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2N11n211N22nJournalof the Egyptian Mathematical Society(2016)24,37埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章一类二阶微分方程Q. Din巴基斯坦Poonch Rawalakot大学数学系接收日期:2014年5月6日;修订日期:2014年8月19日;接受日期:2014年2014年10月5日在线发布本文研究了如下有理差分方程组正平衡点的有界性与持久性,正平衡点的存在唯一性,正平衡点的局部性与整体性,以及正解的x<$a1b1yn-1;y<$a2b2xn-1;n1a/b xn1一个令人愉快的其中,i2f1;2g和初始条件x0;x-1;y0;y-1的参数ai; bi; ai; bi为正实数数值例子验证了我们的理论结果。2010 AMS数学学科分类:39A20; 40A05?2014制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表1. 介绍高阶非线性差分方程组在实际应用中具有重要意义。这样的方程也自然地表现为离散的类似物和系统微分和延迟微分方程的数值解,其模拟生物学、生态学、生理学、物理学、工程学和经济学中的各种现象。适用于─讨论了一类非线性差分方程组的解,并讨论了其平衡点的局部渐近稳定性。竞争和反竞争有理差分方程组在种群动力学中具有重要的意义。这些系统的理论在生物科学中有显著的应用。Gibbons等人[4]研究了下列二阶有理差分方程有理差分方程的基本原理和基本理论,参考文献[1研究人类的行为是非常有趣的,xn1a=bxn-1:cxn电子邮件地址:qq.sms@ gmail.com同行评审由埃及数学学会负责最近,Dinet al. [5]研究了以下有理差分方程竞争系统的定性行为x<$a1b1xn-1;y<$a2b2yn-1:n1一个令人愉快的n1a/b xhttp://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2014.08.0081110- 256 X? 2014制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表制作和主办:Elsevier关键词反竞争系统;差分方程;有界性和持久性;局部性和全局性¼38Q. DinP1/4L;P2/5 L1ffiffiffiffiffi2212111 21211 221a我a我121 1121212121 21212121pBc..-p4Bp4B。p4Bp4Bn-.-ip4Bp4Bn-.ip4Bp4Bn24312121212C. .-p4Bp4Bn-. p4Bp4B-i.-ip4Bp4Bni.ip4Bp4Bn12v¼122 3121212122 411221212pBc..-p4Bp4B。p4Bp4Bn-.-ip4Bp4Bn-. ip4Bp4BnC..-p4Bp4Bn-. p4Bp4B-i.-ip4Bp4Bni.ip4Bp4Bn124121112112122221 21222112121212受上述研究的启发,本文研究了如下二阶有理差分方程组其中,对于i2f1;2;3;4g,ci取决于初始条件u-1;u0;v-1;v0。假设b1b2a1a2,则序列fung和fvng是有界的,这意味着序列a12b1L1a22b2fL11> 0:b1 b2因此,Fx^0在1/2L1;U1]中有唯一的正解。的引理2 [3]. 设Xn <$1F Xn;n 0; 1;,是一个差分方程组,使得X是F的一个不动点.如果关于X的雅可比矩阵JF的所有特征值都在开单位圆盘bB b- :2012年1 12 21112a1a1U12baba 2b LabL:10<2 1一12设Ukk4,Wkk-b1xb2yk3,b1b2x<$y<$k2b1b2. 假设b1u1 U2U2 þ12b1L1211 11a1b1b2U1U2a1b1 b2a1升b1升1a2b2L2证据 考虑以下方程组:x<$a1b1y;y<$a2b2x:11a10:a;b;c;d是积极房数字与af<$x n;yn-1<$$>;yn<$1<$$>g<$x n-1;yn<$具有独特积极平衡点x;等那个林啊!1x n;yn;y。定理4. 系统(1)的唯一正平衡点是全局吸引子,如果a1a2证据 设f=x;y=1y,g=x;y=2y,b =2x.那么,矩阵,和B:Z! C m×m是一个矩阵函数,满足k B n k! 0ð21Þ其中表示与向量范数kx;y k<$px2y2:命题1(Perron假设这个条件可以看出,1xa2b2y(21)保持。 