基于邻域粒子密度加权平均的自适应平滑长度方案在SPH流体模拟中的应用

引文：曾荣达，吴子豪，邓胜邦，朱健，池晓宇。SPH流体模拟中基于邻域粒子密度加权平均的自适应平滑长度方法。虚拟现实智能硬件，2021，3（2）：129-141DOI：10.1016/j.vrih.2018.12.001虚拟现实智能硬件2021年12月3日第2·文章·基于邻域粒子密度加权平均的自适应光滑长度法在SPH流体模拟中的应用荣增增G1，子豪WU1，S恒邦DENG1，JIANZHU1*，XIA OUCHI2*1. 广东工业大学计算机学院，广东广州5100062. 北京航空航天大学青岛研究院，山东青岛266000*通讯作者，朱博士@ gmail.com;特里.池@ goertek.com投稿时间：2020年10月10日修订日期：2020年11月9日接受日期：2020年12月18日国家自然科学基金（61976052，61876043）;国家重点研发计划（2017 YFB 1002701，2017 YFB 1201203）。摘要背景在光滑粒子流体动力学（SPH）流体模拟方法中，光滑长度不仅影响邻域搜索过程，而且影响压力求解器的计算精度。因此，它在保证SPH的准确性和稳定性方面起着至关重要的作用。方法设计了一种变平滑长度的自适应SPH流体模拟方法。该方法根据粒子密度与相邻粒子密度加权平均值的比值自适应地调整平滑长度。此外，设计了邻域搜索方案和核函数方案来解决平滑长度可变所带来的非对称性问题。结果该算法的仿真效率与经典算法相当，且减小了相邻粒子数的方差。因此，视觉效果更类似于相应的物理现实。结论自适应平滑长度方案提高了SPH算法的插值计算精度，从而增强了算法的稳定性，使更大的时间步长成为可能。关键词流体模拟; SPH;平滑长度;自适应;粒子密度1引言在基于物理的流体模拟领域，光滑粒子流体动力学（SPH）[1]方法越来越多地用于各种应用，包括娱乐技术和工程设计。基于粒子的SPH方法将连续流体分离为相互作用的粒子[2，3]。通过计算每个粒子上的力，粒子连续移动，模仿流动的流体。由于其在复杂流体模拟中的方便性和灵活性，SPH在数字娱乐等领域得到了广泛的应用，并且已经成为流体模拟的主要工具之一2096-5796/©版权所有2021北京中科学报出版有限公司Elsevier B. V.代表KeAi Communization Co. Ltd.提供的出版服务。这是CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http：//creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。www.vr-ih.com虚拟现实智能硬件2021年12月3日第2在SPH方法中，光滑长度的选取对模拟效率和精度有很大的影响。平滑长度设置不当会大大降低模拟精度。在三维（3D）模拟中，在载体域中采用30-40个颗粒通常产生良好的精度。在传统的SPH中，粒子支持域是固定的;因此，不同的区域在支持域中相邻粒子的数量方面不同。在计算域中很难获得一致的核近似，这会导致过多的粒子插值误差，以及流体模拟过程中微小细节的丢失。因此，根据将更多资源分配给视觉感兴趣区域的想法，研究人员研究了自适应采样技术，以提高计算效率而不影响视觉质量[4- 6]。为了减小粒子光滑长度固定所带来的计算误差，提出了一种自适应光滑长度SPH（ASLSPH）流体模拟方法。该方法通过建立平滑长度与粒子密度之间的关系，并根据粒子密度的变化自适应地调整平滑长度，减小了计算误差，提高了插值计算的精度，获得了更接近物理实际的仿真结果。该方法的一个局限性是，由于粒子间的平滑长度不同，邻域搜索效率低于传统方法。为此，提出了一种基于辅助网格的快速邻域搜索方法，以提高仿真速度。此外，为了解决由于平滑长度的变化而导致的粒子间相互作用不对称的问题，设计了对称核函数，保持了算法的稳定性。