Egyptian Informatics Journal（2013）14，211开罗大学埃及信息学杂志www.elsevier.com/locate/eijwww.sciencedirect.comC1有理二次三角样条Maria Hussain*，Sidra Saleem巴基斯坦拉合尔，拉合尔女子大学数学系接收日期：2013年2月9日;修订日期：2013年8月28日;接受日期：2013年2013年10月17日在线提供摘要构造了一种Bézier型C1有理二次三角多项式样条. 它在每个子区间中定义两个形状参数。研究了其逼近性质和几何性质建立了曲率连续性发展了有理二次三角函数，将度量多项式样条函数推广为C1分段有理双二次函数，每个矩形面片上有4个形状参数。针对曲线和规则曲面数据的保形问题，在分段有理二次和双二次三角多项式样条的描述中，对形状参数建立了数据依赖约束。所发展的保形格式以二次形式提供切线连续性，并且不限制区间长度、导数或数据。©2013制作和主办由Elsevier B.V.代表计算机与信息学院开罗大学。1. 介绍带张力（形状参数）的有理三角插值样条是首选的，因为它们可以以直线和曲线的形式插值相同的数据。这些张力参数不影响样条曲线的连续性。此外，这些样条的合理结构允许处理奇异性。收集的数据，无论是物理还是实验，至少有一个形状属性，积极性，单调性和凸性。降水量、气体排放量和指数函数是产生正数据的几个来源.重新启动手臂所*通讯作者。联系电话：+92 0331 4930071。电子邮件地址：mariahussain_1@yahoo.com（M. Hussain）。开罗大学计算机和信息系负责同行审查。其电路的运动和设计是单调和凸数据的几个例子。Bao等[2]提出了一种自由参数有理混合插值。该插值函数用于数值控制和形状控制，参数范围由弯曲能量最小Brodlie等人[3]将三次Hermite推广到双三次Hermite，用于正向和约束数据插值。开发的方案为C1。 Delgado和Peneca在[6]中研究了有理Be′zier曲面的保形性，并证明了有理Be′zier曲面是不保单调的。 Duan等人[7]重新讨论了有理样条[8]中只有割线斜率与切线斜率重合时才为C1的有理样条。研究了均匀数据下插值函数的有界性、值控制性、内切点控制性和Duan等人[9]提出了一种在每个矩形面片中具有四个形状参数的二元有理开发的插值是C1等间距的数据与适当的选择形状参数。足够的限制是发达对形状 参数求解约束1110-8665© 2013由Elsevier B. V.代表开罗大学计算机与信息学院制作和主办。http://dx.doi.org/10.1016/j.eij.2013.09.002制作和主办：Elsevier关键词二次三角样条;形状参数;Bézier函数;二元三角函数212M.侯赛因，S。Saleem.这是一个很大的问题。I3k¼0.XXPXXXXX2联系我们i2电子邮件数据插值Duan等人[10]讨论了具有两个形状参数的有理样条的收敛速度Han[14]给出了带形状参数的三次三角多项式曲线。节点向量的划分和自由参数的取值影响了连续性的阶数。Han等人[16]提出了一种具有两个形状参数的三次三角Bézier曲线，并将其与三次Bézier曲线进行了B0×1B2-[1，2，3，4， 5，6，7，8，9，10，B3-[1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，RxB0xliB1xgiB2 xB 3x;曲线形状参数对曲线d <$px-xi;h<$x-x;i 1/4 0; 1; 2;. ; n-1：我分析发现，它更接近控制多边形比2hiii 1i三次贝塞尔曲线 Hussain等人[17]使用带形状参数的有理二次函数来保持曲线数据的形状。本文提出的方案只保证了位置连续性。Lamberti和Manni[18]利用参数形式的三次Hermite来保持数据的形状。作者通过约束纽结向量来引入张力效应和保形性。C2-连续性是通过对结点处一阶导数的一组限制来建立的. Manni和Sablonnie` re[19]发展了一种C1参数Hermite插值技术，用于共单调（单调w.r.t. x和/或y）使用分段二次和双二次分量的规则数据。保形格式对节点向量和导数施加了限制。 Zhang等人[21]构造了一个带形状参数的二元有理函数。