四元数矩阵表达式的秩及其应用研究——埃及数学学刊2013年文章

2Journalof the Egyptian Mathematical Society（2013）21，175埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章四元数矩阵表达式的最大和最小秩及其应用Somayeh Rashedia， Ghodrat Ebadia， Anjan Biswasb，*a伊朗大不里士大学数学科学学院，大不里士51666-14766b美国特拉华州立大学数学科学系，Dover，DE 19901-2277接收日期：2012年11月11日;修订日期：2013年1月10日;接受日期：2013年3月7日2013年4月22日在线提供本文建立了四元数矩阵表达式f（X1，X2）= C7-A4X1B4-A5X2B5的外秩公式，其中X1，X2是由四元数矩阵方程A1X1= C1，A2X1= C2，A3X1= C3，X2B1= C4，X2B2= C5，X2B3= C6构成的变异四元数矩阵。作为应用，我们给出了一个新的充要条件，一些四元数矩阵方程组的解。一些结果可以看作是本文结果的特例。2010年数学学科分类：15A24 15B33？2013制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍设R，C和Hm×n分别表示实四元数代数上的实数场、复数场和所有m·n矩阵H-1;a0;a1;a2;a32Rg：对于矩阵AHm×n，符号A*、R（A）、N（A）和dimR（A）分别表示A的共轭转置、列右空间、左行空间和R（A）的维数。我们用A +表示矩阵A的自反逆，它满足条件AA+A= A和A+AA+= A+。++矩阵LA=I-A A和RA=I-AA是*通讯作者。联系电话：+1 302 857 7913。电 子 邮 件 地 址 ： s_rashedi@tabrizu.ac.ir （ S.Rashedi ） ，ghodrat_ebadi@yahoo.com （ G.Ebadi ） ， biswas. gmail.com（A.Biswas）。同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：Elsevier由矩阵A诱导的正交投影器，其中A+是A的任意但不固定的自反逆，I是适当大小的单位矩阵。H上矩阵的一般性质可以在[1]中找到。从那以后，四元数在结合代数、分析学、拓扑学和物理学中进一步出现。目前四元数矩阵在计算机科学、量子物理、信号和彩色图像处理等领域有着重要的应用[2线性矩阵方程组的可解性及其解法一直是矩阵分析及其应用中的重要课题之一。方程解的极端秩的研究1110- 256 X<$2013 Elsevier B. V.代表埃及数学学会制作和主办。在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2013.03.002关键词四元数矩阵;秩176S. Rashedi等人半]¼ ð Þ----12¼2 2 22-1>2222.ΣA我我221111的122211的1S1>：C11C22(iii);Σ Σn×m2¼线性矩阵方程组已经活跃地进行了30多年。例如，1984年Mitra[6]给出了复矩阵方程对AX=C，XB=D的最小秩的通解。1987年，Uhlig[7]给出了矩阵方程AX=B解的极值秩。2003年，Tian在[8，9]中研究了是一致的.（ii）R A C=0，CL B=0。r A C r A rB（5）的解为C我的天这样的话，将军给出了复矩阵方程AXB = C的秩解，并给出了一些应用.最近，Wang等[10]给出了四元数矩阵表达式f（X1，X2）=AA3X1B3A4X2B4，其中X1，X2是变异四元数矩阵，服从两个相容的四元数矩阵方程组A1X1=C1，X1B1=C2和A2X2=C3，X2B2=C4.在 2012年 ， 田 [11]得 到 了极 值秩的的Hermitian矩阵表达文献[12-37]研究了一类马氏方程的BX（BX）*，也就是对称极小、自反极值和反自反极值秩解本文研究了矩阵表达式的极秩fX1;X2C7-A4X1B4-A5X2B5;1服从相容线性矩阵方程组X¼A断路器AV断路器B;其中U和V是任何维数相容的矩阵，H.引理2.2（17中的引理2.2） 。 