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「双单叶函数系数估计的子类」
{||}..√Journal of the Egyptian Mathematical Society 25(2017)291原创文章双单叶函数乌代·H Naika, Amol B. 帕蒂尔ba印度Sangli 416415 Willingdon学院数学系b印度浦那411001工程学院AISSMS第一年工程系Ar ticlei n f o ab st ract文章历史记录:2017年1月5日收到2017年3月19日修订2017年4月4日接受2017年4月28日在线发布MSC:30C4530C50保留字:解析函数单叶函数双单叶函数系数估计本文引入了定义在开单位圆盘U上的双单叶函数类的两个有趣子类,并得到了初始系数的改进估计|一个2|、|一个3|和|一个4|这些子类中的函数。© 2017埃及数学学会. Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可下的开放获取文章。(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/)的网站上进行了介绍。1. 介绍设H表示在开单位圆盘U=z∈C:z1中解析的函数类,A表示H中由下式给出的函数类:<在双单叶函数的各种子类中函数的系数估计。1972年,Ozaki和Nunokawa证明了下面的单价准则[27]。引理1.1. 如果对f(z)∈Af(z)= z+.akzk(1.1)z2fr(z). (f(z))2− 1。< 1 (z∈U),K=2S表示A的子类,由U中的所有单叶函数f(z)组成.显然,由于Koebe四分之一定理[1],每个函数f∈S都有一个逆f−1,使得f−1(f(z))=z,(z∈U)则f(z)在U中是单叶的,因此f(z)∈ S。同样,令T(μ)表示函数类f(z)∈A,使得:(1)(1)(2)(3)(3)(|W| 1 −μ(z∈U)。.a−a=μs,(2.5)32.2a+a−2aa=μs,(2.6)42332...ΣΣ22.Σ.... a−a ≤ 5 μ。(2.17)4(g(w))2=1 −Σ32222422.-2。2 a3+a− 3 a a=μt。(2.8). ...242334a4−a2=μ(s3−t3)+5μ(s3+t3)=μ( 6s3+ 4t3)(2.16)292U.H. Naik,A.B.Patil/ Journal of the Egyptian Mathematical Society 25(2017)291本文的目的是获得改进的估计,我的朋友们|一个2|、|一个3|和|一个4|对于双单叶函数类的两个新子类,w2gr(w).2002年。3Σ3我们需要下面的引理(见[32])来证明我们的主要结果。引理1.2. 如果φ(z)∈P,在U中解析的具有正实部的函数类,由下式给出:φ(z)=1+c1z+c2z2+c3z3+···,(z∈U);然后|C n|对于每个n∈ N ≤ 2。2. 主要结果定义2.1.由 ( 1 . 1 ) 给 出 的函数f(z)∈ f(z ) 称为在现在,使(2.1)和(2.2)中的系数相等,我们得到s1=t1=0以及:2232−。a−a2=μt,(2.7)当量 根据引理1.2,公式2.5给出:a3− a2= |μs2|= μ|S2|≤ 2μ。(2.9)通过将公式2.6加到公式2.8中,我们得到:如果满足以下条件,则类T(μ).2Σ.z 2 fr(z)2 a2a3−a2 =μ(s3+t3),(2.10)R(f(z))2和>1−μ(z∈U;0<μ≤1)其中,通过使用引理1.2给出:. 一台2.a3− a2。=的|一个2|. a3− a2. ≤ 2μ。(2.11)w2gr(w)R(g(w))2>1−μ(w∈U;0<μ≤1),由公式2.9和公式2.11可以得出:|一个2|≤ 1。(2.12)其中函数g是由公式1.2定义的f−1到U的扩张。定义2.2. 由(1.1)给出的函数f(z)∈f(z)称为在 Tα类,如果满足以下条件:..z2fr(z)απ<从公式2.6中减去公式2.8,我们得到:2 3a3+ 2a4− 5a2a3 =μ(s3−t3)。(2.13)通过使用(2.10)和(2.13)消除3,我们得到:4(a4−a2a3)=μ(s3−t3)+ 3μ(s3+t3)=μ( 4s3+ 2t3)(2.14)和(f(z))22(z∈U;0<α≤1)其中,通过使用引理1.2给出:|a4−a2a3|≤ 3μ。(2.15)..w2gr(w)απ<此外,通过使用(2.10)和(2.13)消除2a3,我们得到:arg(g(w))2(w∈U;0<α≤1),.3Σ其中函数g是由公式1.2定义的f−1到U的扩张。定理2.3. 设由(1.1)的函数f(z)∈f(z)属于T_∞(μ),(0 <μ≤ 1). 