当导数等于切线斜率时，所建立的二元有理插值函数为C1构造了一个正凸判别函数，用于形状参数的合理选择，以保证凸数据的凸性。本文的 研究是在Bao et al.[2]、Delgado 和 Pena[6]以 及Hussainetal. [17]第10段。目的是发展一种有理插值样条，以保证二次结构在单个区间上的局部控制和C1连续Pk，k=0，1，2，3是控制点，因此Bézier型有理二次三角函数 （ 1） 称 为控 制点 形式 。 参 数 li和 gi是 每个 子区 间li=[xi，xi+1]，i = 0，1，2，.. . ，n-1。定理1. 有理二次三角函数（1）满足以下特性：1. 端点插值性质：S（di=0）=P0，p22. 凸包属性：曲线总是位于的CON-控制点Pk的凸壳，k= 0，1，2，3。3. 有理二次三角函数在阿芬变换下是不变的。4. 有理二次三角函数在形状设计参数有一定限制的情况下，表示圆锥曲线。证据1. 它可以很容易地通过代入d=0和d¼p来建立本文的其余部分组织如下。第-由方程式（一）.我我2第二节给出了一个新的有理二次三角函数在每个子区间中具有两个张力参数。 第3节2. 由于Bk（x）P0，k=0，1，2， 3，对于di2<$0;p≠ 0且形状i）被假定为正实数。将这个有理二次三角函数变换为三角样条函数，讨论了它的逼近性质和形状性质。第四节将三角样条推广到C1二元有理二次三角函数.第五节是数值例子，第六节是本文的结论。2. 类Bézier有理二次三角函数因此Rk（x），k = 0，1，2，3是非负的。简单求和确定3Rk x1.它断言凸壳性质，即。曲线将总是位于控制点的凸包中3. 让不被一个阿夫芬转型已定义当T（X）=AX+T1时，X是要变换的向量，A是变换矩阵，T1是平移向 量。 将仿 射变 换T应用 于有 理二次 三角函 数（1），我们有假设所考虑的数据是{（xi，fi），i = 0，1，2，.. . ，n}。采用了通常的区域递增划分方法。Be′-zier类有理二次三角函数S（x）是de-TSx¼T3k¼0RkxPk！31/4Ak¼0RkxPkT1：2在区间I i=[x i，x i+1]，i = 0，1，2，.. . ，n-1为：月3日以来k¼0 Rkx1，因此表达式（2）采用以下形式：Sx3k¼0RkxPk;1TSxA3k¼0RkxPk3k¼0RkxT1¼3k¼0RkxAPk100万美元Rk（x），k=0，1，2，3是有理二次三角函数基函数定义为3¼R kxT Pk：Bx00lBx11k¼0我Rx;Rx;RxgBxRx;R xRxB3--椭圆在整个域上是有限的，抛物线趋于无限最多在域的单个点处，双曲线倾向于Rx3联系我们在域的最多两个点上是无限的插值时一个圆锥曲线段（双曲线，抛物线和椭圆）由设计参数（l，g我2C1有理二次三角样条213. 2Bh-p1-hgBBh2 23223- 是的我^我3个p3Bxl Bxg BxBx我-0我 1因此，S（x）是无限的，如果R（x）=0。为了简化计算我们将仅限于l=g的特殊情况。取代E- DC2我231美元。2;1p，parapolaifgi21-4B2- 2页 1-下一页B2页B3页E- D2我p303我 1C2我 23西我第一章1第一章1我我第一章1第一章12我236B2i 2 3103pRx1，1-二氢喹啉0我我我pii1p3第一章1p0n-4B-1B-2我23我三个）（。 Σ2我 2 3有理二次三角函数S（x）定义在（1）中，有必要选择满足上述限制的形状设计参数（ligi）的值。的值-1¼3 2 2我我Rx4B1-hh-pgBB 1-hh布·布·布·布形状设计参数（lg）计算如下：我我2011-06- 06Bp--B形式Sx我 1我 2：3000h32BlBE-D3Rx3CRx.Σ 2þ一.-二号！.Σ值的Bk（x），k=0，1,2,3个;在R（x）=B0中li=gi（x）+liB1（x） +giB2（x） +B3（x）=0，经过一些简化-阳离子还原成8B21-- 2giB2B31-pE-DC我的天啊。2B2-1-hgiB2B32我我我Rx2g-22sin2di2g-2 3-gsindi-3-ph5-2giPhosphate 0：40.4B1-h-gBB1-h2！2当量（4）在sin（di）中是二次的R（x）=0的判别式w.r. tsin（di）是D=4（gi-2）2{（3-gi）2-2（5- 2gi）}。