(5− 3q)只对q<5/ 3有穷噪声的一些特性总结在图中。1.一、粗线表示高斯极限(q1)。较弱的实线曲线表明,当q>1时,二阶矩大于高斯极限D/τ。对于q<1(虚线),分布具有截止值,并且仅定义为2002年D在这里,我们介绍了一个轻量级的(通用C++类)生成器的非高斯,有色随机过程。预期|η c|<ηc≡.(六)τ(1−q)该算法的应用是多种多样的,如典型地非高斯的某些类型的振动或波动的建模、自然地被限制在域中的噪声的生成第2节总结了服从Tsallis统计的噪声的主要特征测量的自相关一些分布以线性和半对数标度显示(图1,分别为左图和右图)。过程η(t)在平稳状态下的自相关时间τq制度,也分歧为q5/31。66. 远离其发散点,它可以近似为[8]:2ττq<$5 − 3 q.(七)当q1时,η成为高斯色噪声,即具有相关性的η|t − t′|),(8)将所得系列的时间与拟合表达式[8]进行比较。在第5节中,简要回顾了有关工作,即非高斯噪声引起的现象τ τ和概率分布本文研究了2. q-噪声与TsallisPst(η) )=Z−1exp(−τ2- 是的2(九)以Ornstein和Uhlenbeck命名的指数自相关高斯噪声η(tτηstec=−η(t)+π(t),(1)其中,f(t)是方差为D的中心高斯白噪声,即⟨ξ (t) ⟩= 0, ⟨ξ (t) ξ (t′) ⟩= 2 Dδ (t−t′).这样,η一个简单的概括Eq。(1)由Borland在不久前提出[9],作为相关扩散的模型Dτηstec=−dηVq(η)+(t)(2)其中电势Vq由下式给出:2.1. τ和<$η2<$对q的依赖性等式(5)和(7)告诉我们,对于q1,η2和τq在正态分布中不会达到它们的值(分别为D和τ相反,它们都在q5/3处发散(图中两个图中的白色方块)。2)的情况。然而,期望具有一种生成器,该生成器能够相对于q近似地保持这些属性的特性恒定,至少足够远离发散点。这对于研究由于保持τ和方差不变的q的变化而引起的统计量这样,有效的τq和η2可以通过将τ除以等式2来定义。(7)在积分和η2之前,通过Eq.(5)整合后。图中两个图中的实心圆。图2显示了τ和η 2的这种依赖性,以及系统如何在0 q 1范围内变得与q无关<<。5左右。对于q> 1。5,接近发散点q5/ 3(用虚线示出)使得这种近似失败。V()=Dln[1+τ(q−1)η2](三)3. 发电机类>说明ηη、、Juan Padacio Deza和Hisham Ihshaish软件X 18(2022)1010343⟨ ⟩尽可能多的干扰噪声允许探索光谱效应,对于指数相关噪声类,这种推广还提供了一种通过仅改变一个参数(即,在常数τ和D下的q)来探索统计效应的装置η的平稳特性(包括其自相关函数)在其他地方有详细描述[8,10仅依赖于标准库它产生随机的使用内置的类中的函数来计算数字。生成器提供高斯白噪声、高斯有色噪声(其中τ和η2取决于q(如在等式(5)和(7))和一个标准化的版本,其中这种效果Juan Padacio Deza和Hisham Ihshaish软件X 18(2022)1010344=−Fig. 1. 稳态q-0
1是厚尾的<图二、( 左)τ对q的依赖性。白色正方形显示测量的依赖性,通过方程拟合(7)(全线)。黑点显示了有效的τ,使它独立于q。(右)噪声方差的等效性,使用等式(五)、已经被平衡到一阶,足够远离q 5/3(如图中的黑点所示)。2)的情况。这批函数将有助于对各种场景进行建模,并适用于许多应用程序,其中一些将在本文的最后一节中详细介绍。积分是用Heun方法数值计算的。这是随机微分方程的一种二阶积分方法有关此方法及其收敛性的深入讨论,请参见[15]中的第7.8章。默认情况下,该工具使用Mersenne-Twister生成器[16],它提供了一个非常长的(219937 1)伪随机数周期。