让A1Hm×n;C1Hm×r;A2Hs×n;C2Hs×r被已知和XHn×r未知，S A2L A且G=R S A 2，则系统的下列语句是等价的：(i) 系统A1X¼C1;A2X1/4C2;107℃是一致的.(ii)8>A1X1¼C1;一个2x1/4C2;1R C=0;i= 1; 2;G. AC-AC¼ 0;8>：A3X1¼C3;X2B1¼C4;X2B2¼C5;：X2B3¼C6;ð3Þ(iii)r½A1 C1]¼rA1;rA2 C2]l在这种情况下，系统（7）的通解为：X¼ACLSA. AC-ACL Y;10作为特例，我们考虑了f（x）=C7A4xB4在某些相容系统下的极秩. 作为应用，在第三节中，我们给出了线性矩阵方程8A1X1¼C1;A2 X1¼ C2;>A3 X1¼ C3;>其中Y1是一个任意的矩阵，具有相容维数，H.引理2.3. 设 A12Hm×r， A22Hm×s， C12Hn×r， C22Hn×s已知，XH未知，T R A A2，Q=A 2 L T，则下列语句等价：(i) 系统XA1¼C1;XA2¼C2;111 ℃是一致的.(ii)<>X2B1¼C4;¼ð4ÞCAAC;i;1; 2;.CA-CAQ¼0;12我我我我>2211X2B2C5;>X2 B3¼ C6;>(iii)rA1rA;rA2rA：13作为（4）的一个特例，我们得到了一个可解的con-n。系统A4×1B4+A5×2B5=V7的一个版本。2. （1）服从系统（2）和（3）的极值秩引理2.1 （引理2在第16段）。 让一Hm×n，BHr×s，CHm×s已知，XHn×r未知.那么以下语句是等价的：(i) 系统AXB¼ C以下X¼C1A1C2A2-C1A1 A2TRA1YTRA1;1 4其中Y是H上具有适当大小的任意矩阵证据 根据引理2.1，（i和iii）是等价的。现在我们证明（i和ii）是等价的。假设系统（11）有解X0，则X0A1=C1且X0A2=C2.因此，（ii）的第一个等式由引理2.1成立，（ii）的第二个等式由引理2.2成立。(ii) 持有>ð2ÞH及其应用。在第2节中，我们推导出公式-A X B AX B1/4摄氏度：4145257在这种情况下，（11）的通解可以表示为：8>四元数矩阵表达式的最大和最小秩及其应用177.- 是 的Σ1ΣΣ2110不0011201122112的10不 的1>：>>的;BCΣΣ.ΣB40B30B340C2A2-C1A1 Q¼X0A2A1-X0A1A1 A2LT沪ICP备05000000号-1沪公网安备3101050200000000号(iii)rABrB r CrRAL：¼X0TLT¼0：C0相反，我们证明了具有以下形式的矩阵X：（14）是系统（11）在假设（ii）下的解。从（ii）可以得出，C1¼C1A<$1A1，并且C1AA2C2A-C1AA2TRAA21/4C1A1A2/4C2A2-C1A1 一个2吨的吨.Σ使用引理2.4，我们可以很容易地得到以下结果。引理2.5. 设A2Hm×n，B2Hm×k，C2Hl×n，D2Hj×k，E2Hl ×i.则以下秩等式成立：（一）1/4C1A1A2/4C2A2-C1A1 A2¼C2：CIBBA.H很容易证明具有（14）形式的X是一个解，r½BALC]¼r0 C（二）— rC系统（11）。对于任意解X0项目（11）的系统，C C0rR A1/4A B— rB;X R¼X-X TT¼X— .X—CAATB1/4X-。C-CAAT（三）0 2 112.Σ2A B03¼X0-C2A2-C1A1 一个2吨的罐子：rABLDr64C0E75-rD-rE：所以X0RTRA1¼X0-X0A1A1-C2A2-C1A1A2TRA1RE C00D0从而1/4X0-C1A1-C2A2-C1A1A2TRA1：引理2.5在简化各种块矩阵。田在[19]中给出了以下的极端秩X¼CA。CA-CAATRRR;矩阵表达式（1）结果可以推广到H.根据[19]中的结果，我们有以下结果。示出了系统（11）的任意解X0可以表示为（14），其中Y=X0。下面的引理是由Marsglin和Styan[18]提出的，也可以推广到H.引理2.4. 设A2Hm×n，B2Hm×k，C2Hl×n. 则引理2.6. 让A2Hm×n，A32Hm×p1，A42Hm×p2，B32Hq1×n和B42Hq2×n.则f（X1，X2）的外秩如下：8>AA3B40A.A. 