它可以- .2B我2p— 1991年-1998年3BH64B32可以很容易地从D计算出R（x）=0的根将是（a）实数且相异，如果G2。-1;1-p2[.1磅2磅;(b)单实根如果gi21-;22个;1个—ph3 p3gB B2B1-h1-hgBBp3我 .pp---(c)没有. reaplropot（gi21-2个; 1个二、h2βB阿尔湾E-D103.p2个;1个2-3¼我Rx0i13C2.S（px）表示双曲线pifgip2 电子邮件-1;1-2[.- 是的Σgi21-2个;1个二、H—p.8B1-h-2pgBC你好！. E-D2000万美元ED3C1- 区间端点连续条件Ii=[xi，xi+1]. 4B-2p10-hED2pCxf;Sx 2015年; S0xd;S0x2 0 % d：.8B1-h2pgBB1-h2！. EDpC子区间上的有理二次三角样条区间Ii=[xi，xi+1]定义为B0.4B21-h-pgB2B31-h2！S xB0xA0B1xA1B2xA2B3xA3;5þ3þ.-pH1-hepatocyteBphB一 f;A2hi di1/4lf;A ¼gf— 2 hidin 1;A 1/4英尺：- 是的2B2-p1-hgiB2B3h2;定理2. 对于g（x）2C3[x，x ]，设S（x）是一个有理数C¼2B0liB1;二次三角样条（5）将g（x）内插到[xi，i+1和g，误差我]，则对于正参数ls。ffiffiffi4ffiffiBffiffiffiffiffiffi-ffiffiffiffiffi2ffiffiðffiffigffiffiffiBffiffiffiffiffiffiþffiffiffiffiBffiffiffiffiffiffiÞffiðffiffi1ffiffiffi-ffiffiffiffiffihffiffiÞffiffiΣffiffiffi2ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffip0I12I23插值函数满足jgx-Sxj6kg3kkhici，其中ci1/4max06h61-ni;gi;hi，其中4B-2gBB 1-h28E¼H3332代入有理二次三角函数的值基函数Rk（x），k=0，1，2，3，（1）它需要þ22;- ¼4B2-2pp22椭圆，如果3.有理二次三角样条þ2C的 理性 二次 三角 功能 （三）是通过应用以下内容转换为样条曲线-þþÞ¼12XD¼2我 2301我30322我 233214M.侯赛因，S。Saleem>2个p我我我我p我23;p>max-1gli;gi;hi;06gi61;06h61;-li;gi;hmax-2μli;gi;hi;gi>1μ2;06h6hω;：max-3μl;g;h-1;g>1μ l;hω6h61：hx-xiH;hω21/4-pbg-1：我¼C1有理二次三角样条215H . 2B-p1-hgBBh23我2我Z（3RRp2i 2 322¼ þ我 我-1¼jf 1x;k jd k2. 对于h6h*，h*2[0，1]且g>1<$2;jg<$x<$-S<$x<$j0i1Fx（w）=f1（x，k），对于k2（xi，x）和Fx（w）=f2（x，k），对于2p我 23CXiXiX我¼jfx;k jd kjfx;k jdk ¼我10i1Rx0我 1.- 是的Σ2BB1-h-hg B我f1（x，k）的根是k1xhi哪里和k21/4x1/2hi-0我 1þ2我23pC¼2B0liB1;Cþ2我p3þZ2ZZ（我的天。- -证据 设{（x，f），i = 0，1，2，... . ，n}是定义为Z x的平面数据我Zxi1Zxjf2x;k jdk ¼f1 x;k dk在区间[a，b]上如果我们用有理插值法二次三角样条（5）则S（xi） =fi，S0（xi）=di，XZxi1Xx xi322i2ii= 0，1，2，.. . ，n，但S（x）近似于结为了衡量这种近似的准确性，假设f2数据是由函数g（x）2C3[x0，xn]生成4B21-h h-p gB2B31-h2hpB03任意子区间Ii=[xi，xi+1]由皮亚诺核定理[20]定义为：1Zxi1电话：+86-0516-8888888— paleigiB23个pB3-3-1-h的平均值）：2Xi61？g？3？