如果X n是(20)的解,则对于所有在x方向上减小,在y方向上增大。更多-over,gx;y 在x方向上增加,在y方向上减少。让m1;M1;M2;M2是系统的解大氮或q<$lim kXnk1=n22M ¼fM; m;M 1/4fm;M你好!1m2¼ g· m1; M2 μ g·m 1;M2¼g· M1;M 2μ g·m 1 ; m2 μg·m 1:那么,存在且等于的特征值之一的模矩阵A.aabm摩洛哥b1第二项提案[14]。假设条件(21)成立。如果n是am¼112;M ¼112;130克解(20),则对于所有大的n,1和1M1a1b1m1q<$limkXn1kð23Þaabm2摩洛哥b2你好!1 kXnk每平方米1;M ¼221:1400a2平方米b2平方米 a2平方米b2平方米此外,从(13)我们有存在且等于的特征值之一的模矩阵A.ma bMa1500万美元设f ∈xn;yn∈ g是系统(1)的任意解,11 11和112那个林啊!1xn<$x′,和li mn!1yn<$y<$$>,其中x<$21/2L1;U1]和yL2;U2. 为了找到误差项,可以从系统中(一)M1a1b1m1a1b1M2:116从(15)中减去(16),我们得到a1M1-m1¼b1M2-m2:17xn1-x¼a1b1yn1a/b xb1x<$xn-x<$a1年b1年abx<$b1yn-1-y¼ -a bxþa=b x;同样地,从(14)我们得到和11n11na2M2-m2¼b2M1-m1:18a/bx2abx<$y-y2n-1- 22此外,从(17)和(18),我们得到n1a2b2yna2b2y. aa-bbb2y中国2yn一个2中国2yn设e1,且e2,则有最后,从(19)可以得出,m11.同样,看到这个M。 Heane bne;2 2n1和n n-1引理4. 在定理3和定理4的条件下,正平衡点是全局渐近稳定的。ecne dne;n1n哪里n-14. 收敛速度b1x¯一 ¼-1B1;b¼;n11na b x a b x在本节中,我们将确定收敛到唯一正平衡点b2y¯c¼-abyB2;daby:-nM1-m1米半0:119米:1n一类反竞争系统41227e545ðÞeA--54e1n-1e216n01n@n1211e2此外,委员会还认为,5. 方程(1)解的周期性林岸你好!1林cn你好!1b1x¯1xb2y¯1/4-a2/4b2y;limbn你好!1;limdn你好!1B1 aB2 a定理6. 设a1a2-b1 b2 , 则 系 统 ( 1 ) 不 存 在 素 周 期 2 解 。证据相反,假设系统(1)有一个可区分的现在误差项的极限系统可以写成倒素数周期-二解第二季第一集3e22-b1x<$0 0b132e1 3n1a1b1xa1b1xn···;p1;q1;p2;q2;p1;q1;···61761ne20-b2y<$b2076 7i2f1;2g.然后,从系统(1),6 n 7¼6a2b2ya2b2y76 7其中p1-p2; q1-q2,以及pi;qi 是正实数,n n-a1b1q1a1b1q2其类似于(1)关于平衡的线性化系统。p1¼a布雷布p;p2¼a布雷布p;24小时里乌姆波因特x′;y′。使用命题1,有以下内容结果.1 12和1 11Q1/4a2b2p1;q 1/4a2/2b2p2:250定理5.假设f ∈x;y∈ g是正解,a2b2q a2b2q系统(1)使得limn!1xn<$x<$,limn!1yn<$y<$,其中从(24)和(25),我们得到x<$2½L1;U1]和y′2½L2;U2]。 然后,错误 向量1a1p1b1p1p2¼a1b1q1;eBe2(1)的每一个解的C都满足: 的;41 0 000 1 00nn211242Q. Dinap bp p¼aþbq;ð27Þn¼Be1nC1211 211 2一类反竞争系统43n1e-a2 q1 b2 q1 q2a2b2 p1;2844Q. Din渐近关系一类反竞争系统45a2q2b2q1q2a2b2p2:22946Q. Din1林杰克Fx;yj一类反竞争系统47ken 1k在减去(26)和(27)之后,可以得出:48Q. Din¯ ¯一类反竞争系统49你好!1恩肯 1;2; 3; 4J;lim50Q. Din你好!1克恩克1; 2;3; 4FJx;yj;其中k1; 2; 3; 4一类反竞争系统51FJ;y是雅可比矩阵的特征根52Q. Din(a)系统的xn图(33)(b)系统的yn图(33)a1p1-p2b1q1-q2:30矩阵FJ;y。类似地减去(28)和(29),我们有一类反竞争系统53(c)系统的吸引子(33)54Q. Din图1系统的曲线图(33)。一类反竞争系统55¼¼¼ ¼ ¼¼-11/4;1/4 ;1/40-1¼ ¼¼(a)系统的xn图(34)(b)系统的yn图(34)(c)系统的吸引子(34)图2系统的曲线图(34)。