埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joemsJournal of the Egyptian Mathematical Society（2014）22，50原创文章种群规模可变的分数阶SIS传染病HAA El-Saka*埃及新达米埃塔34517，达米埃塔大学理学院收稿日期：2013年5月29日;接受日期：2013年2013年8月2日在线发布本文研究了具有常数招募率、群体行动发生率和可变人口规模的分数阶SIS传染病模型。研究了平衡点的稳定性。给出了该模型的数值解。数值模拟验证了理论分析的正确性。数学潜规则分类：37N25; 34D20; 37M05？2013制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍该流行病模型包括常数补充、疾病诱发死亡和群体行动发生率。有些感染并不赋予任何持久的免疫力。这种感染没有恢复状态，感染后个体再次变得易感这种类型的疾病可以通过SIS类型来建模总群体N分为两个区室，N=S+I，其中S是易感类中的个体数，I是具有传染性的个体数[1，2]。分数阶微分和积分运算器在数学模型中的应用越来越广泛。*电话：+20 57 2403980。电子邮件地址：halaelsaka@yahoo.com。同行评审由埃及数学学会负责近年来，[3]。分数阶微分方程的几种形式已经在标准模型中提出。分数阶微分方程一直是研究的热点。 由于其在流体力学、经济学、粘弹性、生物学、物理学和工程学中的广泛应用，引起了人们的广泛关注。近年来，关于分数阶微分方程在非线性动力学中的应用，已有大量的文献[3]。本文研究了分数阶SIS模型。研究了平衡点的稳定性数值解给出了该模型我们认为分数阶方程比整数阶方程更适合于模拟生物、经济和社会系统（通常是复杂的自适应系统），其中记忆效应很重要。第二节研究了分数阶微分方程的平衡点及其渐近稳定性。在第3节和第4节中，介绍并讨论了该模型。第五节给出了模型的数值解现在我们给出分数阶积分和分数阶微分的定义：1110- 256 X？ 2013制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2013.06.006制作和主办：Elsevier关键词分数阶; SIS传染病模型;种群规模可变;稳定性;数值解22-DT一个300万美元的LL一个250万美元LZtt-sb-12212我12我我特征值，分别，和-1）。 从图 1、容易0bK-ul a12000年“#212具有可变种群规模51的分数阶SIS传染病模型定义1.1.函数f（t）的b R +阶分数次积分，t>0定义为：Ibf0Cbfsds1并且f（t）的a（n 1，n]阶分数导数，t>0定义为：DaftIn-aDnft;Dd：2对于分数阶导数和分数阶积分的主要性质[42. 平衡点及其渐近稳定性设a2（0，1），考虑系统[10-15]1年1月1日;2年2月1日Dytfy;y初始值y1 0yo1和y20yo2：4为了计算平衡点，让Dayt图1分数阶系统的稳定区域从这里我们可以得到平衡点yeq;yeq.为了评估渐近稳定性，令ytyeqeit;因此，总人口规模N可能随时间而变化[2]。为了评估平衡点，让Da1S¼0;所以平衡点是局部渐近稳定的，Da1I¼0;如果雅可比矩阵A的特征值然后是Se q;Ie q。K;0<$;<$Sω;Iω<$，为平衡点@f1@y1@f2@y1@f1@y2@f2@y2其中，1联系我们LðuþlþaÞ;Iω¼K-lula：在平衡点处评估满足（Δarg（k1）Δp/2，[11，12，14 -16]. 的稳定区域B. K对于10Seq;Ieql;0阿吉尔·阿吉尔bla分数阶系统的阶数a如图所示。 1（其中r，x是指-l-bKuA¼;L证明分数阶情形的稳定区域为大于整数阶情形的稳定区域3. 分数阶SIS模型其特征值为k1 1/4-10;bK bK如果