本文的主要贡献如下：• 一种基于密度的自适应平滑长度方案，以提高计算精度;• 核函数采用对称插值方案，保持了算法的稳定性• 基于网格的可变平滑长度粒子快速邻域搜索方法2相关工作2.1SPH基金会第一个基于粒子的方法是由Miller等人提出的。[7]在基于粒子的方法中，SPH[8] 是最常用的。2003年，Muller等人将SPH方法引入计算机图形学领域[1]。此后，科学家们不断地对该方法进行研究，促进了其快速发展和进步[9 - 12]。流体（尤其是液体）的不可压缩性会显著影响流体动画的视觉质量。因此，科学家们提出了各种压力求解器，以确保流体的不可压缩性。Becker和Teschner基于Tait方程[13] 提 出 了 弱 可 压 缩 SPH （ WCSPH ） 。 Soldier 和 Pajarola 提 出 了 预 测 - 校 正 不 可 压 缩 SPH（PCISPH），以确保密度在整个模拟过程中保持恒定[14]。Ihmsen等人提出了隐式不可压缩SPH（IISPH）[15]。Bender和Koschier结合了两种新的隐式压力求解器，并提出了无发散SPH（DFSPH）来限制体积压缩并防止速度场的发散[16，17]。2.2自适应采样方法为了获得更好的仿真效果和更高的效率，图形学研究人员提出了几种方法。通常，较大数量的粒子对应于较高的计算精度，但是具有大量粒子的模拟是耗时的。很难模拟大量的130曾荣达等：基于相邻粒子密度加权平均的自适应光滑长度方法用于SPH流体模拟在给定的时间范围内的粒子。因此，自适应采样技术已经被研究用于改善计算资源的分配。空间自适应方法尝试对粒子进行重新采样，使得可以采用粒子的非均匀尺寸来获得更高质量的动画结果。自适应粒子大小的想法[4，5]是根据流体区域的复杂性和视觉重要性动态调整粒子的半径。为了最小化采样误差，拉格朗日乘子[6]通常用于最小化计算流体动力学中的局部误差函数。在计算机图形学中，已经使用了简单且更有效的采样操作，例如粒子合并或分裂[18- 21]。在高分辨率区域中，粒子被分割为一定数量的子粒子，而在低分辨率区域中，它们合并为单个父粒子。除了空间自适应采样，时间步长自适应有助于提高模拟效率。自适应时间步长方法[22- 24]在每个模拟步骤中动态调整积分时间步长，以自动适应Courant-Friedrichs-Lewy条件，从而提高模拟效率。上述自适应方法主要用于提高计算效率，而 采用自适应平滑长度方法提高计算精度和算法稳定性。Gingold和Monaghan提出了一种自适应平滑长度方法，用于为每个粒子分配独立的平滑长度[25]。随后，Nelson和Papaloizou研究了平滑长度变化与动量和能量方程之间的关系，并进一步提出了一种可变平滑长度方法，以减少能量误差，提高计算精度[26]。Sigalotti等人引入了自适应密度核估计，并将自适应平滑长度应用于自由表面[27]。Olejnik等人使用Okubo-Weiss参数更新平滑长度[28]。Ren et 等人提出了双支撑SPH，它允许使用可变平滑长度并满足动量和能量守恒[29]。上述方法提高了仿真精度，但算法复杂，降低了仿真效率。提出了一种基于粒子密度变化的自适应平滑长度算法，准确性，而且还保持高的计算效率。2.3邻搜索SPH中每个粒子的相邻粒子随时间动态变化。因此，需要在每个时间步中进行相邻粒子搜索以计算相邻粒子的插值权重。这通常是SPH仿真过程中最耗时的步骤。对于具有固定平滑长度的SPH模拟，可以使用均匀网格[30]来提高邻域搜索的效率。通过重新排序粒子[31]，可以进一步提高搜索速度。对于具有多分辨率粒度或非均匀平滑长度的SPH模拟，分层数据结构（如树[19，32，33]）通常用于进行邻居搜索。Gong等人提出了一种基于自适应网格细化的并行背景网格邻域搜索方法，可以显著提高邻域搜索效率[34]。此外，由于几乎没有数据依赖性，SPH方法可以很容易地映射到图形处理单元（GPU）[35，36]以执行并行计算。