一A.B4 002 一 A 33B340A.A. A.4B30A.A. 一A.34B3 002AA439>=minr½fX;X]¼r½AAA]最大值64B75 R-R3 4─规则64B075;r-r-r64B075：以下秩等式成立：（一）r½A B]<$rAr RABrBr RBA;（二）AC00>：>>的;Rr178S. Rashedi等人现在我们考虑矩阵表达式的外部秩（1）服从一贯制（2）和（3）。定理2.7. 定义为（1）的四元数矩阵表达式f（X1，X2）的外部秩服从相容系统（2）和（3）如下：四元数矩阵表达式的最大和最小秩及其应用17923.Σ475364C1; X2 B1¼C4;11211B1B2B3B5121A20C2B4第六章第七章第四175676475一（一）MaxA X¼r½fX1;X2]½minfa;b;c;dg;证据 根据引理2.2，X1具有（10）的形式。因此C3¼A3X1A2X1¼C2;X2B2¼C5;ð15Þ3. AC1LASA2. AC2-AC1LALSY;A3X1¼C3;X2B3¼C6：哪里A10C1B46A20C2B473342A13一个3也就是说， AY = U对于Y是一致的，其中A 1/4 A3L A1LS，U¼C3-A3A1C1-A3LA1S A2A2C2-A1C1：2017年1月1日注意a¼r6A0CB75-r64A275;RU¼0：180b/262A4A5C7B1B2B3B50 0 0B4-r½B1 B2B3];A5C4A5C5A5C6颈734根据引理2.1，Y1;其中Y1是H上具有适当大小的任意矩阵。因此X1¼A1C1LA1SA2. A2C2-A1C1A10 0 0C1B40 0 0C B72 3LA1LSA2 2A 16 7c/r A3000C3B4 - - 一个2-r 1/2B1B2B3];一个4 A 5 C 4 A 5 C 5 A 5 C 6C 7A 30B1 B2B3B5类似地，通过引理2.3，X2具有（14）的形式。因此C6¼ X2 B31/4。C4B1炸弹。C5B2-C4B1B2TRB1WRTRB1B3;d rC7A5分：也就是说，WB=W对于W是一致的，其中B¼R T R B1B3W¼C-CBB-. CB-CBBTRB：20（二）B406注意41352412B13minA1X1¼C1;X2B1¼C4;A2X1¼C2;X2B2¼C5;A X¼ C; X B¼ C：r½fX1;X2]¼gmaxfe;fg;ð16ÞWLB¼0：221磅根据引理2.1，W <$WBB;114180S. Rashedi等人6一7746þðWBþþY2RBÞRTRB1:ð22Þ一4一5颈72将（19）和（22）代入（1）得到24264一3一个C一个C一个C3C476 一30A C一个C一个C3C47一个4A 5 C 4A 5 C 5A 5C 6C7445455567 5445455567 5640B1B2B3B5 75一0C BBBBB062624 72212355373431 3 23 6哪里2A10C1B432其中Y2是H上具有适当大小的任意矩阵。因此3X2¼C4B C5B-C4BB2TRB4A30C3B450 0 0B4 75;5455567四元数矩阵表达式的最大和最小秩及其应用181A C A CA C C182S. Rashedi等人2A0 0 0C B32AA0 0 0C B32A10 0 0C1B43四元数矩阵表达式的最大和最小秩及其应用183一52457545556750 0B461 14 1 5146 A184S. Rashedi等人0 0 0C B70 0 0C B0 0 0 0C Be½ r6 A0 0 0C B7-r6A四元数矩阵表达式的最大和最小秩及其应用1853 347A0 0 0C B0 0 0 0C B7-r6 7;186S. Rashedi等人0B1B2B3B526A10C1B43720 0B1B2B3B5四元数矩阵表达式的最大和最小秩及其应用18730 0 0 0B4188S. Rashedi等人中国A组67四元数矩阵表达式的最大和最小秩及其应用18976f/r-r6A0C B7-r4 0 0 0B190S. Rashedi等人075：B4064A A CA C A C4A C C A四元数矩阵表达式的最大和最小秩及其应用19164.D20067723741144的12221þΣ16D74;2CA5一个40 036744D250044D2-r A-rS-rA1-rB-rT-rB15>;75232000 0S不5B5B3不2一个20fX1;X2C7-A4A1C1B4-A4LA1SA2A2C2-A1C1B4r“C D1A5#¼r“C A5A4L A1L S L A#— A4LA1LSAULAY1B4-A5C4B1B5D200D20 0— A5. C5B2-C4B1B2TRB1B52C A5A4L A1L S3— A5WBY2RBRTRB1B5;把C¼C-AAC B-A LSA。