三个解的非线性方程组

两千一百万！⊂ðÞ1ZXJournalof the Egyptian Mathematical Society（2015）23，37埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章关于一类非局部椭圆型方程组Mohammed Massara，*，Mohamed Talbiba摩洛哥乌季达穆罕默德一世大学理学院数学系bCRMEF，Oujda，摩洛哥收稿日期：2013年12月6日;修订日期：2014年1月7日;接受日期：2014年1月15日2014年2月22日在线发布本文证明了下列非线性方程至少存在三个解局部椭圆型方程组的解. Rjrujpdxp-1Du<$kFx;u;vlGx;u;v1Xpuu2XQvv在X;-μM中。Rj rvjqd xq-1 Dv<$kFx;u;vlGx;u;v在X上;u<$v<$0在@X上。我们的技术方法是基于三个临界点定理的Ricceri。2010年数学子类分类： 35J50; 35J57; 35J92？2014制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表1. 介绍在本文中，我们关注以下非局部其中p>N;q>N;XRNNP1是有界光滑区域，k;l0的整数;和Mi：RiR是具有下列有界条件的连续函数。n;q-基尔霍夫型椭圆方程组（M）有两个正常数m;使得0 1pp-1— 1/2— ½M2Z[jrujdx]qq-1[jrv jdx]Dpu<$kFux;u;vlGux;u;vinX;Dqv <$^kFvx;u;vlGvx;u;vinX;m06Mit6m1;对于所有tP0;i¼ 1;2： 1：2此外，委员会认为，F;G：X×R2！ R是这样的函数，Fx;s;t;Gx;s;t在x中可测，对于所有的s;t2R2，Fx;s;t;Gx;s;t是 C1（单位：s）;t（单位：e）x2X，带u¼v¼0 on@X;对于a.e.，F=x;0; 0 ± 1; 0 x2X，和Fu;Gu表示de偏*通讯作者。联系电话：+212 666973969。1：10F的导数;G分别关于u。我们假设Fx;s;t和Gx;s;t满足以下条件。（女）电子邮件地址：massarmed@hotmail.com（M. Massar），talbi_yahoo.fr（M. Talbi）。同行评审由埃及数学学会负责supjs j6r; jtj6rjFu（F1）存在两个正常数cp;bq和一个<<正实函数a2L1<$X<$，使得1110- 256 X？ 2014制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2014.01.007制作和主办：Elsevier关键词多种解决方案;三临界点理论;基尔霍夫型系统X38M. Massar，M. 塔尔比Cb12ðÞðÞ ð Þ ð Þ@u-MðÞX2XX2XQ00M1轴ds;M2双螺杆挤出机½M2s]K P R 2 -R1p 2— R1— R1Qp2C. 1公斤Q最大值;10;0jju;v jj <$jju jjp jjv jjq;F x; a;a dx，其中As; t2R2=j sjpj tjq6bMK¼最大值8supmaxjuxjppmaxjv<$x<$jq=实数q具有以下性质，对于每个k2K，有存在d>0，使得对于每个l2½0;d]，问题（1.1）有XD1NNpNp-M.jFx;s;tj6ax1jsj jtj;for a： e：x2J u;v1dM. Zupdx1dM. Zvqdx2Xand all Xandall X;第1页ZKXJRJ第二次世界大战ZXXJRJ（G）supjs j6r; jtj6rjGu-Fx;u;vdx-l哪里Gx;u;vdx;1：91：400dZtp-1Ztq-10问题（1.1）与Kirchhoff[1]引入的模型的平稳性问题有关。更准确地说，基尔霍夫引入了一个由以下方程给出的模型：根据假设男;女和G，这是标准的看到，J的临界点对应于问题（1.1）的弱解.二、Z L..2！2@u现在我想， 让 x02X和 选择 R2>R1>0 使得q@uq0E.. 0;一比五B=x0; R2= x X，其中B=x0; R2= fx 2 RN=jx-x0j ah2<$q> bM<$p;q-Kirchoff系统（1.1），我们证明了至少问题（1.1）的三种解法我们的方法是基于Ricceri的三个临界点定理，其中著名的形式是由于Pucci-Serrin[13，14]。记X：<$W1;p<$X< $ ×W1;q<$X<$，它是一个反应性Ba-使得F2 为 A.E. x2XnBx0;R1和所有s;t0 0p qR赋范nach空间2016年3月1日nXjsupx;s;t2X×AFx;s;tboBx0;R1其中jjujj¼. Rjrujpd x1=p和jjvjj¼。Rjrvjqdx1=q。让pXqX9则存在一个开区间K= 1/20;K = 1/20;：u2W1;pXnf0gjjujjpv2W1;q=X=0gjjvjq;2011年1月1日至7日，201/2M1s]ds： 101：10秒非局部椭圆边值问题Kq R2R2;类似于公式1.6的问题可以用来模拟几个物理问题，1;M-1/4min：;supX一类（p，q）-Kirchhoff型非局部椭圆方程组39pvjt jKu至少有三个解，其在X中的范数小于q。由于p>N和q>N，所以W1;p<$X<$和W1;q<$X <$是紧的在下一个结果中，我们考虑N1;p;q> 1的情况;0 0嵌入到C<$X<$，因此是K<1。我们说，如果满足以下条件，则x∈u;v∈ 2X是问题（1.1）的弱解：X¼]0;1½;F：R2！R是C1函数，F=0;0=1 /20，且sat-存在三个正常数cp;bq，<nnuvnnv乌鲁1号.XN>2个！