基于GPU的邻居列表算法[37- 39]由于其性能优势，可用于模拟大规模流体动画。3自适应平滑长度法与欧拉网格方法相比，SPH方法很难保证网格的不可压缩性，131虚拟现实智能硬件2021年12月3日第2流体，这可能导致不均匀的颗粒分布，其中颗粒在某些区域过于密集或稀疏。传统的SPH流体模拟方法通常采用固定的粒子平滑长度进行邻域搜索和插值计算。由于粒子分布的不均匀性，特别是在自由表面，固定的粒子光滑长度会导致粒子间的邻域数目相差很大，从而影响插值精度。在图1中，颗粒i和j位于流场中的不同位置。i周围的粒子密集分布，e。例如，在一个实施例中，在深水区，j附近的颗粒分布稀疏，e.例如，在一个实施例中，靠近流体表面。由于平滑长度h固定，相邻粒子数，插值关于粒子j的物理量的精确度是图1所提出的ASLSPH方法的说明。降低针对这一问题，提出了一种基于粒子密度的ASLSPH方法。通过建立粒子的平滑长度与粒子邻域密度的加权平均值之间的关系，可以自适应地调整粒子的平滑长度。即使在特殊的粒子分布情况下，e。例如，在一个实施例中，缺少相邻粒子或粒子分布不均匀时，插值可以保持高精度，并且这产生改进的插值精度和模拟的稳定性。在所提出的方法中，每个粒子的平滑长度是一个变量，使相邻粒子的数量可以保持在一个稳定的范围内，因此，可以保持高的插值精度为每个粒子。此外，为了保证计算的力满足牛顿第三定律，我们设计了相应的邻域搜索方案和插值核函数，以保持算法的稳定性。模拟过程在算法1中给出，其中改进的部分（相对于标准SPH方法）以粗体示出。算法1：ASLSPH方法1：当模拟做2：对于每个粒子，3：计算i的平滑长度（第3.1节）4：结束5：自适应平滑长度邻域搜索（第3.2节）6：对于每个粒子，我做7：计算粒子i的密度（对称插值，第3.3节）8：结束9：对于每个粒子，我做10：计算粒子i的压力、粘性力和外力（对称插值，第3.3节）11：结束12：对于每个粒子，我做13：更新粒子i的速度14：更新粒子i的位置15：结束16：结束时3.1基于密度的自适应平滑长度为了获得每个粒子的插值核的高近似精度，根据定义的缩放因子自适应地调整平滑长度，该缩放因子由以下项的加权平均值控制：132ρ我ρ∑ρ∑JJJJ我=曾荣达等：基于相邻粒子密度加权平均的自适应光滑长度方法用于SPH流体模拟相邻粒子的密度。因此，相邻颗粒的数量保持在稳定的范围内。具体地，粒子i的平滑长度hi被定义为：h′i=αi h，（1）其中h表示每个粒子的初始半径，αi是用于自适应控制平滑长度的比例因子。αi定义如下：αi=1个d我ρ（二）我其中d表示模拟的维度（对于二维（2D）和3D模拟为2和3分别），ρi表示粒子i的密度，ρ表示粒子i的密度的加权平均值，这是一个很好的例子。这是一个很好的例子：niJj= 1diIn 1j= 1di（三）其中n表示粒子i的相邻粒子数，ρi表示第j个粒子di表示粒子i和它的第j个粒子之间的欧几里得距离的相邻粒子di如下给出di=xi-xi2（四）JJ2其中xi表示第j个相邻粒子的位置当n= 0时，粒子i被认为是孤立粒子，我们设hi=h。如果ρiρi，分布粒子i周围的粒子的数量稀疏，并且邻居的数量太少。如果平滑长度固定，则由于相邻粒子不足而产生插值误差。然而，在我们的方法中，根据等式（2），αi> 1;因此，>h的平滑长度最终被分配给hi。随着平滑长度的增加，相邻粒子的数量相应增加，最终插值误差减小。相反，在颗粒密集分布的地方，平滑长度hi减小到小于h的值，从而避免了相邻颗粒的过多数量。如图1所示，在粒子j的平滑长度自适应地调整后，相邻粒子的数量与粒子i的数量大致相同。因此，可以提高插值核的计算精度。3.2邻域搜索方案由于粒子的平滑长度的不一致性，我们的自适应方法的一个问题是相邻粒子的确定是不对称的。假设粒子i的平滑长度超过粒子j的平滑长度;即，hi>hj。