改进的F-展开法和Riccati方程求非线性发展方程的精确解

+Journalof the Egyptian Mathematical Society（2017）25，13埃及数学学会埃及数学学会会刊www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate原创文章用改进的F-展开法和Riccati方程求非线性发展方程的精确解马里兰州Sha Fiqul Islama，Kamruzzaman Khana，M.Ali Akbarba孟加拉国Pabna 6600，Pabna科技大学数学系b孟加拉国拉杰沙希大学应用数学系，拉杰沙希6205接收日期2015年5月2日;修订日期2015年11月15日;接受日期2016年3月28日2016年5月30日在线发布本文采用改进的F-展开法与Riccati方程相结合的分析方法，求出了Benney-Luke方程和Phi-4方程的精确行波解。利用这种方法，我们得到了三类显式解--双曲型、三角型和有理型，它们都带有一些自由参数。当参数取特殊值时，孤立波解由行波解演化而来结果表明，该方法是求解数学物理和工程中非线性发展方程精确解的一种非常活跃和直接的2010年数学学科分类： 35K99; 35P05; 35P99版权所有2016，埃及数学学会. Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。1. 介绍非线性演化方程对于理解非线性演化方程的定性和可测量特征具有重要意义。*通讯作者。联系电话：880 1746764468。电子邮件地址：shafique. gmail.com（马里兰州）伊斯兰教）。同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：Elsevier许多现象和处理构造精确行波解。精确解直观地揭示了复杂非线性性质的形成机理，并使人们有可能理解这些机理。非线性波现象出现在各种科学和工程领域，如流体力学，量子力学，电学，等离子体物理，气象学，光学纤维，生物学，固态物理，化学运动学，化学物理和地球化学[1]。随着Maple和Math- ematica等符号计算软件包的发展，寻找非线性发展方程的精确行波解一直是数学物理和工程领域永恒的主题之一。S1110-256X（16）30029-3 Copyright 2016，Egyptian Mathematical Society.制作和主办：Elsevier B.V. 这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2016.03.008关键词改进的F-展开法;Benney–Luke精确解===.Σ√√==∈R − {}14个月Islam等人非线性弹性方程的精确解为我们提供了关于复杂物理现象结构的一个新的信息。因此，研究非线性弹性波方程的精确行波解就成为非线性物理现象研究中的一项重要任务。值得注意的是，没有唯一的方法来解决所有类型的NLEE。近年来，人们提出并发展了许多获得非线性弹性方程显式行波解和孤立波解的方法各种强有力的方法，如齐次平衡法[2]、辅助方程法[3]、指数函数法[4]、达布变换法[5]、双曲正切函数法[6]、修正的扩展双曲正切函数法[7]、第一积分法[8，9]、修正的简单方程法[8，9]、u=u（η）的二进制微分方程（ODE）：是的。u，ur，urr，urrr，...=0，（ 2.3）其中，是u及其导数的多项式，并且上标指定关于η的普通导数。步骤2：根据可能性，等式(2.3)可以一次或多次逐项积分，得到积分常数。为了简单起见，积分常数可以为零。步骤3：我们假设行波解 的当量(2.3)可以用F（η）中的多项式表示如下：[10 的 （Gr/G）-展开式 方法 [13（−ε（η））-展开法[16]，F-展开法u（η）=.αi（m + F（η））i+.βi（m + F（η））−i，（2.4）[17] ，广义Kudryashov方法[18，19]等。本文的目的是为相关研究寻找新的思路i=0时i=1利用改进的F-展开法求出了Benney-Luke方程和Phi-4方程的精确行波解。 应用表明，改进的F-展开法简单、高效、有效. 据我们所知，在以往的文献中，还没有将改进的F-展开法应用于上述方程Benney-Luke方程是全水波方程的近似，形式上适用于描述存在表面张力时的phi-4方程在几十年的核物理和粒子物理中发挥着重要作用本文的结构安排系统化如下。在第二中，我们给出了改进的F-展开法的描述在第三节中，我们将这种方法应用于Benney-Luke方程和phi-4方程.在第四节中，我们讨论了某些解的图形表示在第5节中，我们讨论了我们的比较和优势，其中αN或βN可以是零，但两者都是的都无法被零在时间，αi（i 0，1，2，. . .