a1p=2;jarguk2j>a1p= 2：704. 一致稳定解让x1吨/小时;x2吨/小时;fxt;xtlK-bxtxt -lxtuxt;654I（t）32111 2和1 2 1 200 5 10 15 20 25 30 35 40f2x1t;x2tbx1tx2t-ulax2t：让D/fx1;x22R：jxitj6a;t2½0;T];i/f1;2g;那么在D上我们有25不图5. @。. @。2015在.@x1f2x1;x2。6k3和.在f2x1;x2。6k4;10其中k1，k2，k3和k4是正常数。5这意味着两个函数f1，f2中的每一个都满足关于两个参数x1和0的Lipschitz条件图6a1= 1.0。2520考虑下面的初始值问题，它表示：发送分数阶SIS模型（8）和（9）15Da1x1t;f1x1t;x2t;t>0 和x101xo1;810Da1x2t;f2x1t;x2t;t>0 和x201xo2：9500 10 20 30 40 50 60 70 80 90100不图3a1= 0.9。定义4.1. 通过对分数阶SIS模型在等式（8）和（9）中，我们表示列向量（x1（t）x2（t））s，x1和x22C[0，T]，T<1其中C[0，T]是定义在区间[0，T]上的连续函数类，s表示矩阵的转置。SISIα =1.0α =0.9α =0.8SIx2，则两个函数f1，f2中的每一个都是绝对连续的，0102030405060708090100对于两个参数x1和x2，不SISIα =1.0α =0.9α =0.8L.ΣLΣ一LL具有可变种群规模53的分数阶SIS传染病模型25和S201510500 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100不图7a1= 0.9。25FXtf1x1t;x2tf2x1t;x2t：现在应用定理2.1[17]，我们推出分数阶SIS模型（8）和（9）有唯一解.根据定理3.2[17]，该解是一致李雅普诺夫稳定的。H5. 数值方法和结果文[18-20]中介绍并进一步研究了一种Adams型预估-校正方法本文用Adams型预估-校正法求解分数阶积分方程。方法推导的关键是用一个等价的分数次积分方程代替原问题（5）[1½K-bSI-1SuI];20ItI0Ia1½bSI-ulaI];ð11Þ然后应用PECE（预测、评估、校正、评估），15ate）方法。近似的解决方案显示在图。 2-9 为10S（0）=20.0，I（0）=1.0和不同的0a161。< 图2 -5岁我们取K=0.1，b=0.1，l=0.2，u=0.3，a=0.1，5平衡点K;01/2 0： 5;0 1/2是局部渐近线，00 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100不图8a1= 0.8。1816稳定性，满足条件 （6）。bK¼0： 05<00：00：00：00 满意了。 图 5我们发现，在分数阶情况下，感染的峰值降低。但这种疾病需要更长的时间才能根除。图在图6-9中，我们取K=0.5，b=0.5，l=0.3，u=0.1，=0.1，并发现 平衡点.K;01： 66667; 0不稳定，其中条件（6）为14不满意12.bK<$0：833333>ula<$0：5和10I（t）864200 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10不图9平衡点（S*，I*）是局部渐近稳定的，其中满足条件（7），其中平衡点和特征值如下：（S*，I*）=（1.0，0.5），k1，2=-0.275± 0.156125 i.平衡点（S~*，I~*）=（1.0，0.5），是局部不对称稳定的，其中k_（2，3）= 2.62524>a1p/2. 图 9我们发现，在分数阶情况下，感染的峰值降低。但这种疾病需要更长的时间才能根除。现在我们有了下面的定理定理4.1. 分数阶SIS模型（8）和（9）具有唯一的一致李雅普诺夫稳定解。证据将模型（8）和（9）写成矩阵形式Da1XXtFXt;t>0 和X0X10哪里X吨重1吨重x2吨重;6. 结论本文研究了分数阶SIS模型。研究了平衡点的稳定性。给出了该模型的数值解考虑分数阶系统而不是整数阶系统的原因是分数阶微分方程是整数阶微分方程的推广。此外，使用分数阶微分方程可以帮助我们减少在模拟现实生活中的现象时忽略参数所54 H.A.A. 萨卡我们认为分数阶方程比整数阶方程更适合于模拟生物、经济和社会系统（通常是复杂的自适应系统），其中记忆效应很重要。研究了平衡点的稳定性。给出了这些模型的数值解。数值模拟验证了理论分析的正确性。确认我想感谢艾哈迈德教授。