当两个粒子之间的距离dij满足hjdijhi时，粒子i将粒子j视为它的邻居，但粒子j不这样做。<<这种不对称性导致粒子i和j之间的力不平衡，这与牛顿第三定律不一致为了解决这个问题，我们采用hi和hj，i的平均值例如，（hi+hj）/2，作为比较基准。只要dij是不大于（hi+hj）/2，i和j被认为是相邻粒子。此外，还采用了一种改进的辅助背景网格法来加速邻域搜索过程。辅助网格的作用是快速确定搜索范围。网格单元的边长是所有粒子的最大平滑长度;这可确保所有相邻粒子对位于同一单元或相邻单元中在搜索过程中，每个粒子不需要匹配133JJJJ∑ρjJρjJρjJJ2IJ纪虚拟现实智能硬件2021年12月3日第2所有的粒子，但只需要在其自己的网格单元或相邻的网格单元（9和27个单元，分别为2D和3D）。因此，邻居搜索的计算复杂度从O（n2）到O（nm），其中n和m分别表示场景中的粒子数和网格单元中的平均粒子数。通常，mn;因此，搜索效率显著提高。<<3.3相互作用力在SPH中，位置x处的物理量A的值由其相邻粒子的加权插值和确定：A（xi）=∑m jAjWxi-xj，h（5）其中mj表示粒子j的质量，ρj表示粒子密度，W表示插值核函数，h表示平滑长度。使用等式（5），可以如下计算粒子iP（xi）=∑m jP jWxi-xj，h（6）其中Pj表示粒子j上的压强。因此，粒子i上的净压力如下：finetpressure=-∑m jP j<$Wxi-xj，h=-∑VjP j<$Wxi-xj，h（7）其中Vj表示粒子体积。通过对颗粒体积上的压力进行积分，可以如下确定整个压力：fipressure=-ViP=-ViVjPjWxi-xj，h.（八）这个压力是不对称的;因此，我们用（Pi+Pj）/2代替Pj，得到：fipressure=-Vi∑VjP i+P j<$Wxi-xj，h.（九）因为我们为粒子指定了不同的平滑长度，所以出现了一个问题：施加在相邻粒子上的力不同。例如，粒子j对粒子i施加的压力如下：fpressure=-VVP i+PjW（x-x，h）（10）伊日J2i j i而由粒子i施加到粒子j上的压力给出为：fpressure=-VVP i+P jW（x-x，h）.（十一）吉吉I2i j j由于我们通常有h i∈h j，所以插值核函数在下式中的计算结果是不同的，即：e. ，W（xi-xj，hi）∈W（xi-xj，hj）. 因此，最佳的力与中间的颗粒是不同的，即，压强等于压强，这显然违反了牛顿第三定律。为了解决这个问题，我们使用了它们的内核函数的组合。所提出的核函数Wij被计算为相邻粒子的核函数的平均值。W ij=W（xi-xj，（hi+h j）/2）。（十二）根据所提出的对称核函数Wij，我们有f压力=f压力。同样，其他力量伊济例如粘性力可以被定义为对称力。4实验结果我们测试了所提出的ASLSPH算法，并将其与最先进的方法进行了比较，包括134曾荣达等：基于相邻粒子密度加权平均的自适应光滑长度方法用于SPH流体模拟[13][14][15][16][17][18][19][1本节中报告的所有实验结果都是使用具有Intel i7- 7700 k中央处理器和8 GB内存的台式计算机获得的。4.1相邻要素的数目首先，我们比较了ASLSPH方法和其他四种方法的邻居的数量通过一个二维溃坝实验。如图2所示，使用不同的颜色表示每个粒子的相邻粒子数，颜色从紫色变为红色表示相邻粒子数从0变为20。与其他方法相比，ASLSPH方法的邻域粒子数分布更均匀，这是因为自适应调整了平滑长度，使邻域粒子数尽可能保持一致.图2二维溃坝试验中相邻点个数的比较。此外，我们还比较了不同时间步的各种方法中粒子邻居数量的方差，如图3所示。X轴表示时间步长（采样间隔为20），Y轴表示在相应的时间步长处每种方法的粒子邻居数量的方差。ASLSPH法的方差显著小于其他方法。图3每种方法的近邻数的方差。4.2密度场在二维溃坝试验中，将ASLSPH方法与其它四种方法的密度场进行了比较。