PI-PID控制器设计与教学问题

第九届国际会计师联合会控制教育进展国际自动控制联合会，俄罗斯下诺夫哥罗德，2012年PI-PID控制器的教学问题瓦列里·D Yurkevich，D. 苏巴拉姆·奈杜俄罗斯新西伯利亚国立技术大学（电子邮件：yurkev@ait.cs.nstu.ru）美国爱达荷州波卡特洛爱达荷州立大学（电子邮件：naiduds@isu.edu）翻译后摘要：比例，积分（PI）和比例，积分，微分（PID）型控制器设计在本科课程控制，研究生课程控制，先进的控制主题的教育问题进行了讨论。 主要关注的是多时间尺度控制系统，其中PIPID型控制器设计的非线性系统中存在的植物参数变化和未知的外部干扰的基础上，应用奇异摄动技术，保证所需的输出瞬态性能。关键词：非线性系统，PI-PID控制器，奇异摄动技术。1. 介绍众所 周知 ，比 例、积 分（PI ）和 比例 、积 分和微 分（PID）控制器在工业中使用最广泛（As trom和Murray（ 2011 ） ， O'Dwyer （ 2009 ） ， Morari 和 Zafiriou（1999））。然而，目前的控制工程课程往往越来越重视控制理论的高级研究，而不是实际的控制应用。因此，控制工程课程的内容与控制应用的要求存在着明显的差距这一差距导致学生学习控制工程的积极性例如，Bernstein（1999）和Vela′zquez（2010）讨论了弥合控制理论和实践之间差距的问题。从实践控制工程师的角度来看，需要满意的控制理论，如Joshi（1999）所讨论的那样，鉴于PI-PID控制器在实际中的重要性和普遍性，现代控制理论的最新能力应该是规范，如过冲，稳定时间，和系统类型的参考模型所需的输出行为;（iii）不敏感的输出瞬态行为相对于未知的外部干扰和系统的参数。本文的结构如下。本文首先讨论了控制专业本科课程、控制专业研究生课程、先进控制课程中PI-PID型控制器然后，主要关注的是多时间尺度控制系统。特别是，基于奇异摄动技术的应用，突出了在对象参数变化和未知外部扰动的存在下，非线性系统的PI-PID型控制器设计的教学问题，该技术保证了期望的瞬态性能。2. PI-PID控制器2.1 基础一级课程一种理想PID控制器目的是为PI和PID型控制器的设计提供清晰、简单的设计过程尽管有PID控制器，2011年1月我de（t）滑车结构简单（Astrom和Murray（2011）），适当的控制器参数整定的问题是u（t）=e（t）+T0e（τ）dτ+Td（1）许多研究人员深入研究的课题（传统的PI PID控制器通常允许我们得到令人满意的控制性能的情况下，当对象的动态过程很好地描述了简单的动态模型的一阶或二阶。PIPID控制器的效率大大下降的情况下，复杂的动态，非线性，和不断变化的参数的植物。非线性时变不确定对象的PI PID控制器设计问题是实时控制应用中的一个特别重要的问题，在实时控制应用中，控制系统的设计通常应满足以下目标：（i）参考输入实现的鲁棒零稳态误差;（ii）期望的输出性能其中e（t）是控制误差，是自动控制系统基础一级课程为了简单起见，可以基于数值模拟结果在开始然后推导出反馈控制系统的基本方程，着重分析了稳态误差和积分作用对闭环系统的影响讨论了系统类型的概念和终值定理的应用具有理想PID控制器的反馈控制系统的动态特性可以很容易地用Bode图来突出指出了基于滤波导数的PID控制实现中存在的问题。最后，讨论了PI和PID参数的整定© 2012 IFAC 448 10.3182/20120619-3-RU-2024.000902012年6月19日至21日，俄罗斯下诺夫哥罗德，国际会计师联合会第九届研讨会449∈−=DT0不DT在实践中广泛使用的规则（齐格勒和尼科尔斯（1942），2.2 第一级研究生课程在第一级研究生课程中，基于线性控制系统的状态空间描述讨论PI- PID控制器设计的问题，其中工厂的状态被增加了额外的（积分）状态，例如由Franklin等人讨论的。（2006年）。根据增广闭环系统特征方程所需的极点位置，计算出具有积分控制的增广状态反馈律的参数。最后，作为积分控制的推广，重点讨论了基于内模原理的鲁棒跟踪问题和扰动抑制控制。2.3 高级控制主题PI 和 PID 控 制 器 设 计 的 高 级 研 究 可 以 分 为 调 整 规 则（AstromandHagglund（1995）;（2006）），以获得最佳PI和PID控制器按照指定的设计目标。