因此,建议只对生成器进行一次种子操作,以避免虚假相关。3.1. 功能这个类实现了四个公共成员函数,如图所示。3.第三章。第一个函数是正态分布的包装器,在standard库中实现。为了方便起见,它被表示为这个类的函数第二个函数是Ornstein-Uhlenbeck噪声的实现它接受三个参数。噪声的前一个值(因为它是一个马尔可夫过程)、噪声的自相关时间τ和积分时间H(设置噪声的适当时间尺度所必需的)。第三个函数实现q噪声分布。此外,它还接受与orsUhl函数图3.第三章。q N o i s e 的类图说明了四个 实现的 函数。到q(噪声统计),以及作为可选变量的sqrt_H。如果H是常数,则显式设置sqrt_H=H1/2将避免每次调用函数时对其进行计算。下面的清单1显示了该函数的一个片段最后,第四个函数是第三个函数的包装器这里,τ由Eq给出(7)并且使用等式(7)划分所得到的噪声(5)为了平衡τ和噪声方差对q的依赖性。有关这种效应的分析及其有效性范围的讨论,请参见第2.1通用单元测试结果如图所示。四、该测试将生成的平均噪声与预期的噪声分布进行比较,该平均噪声是针对每组q、τ和N(生成的随机数的量)的10个qNoise运行的集合。正如预期的那样,仅当N相对较小时,生成的噪声才偏离其理论分布,特别是对于高τ。即它Juan Padacio Deza和Hisham Ihshaish软件X 18(2022)1010345√∑见图4。噪声直方图的准确度(计算为生成的噪声直方图与理论分布x(h(x)-pdf(x))2之差的平方根和)。这显示了所生成的噪声的准确性-注意它对N的依赖性和它对q的相对独立性。对于高度相关的噪声(高τ),需要更长的时间(更高的N)来探索支持并近似PDF。3.2. 播种所呈现的类允许在两个函数中播种随机数生成器:定时器播种是随机数生成器的默认设置,它是自动完成的。对于轻量级单线程运行,不需要手动播种但是,在多线程设置中,建议为每个线程手动设定种子(调用seedManual)。Juan Padacio Deza和Hisham Ihshaish软件X 18(2022)1010346====-→=−+图五. q-噪声(q0的情况。7)(有界域),以及积分步骤h0的情况。01.上图显示了生成的噪声样本,针对(左)τ1 s和(右)τ100秒请注意,在右图中,噪声并不以零为中心,因为它正在执行非常长的偏移(大于样本),高自相关。底部面板中的两个直方图显示相同的数据,与左上角的样本一致。(τ1 s)。虽然在线性直方图中在左边,它不能清楚地看到,右边的半对数图清楚地显示了有界域。虚线曲线表示理论分布,如图1所示。 1,这与数据 的直方图完全 一致。4. 产生的噪声有界域(q1)<有界域噪声在自然界中广泛存在,并且在建模和控制方面具有多种应用[13]。1这里考虑的红外高斯噪声可以作为高斯性的一个小偏差来解决,允许微扰方法(图1)。5)。在第5.1节中,给出了一个在谐振陷阱中的亚高斯噪声的例子。另一种用途是作为噪声源,其分布是准正态的,但在边界外为零。噪声发生器算法还确保噪声域是有界的,检查是否存在越界值。在提供的源代码中相应地实现并记录了此必要测试(特别是对于高度相关的噪声)高斯情况(q=1)高斯情况下的行为完全像奥恩斯坦-乌伦贝克噪声,在整个τ范围内与它完全一致(图2)。6)。如引言所示,极限q1恢复高斯噪声,所有的限制收敛到它,见方程。(5)这个限制允许探索任意接近正态分布的区域。它可以用来模拟由于一些潜在的物理现象而产生的微小偏差。作为q1 在实践中,物理噪声有界域,因为任意大的波动被强烈抑制。尽管如此,高斯噪声有许多理想的理论属性,允许分析结果。可以连续和动态地改变,该方案还允许通过缓慢改变1 <第<1章作为一个更现实的模型,一个小的噪声系统。通常不推荐从一般情况和集合q1计算纯高斯情况,特别是由于潜在的计算复杂性。