如图4所示，对应于ASLSPH方法的密度分布明显比WCSPH更均匀。PCISPH的迭代校正算法在流体的左侧失败，表现出不均匀的密度分布。IISPH 和DFSPH 表现出均匀的密度分布，但这两种算法所需的计算比ASLSPH所需的计算多得多;这是因为它们需要求解复杂的压力泊松方程。135虚拟现实智能硬件2021年12月3日第2图4二维溃坝试验中密度分布的比较。4.3视觉效果接下来，我们比较了不同方法所表现出的视觉质量。使用各种颜色来表示粒子视图中粒子的平滑长度，从蓝色到红色的颜色变化表示平滑长度从小到大。图5显示了一个模拟的三维溃坝实验，水柱最初位于中间。顶行显示粒子视图中ASLSPH的结果，底行显示相应的曲面渲染结果。如图所示，模拟效果非常逼真，细节丰富。图6比较了ASLSPH（左）、PCISPH（中）和WCSPH（右）的仿真结果。在ASLSPH中，由于自由表面缺少相邻颗粒，自由表面颗粒的光滑长度增加，表面颗粒的颜色逐渐变为绿色、黄色甚至红色。显然，与PCISPH的情况相比，捕获了更多的水滴，甚至捕获了滚动波的效果。WCSPH使用气体状态方程来计算压力，并且流体很快沉降，因此难以捕获波浪卷曲效应。图5使用ASLSPH进行三维溃坝模拟（上图：粒子视图;下图：曲面视图）。图6三维溃坝实验的详细比较（左：ASLSPH;中：PCISPH;右：WCSPH）。136曾荣达等：基于相邻粒子密度加权平均的自适应光滑长度方法用于SPH流体模拟如图7所示，我们模拟了水柱落在龙形障碍物上的效果。ASLSPH和IISPH的模拟结果分别显示在顶行和底行中。在自由面附近，ASLSPH方法有效地调整了粒子的光滑长度，提高了计算精度。与IISPH相比，ASLSPH捕捉到了更丰富的表面喷雾细节。图7水柱落入龙形障碍物（上：ASLSPH;下：IISPH）。如图8所示，我们模拟了一个兔子形状的流体落入水箱的动画结果。ASLSPH和DFSPH的仿真结果分别显示在顶行和底行中。由于上述原因，ASLSPH方法动态地调整自由表面附近的颗粒的平滑长度。最初，DFSPH捕捉丰富的流体细节，因为它能够保持流体的不可压缩性。然而，这种能力随着时间的推移而下降，DFSPH没有保持足够的细节（与ASLSPH相反），如图8.图8兔子形状的液体落入水箱（上图：ASLSPH;下图：DFSPH）。4.4仿真效率为了评估不同方法的时间效率，我们用两种不同的分辨率（粒子数为9360和89216）模拟了图5所示的3D溃坝效应。表1给出了前15 s的性能测量结果，其中Δt表示粒子数，△t表示时间步长，Tsim表示总模拟时间，Tns表示邻域搜索的时间成本，Speed-up表示每种方法与WCSPH的加速比。虽然PCISPH、IISPH和DFSPH在单个时间步内的计算时间比这长，137虚拟现实智能硬件2021年12月3日第2表1两种模拟分辨率型号△t[s]Tsim[s]Tns[s]提速WCSPH0.000041679.84486.31-PCISPH0.00130106.8629.6915.72IISPH93600.0015082.5523.2720.35DFSPH0.0015041.1011.6440.87ASLSPH0.0015034.5411.5048.63WCSPH0.0000228594.198658.68-PCISPH892160.000651690.96533.6116.91IISPH0.001001233.57370.1323.18DFSPH0.00150704.64209.7440.58ASLSPH0.00150635.99231.8744.96由于压力的迭代计算，可以使用更大的时间步长（分别是WCSPH在低分辨率下的32.5、37.5和37.5倍）。因此，在低分辨率模拟中，总体加速比分别达到15.72、20.35和40.87。由于ASLSPH具有较高的插值精度和稳定性，因此它还可以采用较大的时间步长。