13KM-X定理1.2. 假设成立，则有引理2.3。假设M、F和G成立。 让存在两个正常数a;b，其中K为4a使得þð4aÞq]>bMþ1 .一、ZXp2001年。ZqΣXF5KpqUu;vpM1ZXjrujdxM2jrvjdx;Z2000年6月22日星期一星期六上午10时30分2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2Fs;tbFa;a，其中0，使得对于每个l2½0;d]，问题（1.14）至少有三个解，其在X中的范数小于q。2. 主要结果我们回顾了Ricceri三临界点定理的修正形式[16]）定理2.1[12]，定理1. 设X是自反实Banach空间。 U：XR是一个连续的G是可微的序列弱下连续泛函，其G是可导的且在X ω上有一个连续逆，且U是iU是一个连续的G，一个连续的微分，弱下连续的，其G是一个在X ω上具有连续逆的导数。而且U在X的每个有界子集上有界。iiW和T是连续的G-A-微分，其G-A-微分是紧的.证据对于i，参见[8]中的引理2.3。由于p;q>N，通过F和G，众所周知，W和d 不are韦勒definedand连续的GaaauxdiferetiableheGaaauxdive satpu;vX由下式给出：在X的每个有界子集上有界;W：XR是连续的，余G是一个可微泛函，其G的余导是紧的，余R是一个区间.假设limUuk Wu1;hW0u;v;u;wi ¼-ZhT0u;vu;wi¼-ZFux;u;vudx-ZGux;u;vudx-ZFvx;u;vwdx;Gv x; u; vw dx;jju jj！1对于k2I，存在h2R使得超级InfraredUukWu h对于所有的人来说;W。现在，我们证明了W0是紧的. 的确，让在X中弱的v n;v n <$*<$u;v <$。 那就来吧！异丙肾上腺素CX×CX。 以来 Fx;：;：C1inR2为A.E.k2Iu2Xx2 X; F x; u; v！ F x; u; v和F x; u; v！ F x; u; v。 0，使得对于每个l2½0;d]，方程U0uk W0ulT0u0在X中至少有三个范数小于q的解。W0un;vnW0u;v强烈。 所以W0是紧凑的。类似地，T是紧凑的。 H引理2.4. 假设M和F2-F3成立。 则存在<$u1;v1<$2X，使得Uu1;v1>r;命题2.2[15]，命题3.1。 设X是非空集jXj上Fx;s;trRXFx;u1;v1dx;2：4<和U;W是X上的两个实函数。假设r>0x;s;tUu1;v1和u0;u12X，使得Uu0¼-Wu0¼0;Uu1>r;sup2]-1-W u其中，r1/b M= 0，A= 1/4。R2=js jpjtjq6b M.证据让0;x2XnBx0;R22一我I2对于每个h，w0xR2-R14R2->1/1 x-x05;x2Bx0;R2nBx0;R112：50-Wu1：a;x2Bx0;R1sup-Wuhr<<;乌鲁河和u1/4伏 1/4w.然后，v ∈u;v∈ 2X，u2U-1[ r]-11 1 0 11p q人jjujjp<$ah1;jjvjjq<$ah2：2：6supinfarianUukWuh infarianUu kWuh：<1pK1qKkP0u2Xu2XkP0根据《纽约时报》的报道，XXXX一类（p，q）-Kirchhoff型非局部椭圆方程组41R¼½ þ1Þ1ppqΣΣ13- ð Þ¼jju1 jjp jjv1 jjq00pQX≤s;t≤2A2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.22þjju1 jj jjv1 jjfu;v=Uu;v6rgZpqp q pqpQUu;vPM-jju jjp jjvq我-ahpahq]现在，固定h，111个pM-bM1jjq2000千分之二12sup-Wu;vhr-Wu1;v1：<<> KM-1/4 r：102：70U[U]-1]-1;r]Uu1;v1很明显，我们有06u16a和06v16a.条件F2由于U= 0;00/^0，从（2.7），（2.14）和命题2.2，我们得出结论，jXj上BFx;s;tpqsuper infUu;vkWu;vh infsuperUu;v0。由于cp和bq，<<和u1 11/4v1/4w0。然后是u1;v1<$2X，jjujjp<$4a;jjvjjq<$4a：12：19Lim杰什11：11 - 12：11 - 12：12 - 12：11 - 12：12 -12：12- 12：13 - 12：12 - 12：12 - 12：13- 12：12 -12：13 -12：11个p-21q2u; v jj！1设u;v<$2X，使得U<$u;v<$6r，由式（1.7），我们得到supfjuxjjvxjg6K.jjujjjvjj现在让bMr¼K：p qX2X4aK KrbM并假设已2þ2 >KM-，我们有6M-Uu;v6M-1/4M-：2：12Uu;vPM-.jjujjpjjvjjqM-½4ap4aq]>r：2：20因此，从（2.4）和（2.12）可以得出：11因此1个p1个p2supU-1[U]-1[U]- 1 [U]Wu;vsupX6Fx;u;vdxZ-MXUu1;v1>r>0¼U0;0：2：21由于06u16a和06v16a，因此它可以从F5;F6和supfu;v=supx2Xfjuxjpjvxjqg6bMgFx;u;vdx（2.19）B6ZsupFx;s;tdx6jXj supFx;s;t超氟醚<.400万美元4 a2RFx;u1;v1dxUu1;v1BR1Fu;vdx0

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