为了将其与奥恩斯坦-乌伦贝克噪声进行比较,已经进行了大量的测试。所有结果均已成功恢复。 如上所述,orsUhl,用于生成变量τ的Ornstein-Uhlenbeck噪声的函数被包括在该软件包中,并且其结果等效于在计算时间的一部分处使用q = 1的非归一化qNoise函数。超高斯噪声(1q 5/ 3)<<这里提出的超高斯(也称为厚尾)噪声是有限方差类。这通常是一个被忽视的,适度研究的一类噪音。超高斯噪声,一般认为在文献中,往往是Lévy样的,其中的方差是无限的2。这里的噪音(图)。(7)是一个有限的方差。然而,这种情况下是最常用的非高斯噪声的应用中提出的低,因为它允许模拟许多现实的系统以外的平衡。2 q-噪声在q>5/ 3时呈现无穷大的方差,但对这种行为的描述超出了本文的范围Juan Padacio Deza和Hisham Ihshaish软件X 18(2022)1010347====-==-=⟨ ⟩=−≡ ⟨⟩dt2γdtη,见图6。 q-噪声(q1)(高斯行为),以及积分步骤h0的情况。01.上图显示了生成的噪声样本,针对(左)τ1 s和(右)τ100秒请注意,在右图中,噪声并不以零为中心,因为它正在执行非常长的偏移(大于样本),高自相关(τ)。底部面板中的两个直方图显示相同的数据,与左上角的样本一致。(τ1 s)。虽然线性直方图左边显示的是钟形分布,这不足以证明高斯性。然而,在半对数,抛物线,右边的情节 虚线点表示图 中 的理论分布。 1,这与数 据 的直方图完 全 一 致 。5. 应用和影响非线性和非白噪声的应用非常广泛。从教育-生成噪音,看起来像例如财务数据(如图1)。7右上角)进行测试预测人工智能算法-或作为模拟或实验的高质量噪声源(例如,电子,光学,光敏化学反应,机器学习等)。. )的情况下)另一个用途-一个启发了这个软件的写作-是模拟许多表现出非线性动力学的物理系统。下面的例子展示了各种各样的系统,说明了这种噪声源在物理学、气候科学、生物学、能源和其他领域的许多用途,以及如何应用。随机共振这是在某些非线性系统中发生的现象,由此增强对弱外部信号的响应可能需要增加噪声强度。通常采用的测量方法是输入频率ω(用R表示)下的信噪比主要的数值和理论结果是[17,18]:(1)对于固定的τ,最大R随q的减小而增大;(2)对于给定的q,最优噪声强度(最大R)随q的减小而减小,其值近似与τ无关;(3)对于固定的噪声强度,最优q值与τ无关,一般为qop 1。一个简单的随机共振实验与非高斯白噪声[4]证实了大多数这些预测。布朗马达一类具有潜在的技术应用和生物学意义的非平衡系统是所谓的“棘轮”,其中空间和/或时间对称性的破坏诱导定向传输,从中可以提取有用功。它们的输运性质可用朗之万方程m d2x= −dx−V′(x)−F+(t)+(t)(10)其中m是粒子系统被与时间相关的强迫η(t)(具有零平均值)保持在热平衡之外,从而允许校正运动。已经研究了通常的性能测量的q依赖性:平均电流JDX/ DT以及效率ε(单位时间内相对于F所做的功与η所注入的平均功率之比)。在过阻尼状态下(m0,γ1),J被发现为随着q单调增长,而ε对于某些1q< 5/ 3。<对于m0,棘轮表现出质量分离能力,其被非高斯噪声增强[19,20]。在[21]中,当偏离高斯行为时,在马达蛋白质的运输性质的模型中发现了生物和技术相关性的影响:J不仅通过最佳噪声强度最大化,而且通过最佳q = 1最大化。Juan Padacio Deza和Hisham Ihshaish软件X 18(2022)1010348====-=∞见图7。 q-噪声(q1 .一、3)(超高斯行为),以及积分步骤h0的情况。01.上图显示了生成的噪声样本,针对(左)τ1s和(右)τ100秒请注意,在右图中,噪声并不以零为中心,因为它正在执行一个非常长的偏移(大于样本),它有很高的自相关性。