此外，与WCSPH类似，ASLSPH不需要迭代求解压力。ASLSPH实现了极高的计算效率，达到48.63倍的WCSPH的加速比。在高分辨率模拟中，PCISPH、IISPH、DFSPH和ASLSPH的加速度比分别是WCSPH的16.91、23.18、40.58和44.96倍.ASLSPH在邻居搜索所需的时间方面表现不佳，尽管我们使用了一种加速方案（见3.2节）。在低分辨率模式下，五种方法的邻域搜索时间分别占总时间的28.95%、27.78%、28.19%、28.32%和33.30%（以Tns/Tsim计算）。ASLSPH的比例最大。在高分辨率模式下，随着粒子数量的增加，ASLSPH的邻居搜索变得更加耗时，占总时间的36.46%。这是因为辅助网格的大小取决于粒子的最大平滑长度，并且当平滑长度在大范围内变化时，ASLSPH中的邻居搜索方法的效率降低。因此，提高邻居搜索方案的性能可以提高ASLSPH的整体仿真效率。5结论和今后的工作为了提高SPH算法中插值核的精度，提出了一种自适应调整粒子平滑长度的ASLSPH算法。该算法采用了有效的邻域粒子搜索机制和对称核函数，分别提高了算法的时间效率和稳定性。因此，在ASLSPH中可以使用更大的时间步长以提高仿真效率。与其他先进的方法相比，ASLSPH在视觉质量和仿真效率方面具有竞争力。ASLSPH方法也有缺点。当粒子的平滑长度变化较大时，网格辅助邻域搜索算法的效率会降低。在未来，我们将研究更好的邻居搜索方案，以进一步提高模拟效率。此外，我们计划将ASLSPH移植到GPU上进行大规模流体模拟。竞合利益我们声明我们没有利益冲突。138曾荣达等：基于相邻粒子密度加权平均的自适应光滑长度方法用于SPH流体模拟引用1Müller M ， Soldier B ， Keiser R ， Gross M. 基 于 粒 子 的 流 体 - 流 体 相 互 作 用 。 在 ： 2005 年 ACMSIGGRAPH/Eurographics计算机动画研讨会-SCA '05会议记录。洛杉矶，加利福尼亚州，纽约，ACM出版社，2005年DOI：10.1145/1073368.10734022张文辉，张文辉.计算机图形学中的SPH流体。欧洲图形，2014年（2）：21–42DOI：10.2312/egst.201410343张文辉，张文辉，张文辉.基于物理的流体和固体模拟的光滑粒子流体动力学技术。Eurographics，2019DOI：10.2312/egt.201910354Adams B，Pauly M，Keiser R，Guibas L J.自适应采样颗粒流体。ACM图形学报，2007，26（3）：48DOI：10.1145/1276377.12764375张文，等.粘性流体动力学的数值模拟.流体力学学报，2000，24（1）：117 - 119.计算物理学报，2002，182（1）：67-90DOI：10.1006/jcph.2002.71526Lapenta G，Brackbill J U.控制流体中的颗粒数量和MHD细胞中的颗粒方法。计算机物理通讯，1995，87（1/2）：139DOI：10.1016/0010-4655（94）00180-a7Miller G，Pearce A.球动力学：一个连接的粒子系统，用于动画粘性流体。计算机图形学，1989，13（3）：305DOI：10.1016/0097-8493（89）90078-28李文，李文，等.光滑粒子流体动力学：理论与应用.北京：科学出版社，2000。皇家天文学会月报，1977年，181（3）：375DOI：10.1093/mnras/181.3.3759邵世东，罗义民。不可压缩SPH方法模拟有自由表面的牛顿和非牛顿流动。水资源进展，2003，26（7）：787DOI：10.1016/s0309-1708（03）00030-710李文辉，李文辉.冲击波作用下土壤破碎的周波-SPH耦合数值模拟。