a2 q1- q2b2 p1- p2:31x¼0:512yn-1;y¼0:1 17xn-1;34从(30)和(31)中,n12010年:2xnn117:5 - 10: 3yna1a2-b1b2假设a1a2类似地,我们可以证明q1q2,这是一个矛盾.因此,证明完成。H6. 示例例如1. 让a1/410;b1/4 1: 5;a1/4 1: 5;b1/4 0: 001;一个212;b2 23;a225: 1;b2零点零二分。 然后, 系统(1)可以写成与 初始 条件 x-1¼ 0:37;x0¼ 0:36;y20: 35;0年0点 34分在这种情况下,系统(34)的唯一正平衡点由下式给出:?x?;y?0:380527;0:37298 4??。 此外,在图2中,图2a示出了xn的曲线,图2b示出了yn的曲线,并且图2c示出了系统(34)的吸引子。 2杯7. 结论平面有理差分方程的反竞争系统已被几位作者研究[15]。这是非常inter--x¼10mm 1: 5yn-1; y¼12 23 x n-1;33研究定性行为的数学问题n11: 5至 0:001xnn125: 10:002yn在更高维度上的反竞争系统这项工作是与反竞争制度的定性行为有关初始条件x57X56y52y五十三-10个在这种情况下,系统(33)的唯一正平衡点由下式给出:此外,在图1中,x n的曲线在图1a中示出,y n的曲线在图1b中示出,并且系统(33)的吸引子在图1b中示出。1杯实施例2.设a1/40: 5;b1/4 12;a1/4 13;b1/4 0: 2;a2/4 0:1;b2 17;a2 17: 5;b2 0: 3。然后,系统(1)可以被写为:二阶有理差分方程本文研究了系统(1)正平衡态的存在唯一性。在一定的参数条件下,证明了正解的有界性和持久性.在一定的参数条件下,证明了系统(1)的唯一正平衡点是局部和全局渐近稳定的进一步证明了方程(1)的正解收敛到其唯一正平衡点的收敛速度。此外,还讨论了该方程56Q. Din反竞争制度。说明性的数值例子,以支持我们的理论讨论。确认作者感谢主编和匿名审稿人对本文提出的宝贵意见和建议。这项工作得到了巴基斯坦高等教育委员会的部分支持。引用[1] M.R.S.Kulenovic′,G. 李文,二阶有理差分方程的动力学,清华大学出版社,2002。[2] E.A.格罗夫湾李文,非线性差分方程中的周期性,北京:清华大学出版社,2004。[3] H.陈文生,非线性差分方程:理论与应用,北京大学出版社,2003年。[4] C.H. 吉本斯,核磁共振。 Kulenovic′,G. 关于递归bxn-1e-yn;yn=1 1/4c=n-1e-xn,数学比较模型。 54(2011)2969-2977。[7] Q.丁,人口模型的全局行为,混沌孤子分数。59(2014)119-128。[8] Q. Din,E.M.张文,一个离散生态模型的稳定性分析。生态学软件。 4(2)(2014)89-103。[9] G. Papaschinopoulos,M.A.李文,三个指数型差分方程组解的渐近性态研究,应用数学。218(2012)5310-5318。[10] G. Papaschinopoulos,C.J. Schinas,关于两个指数型差分方程组的动力学,Comp. Math. 64(7)(2012)2326-2334。[11] Q. Din,K.A.汗,A.张文,一个指数型差分方程组的稳定性分析,离散动力学。Nat. Soc.,2014年,11页,文章ID375890。[12] Q. Din,离散Lotka-Volterra模型的动力学,Ad. 不一样当量ag 1(2013)1-13。[13] Q.丁,T。Donchev,宿主-寄生模型的全局特征,混沌孤子分数。54(2013)1-7。[14] M. 关于Poincare和Perron定理的更多序列x11.n1abxn-1,数学。Sci. Res. 第42集9.4TheFamous(2000)差分方程,J. Diff. 当量Appl. 8(2002)201-216。[15] M.G. Demirovicc',M.R.S. Kulenovic',M. Nurkanovic',四个竞争理性差异系统的全球行为[5] Q. Din,T.F.Ibrahim,K.A.Khan,竞争行为二阶差分方程组,Sci。世界J。2014年,9页,文章ID283982。[6] G. Papaschinopoulos,M.A.Radin,C.J.Schinas,关于指数形式的两个差分方程的系统:x n a平面方程,离散动力学。Nat. Soc. 2009年(2009年)。 文章ID 153058,34页。¼
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