然后,|一个2|≤1,|一个3|≤ 2μ,|≤ 3 μ。|≤ 3μ.证据 使用定义2.1,我们可以写:z2fr(z)(f(z))2=(1−μ)+μs(z)(2.1)和w2gr(w)(g(w))2=(1−μ)+μt(w),(2.2)其中s(z),t(w)∈P使得:s(z)=1+s1z+s2z2+s3z3+···,(z∈U);(2.3)其中,通过使用引理1.2给出:32现在,使用不等式:||z1|− |z2||≤ |z1− z2|(2.18)由方程式(2.9),我们可以这 样 写:|− a 2 ≤ a 3 − a 2 ≤ 2 μ,|− a2≤ a3− a2 ≤2μ,从中可以明显看出:|一个3|≤2μ。类似地,通过将不等式(2.18)用于(2.15)和(2.17),我们得到:|一个4|≤3μ。这就完成了定理2.3的证明。 Q定理2.4. 设由(1.1)的函数f(z)∈f(z)属于Tα,(0 <α≤1)。然后,|一个2|≤1,t(w)= 1 + t1w+ t2w2+ t3w3+··,(w ∈ U).(2.4)因此,我们有:a3−a2w-2 2a2+a4− 3a2a3w+ ···2223α|≤ 2 α,|≤ 2α,(1−μ)+μs(z)= 1+μs1z+μs2z2+μs3z3+···,|≤ 3 α。|≤ 3α.(1 − μ)+ μ t(w)= 1 + μt1w + μt2w2+μt3w3+···利用(1.1)和(1.2),我们得到:证据定义2.2意味着存在函数s(z)和t(w)分别由公式2.3和公式2.4给出,使得:2rz2fr(z)z f(z)= 1 +.一-a2z2+ 2.a3+a-2aaz3+···=[s(z)](2.19)(f(z))234(f(z))2Σ1Σ2131 261121(g(w))22223322-a3 −a2=αt2,.22=-二、a+a4−2a2a3<$=αs3,ΣU.H. Naik,A.B. Patil/Journal of the Egyptian Mathematical Society 25(2017)291-293293和w2gr(w)α(g(w))2=[t(w)]。(2.20)显然,我们有:[3] D.A. Brannan,J.G. Clunie,W.E.柯文,一类星型函数的Coe估计,加拿大. J. 数学22(1970)476[4] T.S. Taha,《单价函数论》,伦敦大学,伦敦,1981年,博士。论文[5] 布兰南检察官,T.S.杨文,关于一类双单叶函数的研究,国立台湾大学数学研究所硕士论文,2001 。[6] B.A. Frasin,M.K.Aouf,双单叶函数的新子类,应用。数学[s(z)]α=1+αs z+αs+α(α−1)s2<$z2+Lett. 24(2011)1569-1573。[7] R.M. Ali,S.K.Lee,V.Ravichandran,S.S u p r a m a n i a m ,Coe的权威估计双单叶Ma-Minda星形和凸函数,应用数学快报。25αs+α(α−1)s s+α(α−1)(α−2)s3<$z3+···,(2012)344-351。[8] 问:H. 徐玉-C. Gui,H.M.Srivastava,Coe对某个子类的估计解析和双单叶函数,应用。数学Lett. 25(2012)990[9] X.F.的缩写Li,A.P.Wang,Two new subclasses of bi-univalent functions,Int.数[t(w)]α=1+αt w+αt+α(α−1)t2<$w2+rum7(2012)1495-1504。[10]S.P. Goyal,P. Goswami,双univa初始Maclaurin系数的估计,借函数的一类定义的分数导数,J。埃及数学Soc.αt+α(α−1)t t+α(α − 1)(α − 2)t 3<$w3+···。20(2012)179-182。3此外,我们还有:z2fr(z)(f(z))2=1+2R1 261a3− a2z2+ 2.a3+a4−2a2a3z3+···,[11]S. 波尔瓦尔湾Darus,On a new subclass of bi-univalent functions,J. Egypt.21(3)(2013)190[12]M. Caglar,H. Orhan,N. Yagummur,Coeccientboundsfornewsubclassesofbi-univalent functions,Filomat 27(7)(2013)1165-1171.[13]S.张文,一类解析函数和双单叶函数的Coe估计,张文。数学43(2)(2013)59[14]S. Bulut,Coe估计的新子类的分析和双univa-Lent函数定义的Al-Oboudi微分算子,J。功能空间应用wg(w)= 1−。一-a2w2− 2.2a3+a-3 a aw3+···。(2013)1-7。