El-Sayed（埃及亚历山大亚历山大大学理学院数学系）对他的支持和鼓励。引用[1] W.O. Kermack，A.G. McKendrick，对流行病数学理论的贡献，Proc。Soc. LondonSer. A 115（1927）700-721.[2] CruzVargasDeLeo'n，经典SIS，SIR和SIRS流行病模型的Lyapunov函数的构造（2009）。[3] I. 张文，分数阶微分方程，北京：中国科学院出版社，1999。[4] A.M.A. El-Sayed，分数阶微分-差分方程，J. 分数。第10卷第101-106页。[5] A.M.A. El-Sayed，任意阶非线性泛函微分方程，非线性分析：Theory，Methods Appl.33（1998）181-186.[6] A.M.A. El-Sayed，F.M.李文，分数阶微分方程的数值模拟，（2001）。[7] A.M.A. El-Sayed，F.M. Gaafar，H.H.李文，论任意阶非线性泛函积分微分方程的最小解和最小解，数学，科学，2000。Res. J. 8（2004）336-348。[8] R. Goren Bagelo，F.分数阶微积分：分数阶积分微分方程，在：A。Carpinteri，F.Mainardi（Eds.），连续介质力学中的分形和分数阶微积分，Springer，1997，pp. 223-276。[9] I. Podlubny ， A.M.A. El-Sayed ， On two definitions offractionalcalculus ， Solvak Academy of Science-Institute ofExperimentalPhysics.（1996），UEF-03-96 ISBN 80-7099-252-2.[10] E.艾哈迈德，A.M.A. El-Sayed，E.M. El-Mesiry，H.A.A. El-Saka，分数阶复制子方程的数值解，IJMPC 16（2005）1-9。[11] E. 艾哈迈德，A.M.A.El-Sayed，H.A.A.El-Saka，关于分数阶 微 分 方 程 的 一 些 Routh-Hurwitz 条 件 及 其 在 Lorenz ，Roüssler ，Chua 和Chen 系统中的应用，Phys.Lett. A 358（2006）。[12] E.艾哈迈德，A.M.A. El-Sayed，H.A.A. El-Saka，分数阶捕食者-被捕食者和狂犬病模型的平衡点、稳定性和数值解，J. Math. Anal. 325（2007）542-553。[13] A.M.A. El-Sayed，E.M. El-Mesiry，H.A.A. 艾尔-萨卡 关于分数阶逻辑斯谛方程，AML 20（2007）817-823。[14] H.A. El-Saka ， E. Ahmed ， M.I. Shehata ， A.M.A. El-Sayed，分数阶动力系统的稳定性、持久性和Hopf分支，非线性动力学。56（2009）121-126。[15] H. El-Saka ， A. El-Sayed ， Fractional Order Equations andDynamical Systems ， Lambrt Academic Publishing ， Germany（2013），ISBN 978-3-659-40197-8.[16] D.陈晓，分数阶微分方程的稳定性及其在控制处理中的应用，北京：计算机科学出版社。工程系统应用2（1996）963，法国里尔。[17] A.M.A. El-Sayed，非线性分数阶微分方程正解的存在性和稳定性及其应用，Alex. J. Math.1（2010）1-10。[18] Kai Diethelm，分数阶微分方程的分析：使用Caputo型微分算子的面向应用的阐述（数学讲义），Springer-Verlag，柏林，海德堡，2010年。[19] E.M. El-Mesiry，A.M.A. El-Sayed，H.A.A.陈晓，多项分数阶微分方程的数值解法，应用数学与计算。160（2005）683-699。[20] A.M.A. El-Sayed，E.M. El-Mesiry，H.A.A.陈晓，多项分数阶微分方程的数值解法，计算机。Appl.Math.23（2004）33-54.