最新的研究成果涉及线性系统的PI和PID控制器设计问题。然而，基于Isidori和Byrnes （ 1990 ） ; Huang 和 Rugh （ 1990 ） ; Khalil（2000）; Mahmoud和Khalil（1996）讨论的结果，非线性系统的积分控制器的各种设计技术可以包括在非线性系统的高级控制主题的教学中。基于模糊逻辑和神经网络控制器等新思想的PI和PID控制器的实现和 Khalil （ 1986 ） ; Naidu （ 2002 ） ; Naidu 和 Calise（2001）;Naidu（2010，2011））应用于分析此类系统中的下面讨论的奇异摄动技术给出了在非线性系统中获得PI和PID型控制器参数的解析表达式的可能性，其中控制器参数明确地取决于期望的输出行为的规格（Yurkevich（2004，2011））。3.2非线性系统PI控制器控制问题陈述：考虑以下形式的非线性系统：dx=f（x，w）+g（x，w）u，（2）DT其中t表示时间，t∈ [0，∞），x是系统（2）的可测输出，x∈R1，u是控制，u∈≤wmax <∞，且wmax> 0.我们假设dw/dt对它的所有分量都有界dw/dt而这些条件0 0，f max> 0。w<$max>0，gmin>0，（2011））应在高级控制主题中突出显示。3. 多时标控制系统3.1的透视不确定性条件下的输出调节问题可以通过一些先进的技术来 成 功 地 解 决 ， 如 具 有 滑 动 运 动 的 控 制 系 统 （ Utkin（1992）; YoungandOüzgüner（1999）），具有高增益反馈 的 控 制 系 统 （ Meerov （ 1965 ） ; Young et al.（1977））。从机械应用和机器人技术中可以找到一组例子，其中成功地充分使用了加速度反馈控制（例如，参见 ： Lun 等 人 （ 1980 ） ; Luo 等 人 （ 1985 ） ;StudennyBelanger （ 1984 ） ; Studenny 和 Belanger（1986）; Krutko（1988，1991，1995））。基于输出导数和高增益控制律的非线性控制系统的一般化反馈，其中积分作用可以被并入正在设计一个控制系统，lime（t）= 0，（5）t→∞其中e（t）是参考输入实现的误差，e（t）：=r（t）x（t），r（t）是参考输入。此外，输出瞬态应该具有期望的性能指标。这些瞬变不应依赖于外部干扰和系统的变化参数（2）。PI控制器：考虑函数f（x，w），g（x，w）未知，有界外扰动或变参数的矢量w（t）不可测的控制系统设计问题。为了达到所需的控制目标，并因此在不确定非线性系统（2）的状态空间的指定区域中提供x（t）的期望动态特性，考虑以下控制律：控制器，以及开发和一个是使用EF-在不确定性下有效（Yurkevich（1995）; B-lachuta厄杜 湾 1（r − x）− dx，（6）等人（1997，1999）; Yurkevich（2004））。独特的fea-这种先进的控制系统设计技术的真正原因是在闭环系统中存在两个时间尺度的运动因此，奇异摄动法2012年6月19日至21日，俄罗斯下诺夫哥罗德，国际会计师联合会第九届研讨会450- -其中μ是一个小的正参数。所讨论的控制律（6）可以在拉普拉斯域中表示，即常规PI控制器的结构giv en by（Tikhonov（1948，1952）;Ko kotov i′cetal.（1976）;Saksena等人，（1984）;Ko kotov i'cetal.04TheFamousWomen（1999）u（s）=k0[r（s）x（s）]µTsk0 x（s）.（七）µ2012年6月19日至21日，俄罗斯下诺夫哥罗德，国际会计师联合会第九届研讨会451≈杜→∈µ=k0dt杜T（r−x）−dtDT00不DT00不为了数值模拟或实际实现的目的，控制律（6）可以用以下状态空间形式表示ust ec 1=b0x+c0r，（8）u=u1+b1x，哪里因此，如果在闭环系统中的快模式和慢模式之间提供足够的时间尺度分离以及FMS瞬态到平衡的指数收敛，则在快速瞬态的阻尼，满足（15）所规定的输出行为，尽管f（x，w）和g（x，w）是x（t）和w（t）的未知复函数。因此，输出瞬态性能指标对非线性系统的参数变化不敏感k0k0k0和外部干扰，通过这一解决方案，b1=− µ，b0= − µT，c0=µT。