g联系我们2克雷奇Ip3-2小时，其中，Fx被称为Peano Kernel，wxk是截断幂函数在子区间Ii=[xi，xi+1]上近似的绝对误差定义为：-2¼Xjf1x;kjdkxi1Xkω1jf2x;kjdk¼-f1x;kdk1Zxi2XiXf1Zkωf2x;kdkZxi1f2x;kdkj gx-Sxj6kgkkjFxwjdk：6kω1H3200Bxkω阿尔湾E-D103由于截断幂函数，Fx（w）被划分为两个子区间如下：¼Rx-3C24B-2p201-h200gB200 g。E-D2k2（x，xi+1），其中2.8B1-h2pgBB1-h2！. E-D22giB 2B 3xi1-k— 4hiB2 xi1-k-我23pCf1 x;k x-k-我p;布·布·布·布24hip. 2B-1-hgBB2RxgB2-3-.我23小时2p！2我 2Bk是Bk（x），k=0，1，2，3已经在第2节中定义。- 2B101-h102p1991年-1998年Bh3p3gBB3积分xi1jFxx jdk¼参与xjf1x;kjdk当量 （6）表示xi1jf2x; kjdk.-p我23：3通过简单的计算可以观察到，如果3. 对于hPh*，h*2[0，1]和gi>1<$2，g<最小值1;121，则f（x，x）和f（x，x）的根pjgx-Sxj61kg3 kh3-3li;gi;h，在[0，1]中，h=0，h=1。 Ifgi>max.1;1<$2<$$>1<$2，则ZxZxi1Zkω1k， k，k1 2*ω2=0时，=1 12 1xix xih=h，其中h1/4 - 1磅。kω2-Xf2 x;k dkf1x;kdkZxi1f2x;kdk为了找到f1（x，k）的根，它被重新排列为：fx;k1nx-k2BlBkω1kω2xh32BlB E D31/4R×1/3C吉卜拉克斯-吉卜拉克. 4B-2gB-2 g B-3gB-3 g4B2- 2页 1-下一页B2页B3页pE-DC. 4ΣΣ.8B21-h-2pgB2B31-h2！. E-D我p2我23ω. E-DωC. EDCpC2000万美元3.我的世界4B-2p1-hgB3CB.2.我的世界8B1-h-2pgB 你好！32ZZXi32p-g3kFxwdk;F½g]1 /4g ×100-S×100×1 0 0我þf2 x;k ¼-Rx：4B21--giB2B31-264B3我p122pf（x，x）和f（x，x）在[0，1]中的根是hH-拉克什：þ、2þXi0我 1R216M.侯赛因，S。Saleem2-好的gBB23我23个pE DCIBB布雷赫我2B2-peptide 1-heptidegiB2peptideB3peptidepþs。ffiffiffiðffiffi4ffiffiBffiffiffiffiffiffi—ffiffiffiffi2ffiffiffipffiffiðffiffigffiffiffiffiBffiffiffiffiffiffiþffiffiffiffiBffiffiffiffiffiÞffiffiðffiffi1ffiffiffi—ffiffiffiffihffiffiffiÞffiffiÞffiΣffiffiffiffi2ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi ffi.ΣD¼-4-B-1-B-2- 4-B-1-h-1-g-B- 2-B-1-h-1-h-1;pE/CN4B2-2页iB2B3页1-页：0i12我23×C0i13p.4B1-h-pgBB1-h2！f2（x，k）的根是k*=x一期+1且kω1/xi= 1，4 hi B2Þ2我23小时p1.对于h2[0，1]，h*R[0，1]和gi1，jg<$x<$-S<$x<$j6<1kgð3Þ- 是的6B2-p1-hgiB2B31-h2k.ΣΣþH2：Q332我23C1有理二次三角样条2172---Bð Þ¼ ð Þ222在Bi（x）中，k=0，1，2，3对di20是正的;p我我i-1我d¼p我BxfBxlf2hidiB-2hidi1i;jJjþi;jJJi;jJJJi;j我我i;j我我i;j我我我i;ji;jI：Ji;ji= 1;ji= 1;j-i i i iiJ注1. 值 得 注意的是，对于适当选择的参数Li 和gi，的 分段有理二次三角样条S（x）在每个折点如果S（x）> 0，则对于所有x 2 [x0≠，xn] ≠，数据将是正的。由于每个li> 0，gi> 0，所以R（x）在整个区域上都是正的点如果 S（2）（x-）=S（2）（x+）或S2x-。