文章ID 181932。[15]E. Deniz,满足从属条件的双单叶函数的某些子类条件下,J.古典肛门2(1)(2013)49注意,通过等式(2.19)和(2.20)中的系数,我们得到s1t10,因此进一步的等式变为:.a−a2<$=αs,[16] H.M.斯利瓦斯塔瓦湾,巴西-地Murugusundaramoorthy,N. Magesh,与Hohlov算子相关的双单叶函数的某些子类,Global J. Math. Anal. 1(2)(2013)67[17] H. 唐,G.- T. Deng,N. Magesh,S. H. 李,Coe-cient估计,新的亚-类的Ma-Minda双单叶函数,J不等式。Appl.2013(317)(2013)。32.2Σ[18] S.S. Kumar,V. Kumar,V. Ravichandran,双单叶函数初始系数的估计,淡水Oxf。J. INF. 数学Sci. 29(4)(2013)487[19] R.M. El-Ashwah,Subclasses of bi-univalent functions defined by convolution,J.埃及22(2014)348-351。.3Σ[20] H.M. 斯里瓦斯塔瓦角,巴西-地Bansal,Coe估计的一个子类的分析和bi-univalent functions,J. Egypt. 23(2)(2015)242-246.[21]H. Orhan,N.Magesh,V.K.B a l a j i ,一 般 类 的 初始系数界现在,与定理2.3的证明类似地进行,我们可以完成进一步的证明。Q3. 结论• 的估计|一个2|≤ 1分别对子类T_∞(μ)和T_α独 立 于 μ 和 α 。• 通过观察|一个3|和|一个4|,这里很有趣地看到,我们能把它推广到|a n|≤(n−1)μ,(n≥ 3)对于子类T(μ),|a n|≤(n-1)α,(n≥ 3)对于子类Tα?• 有趣的是,T(μ)和Tα相似。确认在此,作者对本文的审稿人提出的一些有益的意见和建议表示衷心的感谢。引用[1] P.L.李文,等,数学教育,1998.[2] H.M. Srivastava,A.K. Mishra,P. Gochhayat,解析和双单叶函数的某些子类,应用。数学Lett. 23(2010)1188,Filomat 29(6)(2015)1259-1267。[22] A.B.帕蒂尔Naik,Initial coefficient bounds for a general subclass of bi-univalentfunctions defined by Al-Oboudi differential operator , J. Anal. 23 ( 2015 ) 111-120。[23] S. Altinkaya,S.杨文,双单叶函数关于对称点的两个新子类的系数估计,J。功能空间(2015年)1文章ID145242[24] S.乔希,S.乔希,H。Pawar,关于与伪星形函数相关的双单叶函数的某些子类,J. 埃及数学Soc. 24(2016)522[25] A.B.帕蒂尔Naik,关于由拟从属定义的解析双单叶函数子类的初始系数估计,Bull.Cal.Math.Soc.108(4)(2016)259-268。[26] A.Y. Lashin , 解 析 函 数 和 双 单 叶 函 数 的 某 些 子 类 , J. 埃 及 。 数 学 Soc. 24(2016)220[27] S.尾崎,M。Nunokawa,Schwarzian导数和单叶函数,Proc. Amer. 数学Soc.33(1972)392[28] K. Kuroki,T. Hayami,N. Uyanik,S. Owa,Some properties for a certainclass concerned with univalent functions,Comput. 63(2012)1425-1432。[29] M.刘文,双单叶函数的一个系数问题,《美国数学会报》,18(1967)63-68。[30] E.内塔尼亚胡,图像边界到原点的最小距离和 单叶函数的第二系数,|z|1<,Arch.定量。机械肛门32(1969)100[31] D.A. Brannan,J.G. Clunie(Eds.),当代复杂分析的各个方面,北大西洋公约组织高级研究所会议录,达勒姆大学,达勒姆; 1979年7月1日至20日,学术出版社,纽约和伦敦,1980年。[32] C. Pommerenke , Univalent Functions , Vandenhoeck and Rupercht ,Göttingen,1975。2234−22a2+a4−3a2a3=αt3。
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