A/CN.9/2004/L.16þþ-ABþ1/4 D20 00 0A2C A5A4L A13— A4L A1L S UB4-A5C4B1B5-A5C5B2 -C4B1rA-rS— 第67条─B2TRB1B523— A5WBB RTRB1B5;D1¼A4LA1LS LA;D2¼ RB RT RB1 B5;124mm暗示f X1; X2 C- D1 Y1 B4- A5 Y2 D2：从引理2.6可以得出：640 0A3LA1752C A5A43© 2018-2019www.cn-rz.com版权所有并保留所有权利640 0A275MaxA1X1¼C1;X2B1¼C4;A2X1¼C2;X2B2¼C5;A3X1¼C3;X2B3¼C6：r½fX1;X2]maxr½C-D1Y1B4-A5Y2D2]0 0A1C A5A40 0A3 0© 2018-2019www.cn-rz.com版权所有并保留所有权利2182C 396 7<>67“C D1 #2“CA5#>=460 0A1 0751/4分钟 r½CD1A5];r4B45;rD;r0B0>R R B0 0Bð25Þ60 0A3 0 07和A1X1¼C1;X2B1¼C4;Y1;Y21/4r60 0A2 0 07min[R/C=D1Y1B4-A5Y2D2]460 0A1 0 075A2X1¼C2;X2B2¼C5;A3X1¼C3;X2B3¼C6：— r A- r S- r A1-r B-r T2C A5A40 0 032C 3（“C D1#2“C D1A5#260 0A3 0 0 07电话：+86 21 6600000传真：+86216600000 [A5]甲氨蝶呤研发D20-rD0 051/4r60 0A0 0 072CD32CA3 9640 0A1 0 0 0751“C A编号B40“CDA#>=-第6条B款507;r-r1 5-第6条B款07：026分0B500B3B2 B1现在我们简化（25）和（26）中的分块矩阵的秩。鉴于引理2.4和2.5，块高斯消去，（8），（12），（17），（18），（20），（21），（23）和（24），我们有2A11/4r6AC1B43C2B4C B7以下内容：3 346 7的1rArA3LA1LSr46A275-rA1-rS;4>一个3：D2B1ra1在0 0RB10B475Y1;Y2000000000000一个5A5 C4A5C5A5C60B1B2B3-r½B BB]192S. Rashedi等人542一rBrRTRB1B3r½B1 B2B3]-r<$B1-r<$T <$;64A42A13— r6A7颈7B5ð27Þ123四元数矩阵表达式的最大和最小秩及其应用1937一CB7一41 2 3564A4一个5C75一A2 X¼C2;r64B一个305¼r60 0 0C3B47一个2 C2B 4B4r½fX]r67r─规则6A3C3B474676C75类似地，我们可以获得以下结果：2A10C1B43（一）8>2A1 C1B43242A31联系我们B“6号B40072 3< 6AC B一个4C76 7=3C D1A5A20C2B4A16 7Max2r½fX]¼minR675-r4A25;r：r1-r6A30C3B47-r64A275;r28A1X¼C1;>>：4A3 C3B4AC7;0 0B4A3X¼C3：2A0 0 0C B3（二）73>194S. Rashedi等人一个3A0 0 0C BminD0一个C一个C一个CC一以下内容：454555673XB3¼C6：ð31ÞR 一个C一个C一个CC-r½B1 B2B3]：minr½fX]r一个C一个C一个CC45一114232 36A20 0 0C2B472AC B3的1 C1B4