我的天啊，我的天啊。2019- 04- 22现在，S（x）的正性问题已经简化为的积极性我二、- 是的Σ的 上述 条件 给 的 以下 系统0i1伊伊普2ii 1p方程式：2hi-1di-2di-1B1-B2-B3-B4-B1-B2-BBxfBx。lf2 hidiBx。GF— 2hidi11/4pfli-1hiDi-1gihi-1Dig;i/41;2;3;.. . ;n-1：1070i1B伊伊普2ii 1p当量（7）表示（n1）个方程的系统如果导数参数d，i = 0，1，2，. ，n是未知数和形状设计3i12h d2h d>0如果 l>-和g>：我参数（li，gi，i=0，1，2，. . . ”[10]“知”，“知”。ipfi国际和平基金会第一章1在（n+1）个未知数Di中发送（n-1）个方程的系统，结合li>0，gi>0，l>-2hiddi和g>2hididdi1，我们有i = 0，1，2，. ，n.如果形状设计参数也是未知数，则有（3n +1）个未知数. 唯一的解决方案，可以确定通过应用端条件。所需的结果。ipfiipfi1定理3. 对于一个正数据，有理二次三角样条定义在方程。（5）保持正性，如果每个子区间[xi，xi+1]中的形状参数li和gil>max.0;-2hi和g>max。0;2hi idii i n1h：4. 二元有理二次三角函数设{（xi，yj，Fi，j），i = 0，1，2，. ，n1; j = 0，1，2，. . ，n2}是布置在矩形网格[xi，xi+1]·[yj，yj+1]上的给定规则数据集，i = 0，1，2，. . ，n11; j= 0，1，2，... ，n21.一、我们希望使用有理二次三角样条（5）来插值这些数据。由于每个矩形都由四个ipfii ipfi边界曲线最后的曲面片是通过混合得到的这些边界曲线。边界的插值和混合证据假设给定的正数据集是{（x0，f0），（x1，f1），. ，（xn，fn）}，xi 0，6i. 由正插值产生的曲线曲线的有理二次三角样条定义在方程。（5）在每个矩形片上生成如下二元有理二次三角函数。2 2Ux;y1-sinujD01-sinujujD11-cosujcosujD21-cosujD3;8Qi;jujD0¼Ux;yj;D1¼l^i;jUx;yjh^jUxx;yj;D2¼^gi;jUx;yj1-h^jUxx;yj1;D¼U x; y;h^^y— y;3j1j2h^jjj 1j你好。1-sinu2l^.1-sinusinu^g1-cosucosu1-cosu;22ð9ÞU=x;y=y =1-sinodecyl-1-sinodecyl-1-cosodecyl-1-cosodecyl-1-cosodecyl-2-cosodecyl-3;Qi; j德岛E0<$Fi;j;E1<$li;jFi;jhiFx;E2<$gi;jFi1;j-hiFx;E3¼Fi1;j;i： j i1; jQ_d_l_d_l_g_l_d_l_d <$px-xi和h<$x-x：我2hiii 1i2ð10Þ2U=x;y=y= 1-sinusoidi-geneG0=1-sinusoidi-geneG1=1-cosmodi-genecosmodi-geneG2=1-cosmodi-geneG3;yJi;j 德岛G0¼Fy;G1¼lFy hiFxy;G2¼gFy— hi F;G3¼Fy：XY和所有i;ji1：jQ218M.侯赛因，S。Saleem216M.侯赛因，S。Saleem2.1/4i公司 简介.. -21/4-J8（c）i1;l j;j 1是在四个角的偏导数，（i，j）th-补丁。 二元有理二次三角函数@Ux;y.uj¼p.uj=1¼0@x如果li;j=1li;j; gi;j=1gi;j;Fi;j=1li;j=1gi;j-gi;j=1li;j@Uxi;yjFy;@U xi; yjFxy：iFxy@y¼.uj-1¼p@Ui;jx;yj-@y.uj¼0XYi= 1;ji;ji; j-1i;ji; j-1pi= 1;ji; j-1i;jdi-1¼pXYΣ.-我是说...¼ðÞl-jJ我U（x，yj+1）和Uy（x，yj+1）通过在等式5中将j替换为j+1而获得（8）和（10）。li，j和gi，j是沿x轴的自由参数，@Ui-1;jxi;y@x。di-1¼p^@Ui;jxi;y0@xd0X.