双时间尺度运动分析：根据（2）和（6），闭环系统的方程由下式给出：dx=f（x，w）+g（x，w）u，（9）DT保持所讨论的控制问题（5）PI控制器参数选择：所讨论的控制律（6）的参数T根据输出瞬态的所需建立时间来选择取增益k0g−1（x，w）。然后，根据（13），FMS特征多项式由μs+1给出时间常数μ被选择为μ=T/η，其中η被处理为du.1dx作为快速和快速之间的时间尺度分离的程度闭环系统中的慢模式，例如，η≥10。将（9）代入（10）得到闭环系统方程，其形式为dx=f（x，w）+g（x，w）u，（11）DT3.3 非线性系统的PID控制设备模型和参考方程：考虑由下式给出的二阶非线性系统µ= −k g（x，w）u + k。 1（r − x）− f（x，w）（十二）x∈=f（X，w）+g（X，w）u，（16）由于μ是小的正参数，因此闭环x表示状态X=[x，xstec ]T的不可测变量。系统方程（11）假设不等式扰动形式如果μ0，则在系统（11）-（12）中人为地强制快模式和慢模式0g的0成立对于所有（x，w）∈{x，w}，则FMS是稳定的，因此，我们有x？=11 [bdrstec−adxstec ]+11 [r − x]。（十九）在（13）中瞬态的快速衰减，我们有稳定的T1 1T2.（十）其中x是系统（16）的可测量输出，并且2012年6月19日至21日，俄罗斯下诺夫哥罗德，国际会计师联合会第九届研讨会452−状态（更准确地说，准稳态），其中u（t）=u_id（t），并且u id=[g（x，w）] −1 [F（x，r）− f（x，w）].（十四）让我们改写（19）的形式x∈=F（X，R），其中=[stec]T和参数，d和dR R，RT a1b1控制函数u id（t）称为非线性逆动力学（ID）的解。因此，如 果 达到FMS （ 13 ） 的稳定状态， 则 闭 环 系 统 方 程（11）-（12）意味着：dx=1（rx），（15）dt T根据期望的系统类型、稳定时间和x（t）的过冲来选择PID型控制器：考虑控制律的形式µ2u<$+d1µustec=k0[F（X，R）−x<$]，（20）是慢动作子系统（SMS）的方程，其是期望输出行为的参考方程其中μ是一个小的正参数。 根据（19），控制器（20）可以表示为：2012年6月19日至21日，俄罗斯下诺夫哥罗德，国际会计师联合会第九届研讨会4531=−→Z−µu<$+d1µustec=k0−x？+T[b1rstec−a1xstec ]+T2[r−x]µ（µs+d1）不11100==二、1dd1d特征多项式由（µs+1）2给出。的时间所讨论的控制律（21）也可以在拉普拉斯域中表示如下：u（s）=k0. 1 [b d r（s）− a d x（s）]闭环系统中快模式和慢模式之间的时标分离度，例如，η≥10。控制器的实现所讨论的控制律(21)可以重写为状态空间形式，+1t2s[r（s）−x（s）]−sx（s），（22）ustec 1=u2−a1u+b1x+c1r，ustec 2=b0x+c0r，（28）其 对 应 于 PID 型 控 制 器 ， 并 且 （ 22 ） 由 于 项 k0/[μ（μs+d1）]的存在而在没有x（t）或r（t）的理想微分的情况下实现哪里u=u1+b2x，双时间尺度运动分析：考虑闭环系统方程（16）和（20），a1=D1µ，b2−k0µ2，b1−k0ad1，µ2 Tx∈=f（X，w）+g（X，w）u，（23）b0=−k0µ2T2，c1=k0bd，c0µ2 Tk0µ2T 2.μ2u<$+d1μustec=k0[F（X，R）−x<$].（二十四）将（23）替换为（24）产生x∈=f（X，w）+g（X，w）u，（25）μ2u<$+dμustec+kg（x，w）u=k[F（X，R）−f（X，w）]. （二十六）3.4 离散时间PI控制器控制问题和参考方程：让我们考虑非线性系统（2）的后向差分近似，前面是零阶保持（ZOH）采样周期为Ts，即记为eu1=u和u2=µustec。因此，系统（25）可以表示为一个标准的奇异摄动系统，即xstec 1=x2，x k=x k−1+ T s [f（x k−1，w k−1）+g（x k−1，wk−1）uk−1]，（29）其中x k、w k和uk分别表示x（t）、w（t）和u（t）在t = kT s时的样本。