，N）和βi（i 0，1，2，. . .，N）和m是稍后确定的任意常数。我们考虑著名的Riccati方程Fr（η）=k+F2（η），（ 2.5）其中素数代表对η的导数;k是实参数。FF（η）也满足Riccati方程。现在我们给出黎卡提方程通解的三种情况。(2.5)如下;情形I：当k<0时，通解为F1= −k tanh。−kη在整个其他现有方法中，第六对所取得的成果进行了简要的总结2. 改进的F-展开法在这一节中，我们简单地描述了改进的F-展开法，用于寻求NLEE的精确行波解。让我们检查这些方法对于一个给定的一般非线性发展方程的形式，F2= −k −k coth。−kη情形II：当k>0时，通解为F3=Δk tan。kηF4= −kcotk η，情形III：当k=0时，一般解为1F=−。（u，uxut，uxx，，uxt5，。. ）。 = 0，（2.1）η其中uu（ x， t）是未知函数，m是u（ x， t）及其偏导数的多项式，其中包含最高阶偏导数和非线性项，下标表示偏导数。我们介绍这种方法的主要步骤如下：步骤-1：第一步，我们熟悉行波变换，第四步：正整数N通常是通过取最高阶非线性项和方程中出现的最高阶导数之间的齐次平衡来获得的。(2.3).如果u（η）的次数是D[u（η）]N，则其他表达式的次数如下：dpu（η）d qu（η）su（ x， t）= u（η），η= x± ct，（2.2）Ddηp=N+p， D udηq=Np+s（ N+p），（二、六）其中c0是行波的速度，行波变换方程为：（2.2）变换方程（2.1）进入或─因此，我们可以在等式中找到N的值。 (2.4)，使用Eq.（2.6）。，= ±=±100.1022−−+.1022−−+，=..ΣΣ（η）= α，=±−，（3.1.11），η=0.=、4（a）（b）。M你好用改进的F-展开法和Riccati方程求非线性发展方程的精确解步骤5：代入等式（2.4）包括Eq。（2.5）进入0，α1= ±104（a-b） ，β1= ± 104 k（a-b）。第三组：（16ak+ 1）（ 16bk+ 1）（16ak+ 1）（ 16bk+ 1）当量(2.3) 与步骤3中获得的N值一起，我们得出-在（m+F）i和（m+F）−i（i=1，2，3，............................. N）中的tain多项式，c4ak+1，α14bk+ 14（a-b），β1（4ak+ 1）（ 4bk+1）=0。然后收集所得多项式的每个系数，零，产生一组超定代数方程，αN，βN，m和c。步骤6：假设常数αN、βN、m和c的值可以通过求解步骤4中获得的代数方程来确定。由于Eq的一般解。(2.5)是我们熟知的，将αN，βN，m和c的值插入方程中。(2.4)在此基础上，我们得到了非线性偏微分方程的更一般的形式和新的精确行波解。（2.1节）。3. 应用在这一节中，我们将构造改进的F-展开法来寻找Benney-Luke方程和Phi-4方程的精确解情形I：当k<0时，我们得到以下双曲三角函数解：对于上述集合的值，我们得到下列Benney-Luke方程的行波解族−1：u1， 2（η）=α04bk am ak bm±N（4ak+1）（4bk+1）.m−n−ktanh。−kηu3， 4（η）=α04bk am ak bm±（4ak+ 1）（ 4bk+ 1）m−−k coth−kη，（3.1.7）其中ηx4 ak+1t.4bk+ 13.1. The家庭-2：u第五、六条（η）=α04−k（ a−b）（16ak+ 1）（ 16bk+ 1）在这一节中，我们将构造改进的F-展开法来获得Benney-Luke方程的精确解。. 丹−kη−kη方程让我们考虑本尼-卢克方程的形式u4−k（ a−b）7、 8 0（16ak+ 1）（ 16bk+ 1）. 丹√−kηutt−uxx+auxxxx−buxxtt+utuxx+2uxuxt=0，（ 3.1.1）其中a和b是非零常数。该方程是全水波方程的近似，形式上适合于描述存在下的双向水波传播+coth。−kη其中ηx16 ak+1t.16bk+ 14（a-b）。m−n−ktanh。−kη表面张力。假设行波变换方程族−3：u9， 10（η）=α0±（4ak+ 1）（ 4bk+ 1），（3.1.10）u（ x， t）=u（η），η=x−ct，（3.1.2）其中c是行波的速度 当量（3.1.2）变换方程（3.1.1）转化为以下ODE：u十一，十二（η）=αkkη0分（4分+ 1分）（4分+ 1分）. c2−1urr+ . a−c2buiv−3cururr= 0，（3.1.3）其中x4ak+ 1t4bk+ 1情形II：当k>0时，我们得到三个对应的族-平面周期三角解的谎言（省略-当量（3.1.3）是可积的。积分方程（3.1.3）关于η一次，将积分常数设为零，我们得到：TED为方便起见）。