Σð12Þnxy xy如果l^i;j^l^i-1;j;^gi;j^gi-1;j;Fi;jl^i;j^gi-1;j-^gi;jl^i-1;j是免费参数沿 y轴。Fk;l; Fk;l; Fk;l：k ¼ i;2 hjFx y. l^-l^0.40：函数（8））具有以下特性：@Ui;jx;yj1@Ui;j1x;yj1¼0U=x;y=F;我1/4F;y.Σ22小时Σpi;jyð13ÞFlG -G2 hiXYlFl-l2019 -04- 01定理4. 分段二元有理二次三角函数i1;j1i;j1i;ji;ji;jpi1;j1i;ji;j度量函数U（x，y）在整个域上是C1，如果形状..- 是的2(i) li，j= li并且gi，j= gi，i = 0，1，2，. ，n 1- 1，对于所有l/l;g/g;Fyg-glJ的值i;ji;j-12hii;ji;j-1i;ji;ji;j-1i;ji;j-1ð14Þ(ii) l^i;jl^j和l^gi;j l^j，j=0，1，2，.. . ，n2 1，对于所有价值观i。n=1;n=Fy. 1g-1g-2h-1Fy=1-1g0：证据有理二次三角函数（8）对数据值Fi、j和偏导数Fx、Fy、Fxy进行插值Eqs系统（11）-（14）仅当l i，j = l i和g i时才满足，在矩形贴片的四个角处定义，即，i;ji;ji;jj=gi，i=0，1，2，.. . ，n1-1，并且对于j的所有值。l^i;j^l^j和^gi，j=0，1，2，.. . ，n2-1，并且对于i的所有值。U= x; y= F;@Uxi;yjFx;@Uxi;yjFy;定理5. 二元有理二次三角函数我ji;j@xi;j@yi;j函数U（x，y）在整个域上是正的，如果@2U xi;y@x@y¼Fi;j：由于每个矩形面片由四个边界如果满足以下足够条件：Uxi;yj Fi;j;8i0;1;2;.. . ;n1;j<$0;1;2;. . . n=2;为了将矩形面片混合以生成满足足够条件的C1连续曲面，必须沿每个矩形的四个边界满足曲线li>max.0;-2hi Fxi; j;pFi; j2hi Fxi;j ;pFi;j1补丁：gi>max。0的整数倍;2hi Fxi= 1;j;pFi1; j2hi Fxi1; j1pFi1;j1@ U i;jxi1;y。-@Ui1;jxi1;y。1/40;.Σ@x。p@x。<2h^Fy2h^jFy2h^plFy<$2hFxydi¼2..2di1¼0J^>max 0;：pFi;j;-pFXYi= 1;j;-i;j我i;jX@ U i-1;jxi;y。@Ui;jxi;y。i;ji= 1;jpliFi;j<$2hiFi;j@x。-@x.X-pi;ji-1; ji;j@y@y我Ji;ji;jþ-我的L1/4;i;j@x@yi;ji;ji;j设计参数满足以下关系：@Ui;j-1x;yj@y1/4如果^yJΣC1有理二次三角样条217.. -XY..-@y.i;ji1; j1.þ1/4;.Σ9..2 hjpgiFi1;j-2 hiFi1;j =@Ui;jx;yj1@Ui;j1x;yj11/4;-p。pgF2hFx;;@y。uj¼p@y。uj=1¼0ii1;j-ii= 1;j<8^y^y2h^j。plFy2hiF..2 hjFi;j12hjFi1;j1我i;j1.i;jdi¼02218M.侯赛因，S。Saleem..i; j2@y.uj-1¼puj¼0¼0：yppliFi;j<$1<$2hiFi;j<$1i;jXY第一章1@x.d¼p -i= 1; j@x第一章1.D¼0 1/4，iF i1; j1-2 iFi1;j1i= 1;j我Ji、j12@Ui;j-1x;yj@Ui;jx;yj^gj>max 0;：C1有理二次三角样条219pFpFX（c）220M.侯赛因，S。Saleem（2）Σ9C1有理二次三角样条221i;ji= 1;j经过一些简单的计算，可以观察到，222M.侯赛因，S。Saleem2 hj pgiFi1;j1-2hiFi1;j1=C1有理二次三角样条223@Ux;y。@U阿克斯;y。p.PG224M.侯赛因，S。Saleemx;：C1有理二次三角样条225我 2i1226M.侯赛因，S。Saleem证据令 {（xi，yj，Fi，j）：i = 0，1，2，. ，n1; j = 0，1，2，. ，n2} be
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