目的是设计一种控制系统，xstec 2=f（x1，x2，w）+g（x1，x2，w）u1，µust e c 1=u2，林埃克k→∞=0。（三十）µustec2=−k0g（x，w）u1−d1u2+ k0 [F（x1，x2，R）− f（x1，x2，w）].从上述系统，快速运动子系统（FMS）方程μ2u<$+d1μustec+k0g（x，w）u=k0[F（X，R）−f（X，w）]（27）这里，ek =rk xk是参考输入实现的误差，rk是参考输入r（t）的样本，其中控制瞬态ek0应满足由（15）给出的期望性能规格通过在ZOH之前的（15）的-变换，其中，X（t）和w（t）是冻结变量，d1 −e−Ts/T（27）中的瞬变通过选择μ、d1和k0，我们可以提供FMS稳定性以及闭环系统中快模式和慢模式之间所然后，在（27）中的瞬态快速衰减之后（或者，通过在（27）中取μ= 0），我们获得稳态（更多Hxr（z）=z e−Ts/T（31）如下因此，从（31），参考方程xk=xk−1+Ts a（Ts）[rk−1−xk−1]（32）结果，其中精确地说，是准稳态）。因此，从（25）-（方程，尽管未知，但与（19）相同a（Ts）=1 −e−Ts/TTs， limTs→01a（Ts）=，T.（二十一）常数μ选择为μ=T/η，其中η是所需的2012年6月19日至21日，俄罗斯下诺夫哥罗德，国际会计师联合会第九届研讨会454≈类型2的系统。取增益k0g−1（X，w），参数d1= 2。根据（27），FMSuk=uk−1+λa（Ts）[rk−1−xk−1]−Ts.（三十四）外部干扰和（16）的变化参数，并由此提供x（t）控制器参数选择：控制器（21）的参数T根据输出瞬变的所需稳定时间来选择。参数ad由输出阶跃的允许过冲定义简而言之，等式（32）可以重写为：xk=F （ xk−1 ， rk−1 ） ，（ 33）其中我们在（33）的平衡点有r k = x k，其中r k=const，r k。PI控制器的离散时间对应部分让我们继续-1ddsider的离散时间对应的传统反应例如，a1= 2。 取b1= 0，如果由（19）给出的参考模型是类型为由（6）给出的连续时间PI控制器，即1. 取b1=a1，如果由（19）给出的参考模型为˜xk−xk−1dd.Σ2012年6月19日至21日，俄罗斯下诺夫哥罗德，国际会计师联合会第九届研讨会455- −→→-→−−KK≤ −-≤Kk−1Sk−1k−1Ts双时标运动分析：表示，简而言之，在表达式（29）中，fk1= f（xk1，wk1）和gk1= g（xk1，wk1）。因此，闭环系统方程具有以下形式：xk=xk−1+Ts[fk−1+gk−1uk−1]，（35）u=u+λπ。a（T）[r−x]−xk −xk−1<$。（三十六）将（35）代入（36）得到xk=xk−1+Ts[fk−1+gk−1uk−1]，（37）uk=[1−λgk−1]uk−1+λ{a （ Ts ） [rk−1−xk−1]−fk−1} 。（38）采样周期Ts可视为一个小参数，则闭环系统方程（ 37 ） - （ 38 ） 具 有 标 准 奇 异 摄 动 形式，其中（37）-（38）中uk瞬变的稳定性和速率取决于控制参数r λ k。不是那个xkxk10为0。因此，我们有一个缓慢的速率的瞬变的x，k作为Ts0。因此，如果Ts足够小，则在闭环系统（37）-（38）中人为地引起双时间uk=[1−λgk−1]uk−1+λ{a（ Ts ）[rk−1−xk−1]−fk−1}（39）和xk=xk1，即，xk= const（因此，xk是冻结变量）在FMS（39）中的瞬态令g=gkk，从（39），FMS特征多项式z−1+λg（40）其根位于单位圆盘内（因此FMS是稳定的）if0<λ<<$2/g。以确保稳定性，最快的瞬态过程u，让我们采取控制器图1.一、系统（43）、（34）中r（t）、x（t）和u（t）的曲线图4. 结论闭环系统分析的双时间尺度技术的主要优点是，可以找到PI或PID参数的解析表达式，以及具有非线性系统的附加低通滤波的控制器，其中控制器参数明确地取决于所需输出行为的规格。所给出的结果可作为PI/PID控制器设计的一部分。引用Astrom，K.J. andH？agglund，T. （1995年）。PID控制器：理论、设计和调谐，三角研究园，NC：仪器。Soc. 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