情形Ⅲ：当k为0时，我们得到相应的三个有理解族3c2−1ur+a−c2b urrr−c ur=0，（3.1.4）家庭-7：u（η）=α0（−b）、（3.1.12）.- 是的- 是的Σ24m2ηa2平衡方程中的最高阶导数urrr和最高阶ur2的非线性项。（3.1.4），我们得到N = 1。因此25其中η=x− t。mη−1对于N= 1，等式(2.4)减小到u（η）=α0+α1（m+F（η））+β1（m+F（η））−1，（3.1.5）换句话说，Eq。（3.1.5）转化为方程（3.1.4），我们得到了F（η）中的一个多项式。将F（η）的同次幂系数进行等式化，得到 如 下 九 个 代 数 方 程组。对α0、α1、β1、m和c求解上述方程组，我们得到以下值的集合：集合-1：c= ±4ak+ 1，α1=（4ak+ 1）（ 4bk+1）16bk+1族−8：u26（η）=α0其中η=x− t。族−9：u27（η）=α0±其中η=x− t。4（a-b），（3.1.13）η4η（a-b），（3.1.14）mη−10，β4bk+ 1=± 4（bk−am2 −ak+bm2）。第2组：c= ±16 ak+1，m =备注。所有这些解决方案都已通过Maple软件验证，将其替换为原始解决方案。∓12K.- 是 的Σ√√η=± sech−kηcsch−kη,()K0，−Set-2c=±I，m=0，αB2B2，−Set-5c=±I，αBK=.bαΣΣu1112（η）=Δasech。−kη−kη其中η=x<$1、对于N= 1，等式(2.4)减小到2个月b2个月b-η+-η、01122K011、布2K一 0112K，kb α2 + a2.2K11−2bk，孟加拉国b、2K1K2BK16岁Islam等人3.2. Phi-4方程在本节中，我们将利用改进的F-展开u78（η）=±Iatanh.−kη，孟加拉国b方法求解Phi-4方程。让我们考虑Phi-4方程的形式其中η = x <$I，a2 −2kt。utt−uxx+a2u+bu3=0，（3.2.1）其中a和b是非零常数。phi-4方程在几十年的核物理和粒子物理中发挥着重要作用假设行波变换方程家庭-3：u九、十一2002年b（3.2.9）、u（ x， t）=u（η），η=x−ct，（3.2.2）其中c是行波的速度 当量（3.2.2）变换2002年b、2a2+ 4 kt.当量（3.2.1）转化为以下ODE：. c2−1<$urr+a2u+bu3= 0，（3.2.3）平衡 的 高阶 衍生物 urrr和非线性方程中最高阶u3项（3.2.3），我们得到N= 1。 因此，Fami ly−4：u1314（η）=Ia. 丹−kη+coth。−kη我 a. 丹我是贝克·斯考特中文（简体）u（η）=α+α（ m+ F（η））+β（ m+ F（η））−1，（3.2.4）其中η = x <$I 1，a2 −8kt。换句话说，Eq。（3.2.4）转化为方程（3.2.3），我们得到了F（η）中的一个多项式。将F（η）的同次幂系数相等，得到七个代数方程组对α，α，β，m和c求解上述方程组，我们得到以下一组值：Fami ly−5：u1718（η）=Iatanh.−kηu1920（η）=±Iacoth.−kη集合-1c= ±I，a2−2k，m=<$1α<$bk，α= 0，β==x <$I，a2 −2k t.B a一个22k2k0=0，α1 =0，β1=±a，k.平面周期三角解（为方便起见，省略集合-3c= ±1，a2+4k，m=0，αA，K.Set-4c= ±I1，a2−8k，m=0，α你好=0，α=±α，β =0=0，α1= ±1μa，β1=备注。 所有这些解决方案都已通过Maple将它们替换到原始解决方案中。4. 一些已获得的解的2B一个22K2K0=λma，α1=±100a，β1=0。图形表示是一种重要的工具，声明，它显然是例证的解决方案对于上述集合的值，我们获得以下trav-Phi-4方程的Eling波解情形-I：当k<0时，我们得到以下双曲三角解：a.bα0−ktanh。−kη问题 我们绘制方程组的解。（3.1.10）和（3.1.13）Benney-Luke方程。1和2以及Eqs.（3.2.7）和（3.1.8）对于图1和图2中的Φ-4方程，3和4加上x 0。这些图形很好地显示了解的孤立波形式。族−1：u1， 2（η）=±0布雷贝克+a-ktanh。√、−kη（3.2.5）5. 比较和优势BK15， 16（η）= 10其中η情形II：当k>0时，我们得到五个对应的族0.B但是，2K±α0+−-η、布一个a.bα0−kcoth.−kη在本节中，我们将讨论我们提出的方法与其他现有方法u3， 4（η）=一个一个的。√（3.2.6）K方法. 我们意识到我们的方法更方便，简单明了，而且得到了更一般的精确行波其中η = x <$I，a2 −2k t。