计算力学，2015，55（2）：287DOI：10.1007/s00466-014-1101-611龚克，邵世东，刘宏，林平智，桂庆庆。入水的圆柱形SPH模拟。流体工程学报，2018，141（7）：071303DOI：10.1115/1.404236912Kazemi E，Koll K，Tait S，Shao S D.具有粗糙界面边界的天然砾石层上和天然砾石层内紊流明渠流的SPH模拟。水资源进展，2020，140：103557 DOI：10.1016/j.advwatres.2020.10355713Becker M，Teschner M.自由表面流的弱可压缩SPH。Acm Siggraph/ eurographics Symposium on ComputerAnimation。纽约，ACM出版社，2007年DOI：10.2312/SCA/SCA07/209-21814Soldier B，Pajarola R.预测校正不可压缩SPH。ACM图形学报，2009，28（3）：1-6 DOI：10.1145/1531326.153134615杨文，李文，李文，李文，李文.隐式不可压缩SPH IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics，2014，20（3）：426DOI：10.1109/tvcg.2013.10516Bender J，Koschier D.无发散光滑粒子流体动力学。上一篇：Proceedings of the 14th ACM139虚拟现实智能硬件2021年12月3日第2SIGGRAPH/Eurographics Symposium on Computer Animation-SCA'15.洛杉矶，加利福尼亚州，纽约，ACM出版社，2015年，147DOI：10.1145/2786784.278679617Bender J，Koschier D.不可压缩粘性流体的无发散SPH。IEEE Transactions on Visualization and ComputerGraphics，2017，23（3）：1193DOI：10.1109/tvcg.2016.257833518放大图片作者：Lastiwka M，Quinlan N.光滑粒子流体动力学的自适应粒子分布。国际流体数值方法杂志，2005，47（10/11）：1403DOI：10.1002/fld.89119Keiser R，Adams B，Dutré P.基于粒子的多分辨率流体。瑞士苏黎世联邦理工学院，计算机科学系，2006年DOI：10.3929/ethz-a-00678098120张永春，苏伟杰B，帕贾罗拉R.在GPU上自适应采样和渲染流体。在：2008年Eurographics/IEEE VGTC体积图形研讨会论文集。美国加利福尼亚州洛杉矶，IEEE，2008年DOI：10.2312/VG/VG-PBG08/137-14621作者声明：A.自适应SPH的时间混合。计算机图形论坛，2012，31（8）：2436-2449 DOI：10.1111/j.1467-8659.2012.03186.x22Desbrun M，Gascuel M P.平滑粒子：动画高度可变形物体的新范例。计算机动画与仿真'96，1996年DOI：10.1007/978-3-7091-7486-9_523放大图片作者：J. PCISPH的边界处理和自适应时间步进。欧洲制图协会，2010年DOI：10.2312/PE/vriphys/vriphys10/079-08824Goswami P，Pajarola R.时间自适应近似SPH。在：第八届虚拟现实交互和物理模拟研讨会论文集，2011年DOI：10.2312/PE/vriphys/vriphys11/019-02825李文，李文，等.核方法在流体力学中的应用.北京：科学出版社，2001.