底部面板中的两个直方图显示相同的数据,与左上角的样本一致。(τ1 s)。虽然左边的线性直方图显示了钟形分布,可能导致暗示高斯性,但是右边的半对数图显示了超高斯行为。 虚线曲线表示理论分布,如图1所示。 1,对于相同的参数,与数据的直方图完全一致。5.1. 共振门控俘获随机共振本质上是一种阈值现象,在离子通过细胞膜的转运中也起着相关的作用 在[22]中,通过假设Tsallis噪声为q 1,研究了一<个考虑确定性和随机外场对门控不完美陷阱捕获率的同时作用的“玩具模型”:概率密度函数的有界特性对克服阈值的速率有积极的贡献,并且在比η为白噪声时更大的值范围内,这种速率保持在大约相同的数量级。噪声诱导跃迁一个遗传模型,当τ从0变化到0时,表现出从无序状态到有序状态,再到无序状态的重新进入。此外,还显示了转型中的一个强烈转变,直线,当q离开q时1.对于q>1,过渡是预期的,而对于q<1,过渡被延迟[23]。噪声诱导相变事实上,厚尾噪声分布(q>1)抵消了自相关的影响(即,当D在恒定耦合下增加时,它们会使有序边界提前),而紧支噪声分布(q<1)则增强了自相关的影响(它们会使有序边界延迟)。特别感兴趣的是(q<1)乘性噪声对磁化率:它从有序边界上的较大转变为无序边界上的较大[24,25]。这种现象的一个例子可以在气候变化中找到。事实上,许多气候临界点的广谱能量收集在从噪声中收集压电能量时,服从方阱势的系统可以从q>1时发生的大相关偏移中获益 [27]。6. 结论一个轻量级的软件,产生一类非高斯,有色噪声。这种噪声可以在数值实验中方便该软件以及文档在Github在线存储库中提供,包括示例和单元测试结果,具有开放的许可证。本文应用Tsallis的q-统计量,对系统在有色和非高斯噪声源作用下产生的噪声诱导现象上述讨论的结果Juan Padacio Deza和Hisham Ihshaish软件X 18(2022)1010349=结果表明,与高斯噪声情况相比,非高斯噪声可以显著改变系统此外,在这里介绍的所有情况下,系统换句话说,最佳响应出现在q1.显然,当受到这种非高斯噪声的影响时,研究其他相关噪声引起的现象的响应变化将是非常有趣的。竞合利益作者声明,他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系,可能会影响本文报告的工作致谢提交人对R.R. Deza,H.S. Wio和R.托拉尔,作为灵感和富有成效的对话的来源引用[1] García-Ojalvo J , Sancho JM. 空 间 扩 展 系 统 中 的 噪 声 。 New York :Springer;1999.[2] Sagués F,Sancho JM,García-Ojalvo J. Spatiotemporal order out of noise.RevModern Phys 2007;79:829-82.[3] 吉 莱 斯 皮 ornstein-uhlenbeck 过 程 及 其 积 分 的精 确 数 值 模 拟 。 Phys Rev E1996;54(2):2084.[4] Castro FJ,Kuperman MN,Fuentes MA,Wio HS.非高斯噪声下无调谐随机共振的实验证据。Phys RevE2001;64:051105。[5] 孙X,段杰,李X. 具有参数泊松白噪声的随机动力系统的另一种表达。Probab Eng Mech2013;32:1-4.[6] 斯 罗 科 夫 斯 基 湾 带 乘 性 Lévy 噪 声 的 非 线 性 随 机 方 程 Phys Rev E 2010;81(5):051110。[7] 法尔松湾高斯和非高斯噪声的随机微分学:评论. 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