族− 2：u56（η）= ±Icoth。−kη，（3.2.7）其他方法的解决方案。为了比较改进的F-展开法和改进的简单方程法，我们选择Phi-4方程。4= −=-用改进的F-展开法和Riccati方程求非线性发展方程的精确解图1方 程 1的扭结形孤子 （3.1.10）对于a= 1，b= 2，k=−1，α0=1，m=3，区间−5≤x， t≥ 5。图2方程的奇异解（3.1.13）对于a= 3，b= 5，α0=1，在区间−5≤x，t≥ 5。在参考文献[20]中，Akter和Akbar通过改进的简单方程法探索了Phi-4方程的精确解，并获得了8个解（见附录A）。在对抗性问题上，本文采用改进的F-展开法求解，得到了40个解.值得注意的是，如果我们取具体值的参数来证实我们的解，我们的一些解与已经发表的结果是一致的。同样地，如果我们把a2，b4和k 1在我们的解决方案（3.2.8）和（3.2.7）（家庭-2）对应于方程。(A.1) 和等式(A.2)分别由Akter和Akbar [20]代替m= 2，λ = 4，V = 3得到。6. 结论本文利用最近发展起来的改进的F-展开法结合Riccati方程求出了某些非线性发展方程的精确行波解。我们成功地得到了几个含自由参数的非线性发展方程的精确行波解用双曲函数、三角函数和有理函数等形式给出了新的显式解图 3 Eq. 的单个孤子（3.2.7）对于a = 1，b = −2，k = −0。50在区间−5≤x， t≥5内。图4方程组的孤子解（3.2.8）对于a= 1，b= 2，k= −5，在区间−5≤x，t≥ 5。F-展开法结合Riccati方程。该方法的提出证实了该方法是求数学物理和工程中一大类问题精确行波解的可靠而有效的技巧，并可推广到其它类型的非线性发展方程。确认作者谨对匿名评审员的宝贵意见和建议表示由衷的钦佩。附录AAkter和Akbar[20]通过改进的简单方程方法检查了Phi-4方程的精确解他们得到了以下解决方案，ux t，m2tanh.1.2m xVt（A.1）−通过改进（，）= ± −λ（）、2V2−1+18岁Islam等人、m2。1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、16、17、18、19、1[11] K. Khan，医学硕士Akbar，Tzitzeica-Dodd-Bullough和修正KdV-Zakharov的精确和孤立波解u（x，t）= ±−λ coth 2V2−1m（ x−Vt）（A.2）Kuznetsov方程，使用改进的简单方程法，艾因夏姆斯工程公司J. 4（2013）903 -909 doi：10.1016/j.asej.2013.01。010.u，m2 。1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、16、17、18、19、1[12] K. Khan，医学硕士Akbar，（2+ 1）维方程立方Klein-Gordon方程和（3+ 1）维（x，t）=i −λtan 2V2−1i m（x−V t）、m2 。1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、16、17、18、19、1（A.3）Zakharov–Kuznetsov equation using the modified simple方法，J. Assoc. Arab Uni.基础应用科学15（2014）74 -81 doi：10.1016/j.jaubas.2013.05.001.[13] M.Wang，X. Li，J. Zhang，（Gr/G）-e展开法u（x，t）= ±i −λcot 2V2−1i m（x− V t），（A.4）引用[1] A.M. Wazwaz，偏微分方程与孤立波理论，高等教育出版社，北京，Springer-Verlag，柏林，海德堡，2009。[2] M.L. Wang，复合KdV-Burgers方程的精确解，Phys. Lett. A213（1996）279-287。[3] Sirendaoreji，S.姜，求解非线性偏微分方程的辅助方程法，物理学报。A 309（2003）387-396。[4] X. H. Wu，J.H.他，指数函数方法及其在非线性方程中的应用，混沌孤子分形38（2008）903-910。[5] S.B.李文，李文.[6] H.A. Abdelyam，关于一种改进的复双曲正切函数方法，Int. J.非线性科学。数字。你好6（2005）99-106。[7] J. 利河，巴西-地张文，张文，等.二维波动方程的精确行波解.北京：清华大学出版社.Phys. 76（2011）819[8] A. 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