计算物理学报，1982，46（3）：429DOI：10.1016/0021-9991（82）90025-026作者：Nelson R P，Papaloizou J C B.光滑粒子流体动力学中的可变光滑长度和能量守恒。皇家天文学会月报，1994，270（1）：1DOI：10.1093/mnras/270.1.127[10]李国伟，李国伟，李国伟.用光滑粒子流体动力学模拟自由表面流动。凝聚态物理，2006，9（2）：359DOI：10.5488/cmp.9.2.35928Olejnik M，Szewc K，Pozorski J.基于局部流运动学的动态平滑长度调整SPH。计算物理学报，2017，348：23DOI：10.1016/j.jcp.2017.07.02329任海林，庄晓艳，拉巴克.弱可压缩流体的双支撑光滑粒子流体动力学。工程科学中的计算机建模，2019，121（2）：353-383 DOI：10.32604/cmes.2019.0514630作者：Harada T，Koshizuka S，Kawaguchi Y. GPU上的平滑粒子流体动力学。计算机图形学国际，2007，40DOI：10.1142/S021987620700097231[10]杨文，杨文，杨文.多核CPU上的并行SPH实现。计算机图形学论坛，2011，30（1）：99DOI：10.1111/j.1467-8659.2010.01832.x32放大图片作者：Sin F，Bargteil A W，Hodgins J K.一种基于点的不可压缩流动画方法。2009年ACMSIGGRAPH/Eurographics计算机动画研讨会-SCA '09。新奥尔良路易斯安那纽约140曾荣达等：基于相邻粒子密度加权平均的自适应光滑长度方法用于SPH流体模拟ACM Press，2009，247-255DOI：10.1145/1599470.159950233Hernquist L，Katz N. TREESPH-SPH与层次树方法的统一。天体物理学杂志增刊系列，1989年，70：419DOI：10.1086/19134434龚晓，杨军，张S.一种自适应网格加密的带背景网格的并行SPH方法。中国期刊 计算物理，2016，33（2）：183- 189DOI：10.3969/j.issn.1001-246X.2016.02.00835张文辉，张文辉.在GPU上进行交互式SPH模拟和渲染。2010年ACM SIGGRAPH/Eurographics计算机动画研讨会论文集。2010年，第55DOI：10.2312/SCA/SCA10/055-06436Macklin M，Müller M.基于位置的流体。ACM Transactions on Graphics，2013，32（4）：1-12 DOI：10.1145/2461912.246198437Hochstetter H，Kolb A. SPH基流体的蒸发和冷凝。ACM SIGGRAPH/ Eurographics Symposium on ComputerAnimation（ACM SIGGRAPH/ Eurographics Symposium on Computer Animation）洛杉矶，加利福尼亚州，纽约州，美国，ACM，2017 DOI：10.1145/3099564.309958038Park S H，Jo Y B，Ahn Y，Choi H Y，Choi T S，Park S S，Yoo H S，Kim J W，Kim E S.多GPU开发核热工水力学和安全的光滑粒子流体动力学程序：潜力和挑战。能源研究前沿，2020，8：86DOI：10.3389/fenrg.2020.0008639吴晓松，李晓松，李晓松.在多GPU环境中进行大规模模拟的显式不可压缩平滑粒子流体动力学。计算粒子力学，2020，1DOI：10.1007/s40571-020-00347-0141