−可在www.sciencedirect.com在线获取理论计算机科学电子笔记301（2014）79-90www.elsevier.com/locate/entcs代数域的形式背景黄梦巧1，2经济系湖南涉外经济学院中国长沙青果里3兰昆果湖南大学数学与计量经济学院中国长沙摘要本文用形式概念分析的方法研究代数整环的表示。对于形式背景，我们可以定义大量的一致集。与每个相容集相关联的是从已知的可逼近概念中选出的一组F -可逼近概念。借助于F-可逼近概念，形式背景和代数域能够相互解释.通过对有限相容集的分析，证明了代数双有限域、代数L域分别位于相应的形式背景下 .保留字：形式背景，F-逼近概念，代数论域，范畴等价。1介绍Domain理论是由Dana Scott在20世纪70年代提出的，并已成为序理论的一个重要分支。作为指称语义中使用的有序拓扑结构理论，它在计算机科学中有重要的应用，用于指定指称语义，特别是函数式编程语言。为了给通常的领域理论方法提供一种更具体的方法来研究编程语言的语义，信息系统的概念首先在[6]中发展起来。通过信息元的概念，信息系统提供了Scott域的具体表示在过去几1本研究得到国家自然科学基金项目No.60873034和No.11071061的2电子邮件：huangmengqiao2@yahoo.com3电子邮件：liqingguoli@yahoo.comhttp://dx.doi.org/10.1016/j.entcs.2014.01.0071571-0661 © 2014 Elsevier B.V. 在CC BY-NC-ND许可下开放访问。80M. Huang等人/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 301（2014）79几十年来，人们开发了许多其他类型的信息系统来表示各种域结构，如连续域[15]，代数域[7]，L-域[8]，双有限域[2]等。另一个与信息系统密切相关的研究领域是形式概念分析（Formal ConceptAnalysis，简称FCA）。它是由Wille [4]提出的，建立在应用格和序理论[3]的基础上。经典FCA的核心思想是提取关系数据中固有的概念层次结构。最近，在[10，13]中，G-Q. Zhang等详细研究了信息系统与FCA之间的联系。在他们的工作中，基于对关联信息系统中形式概念与信息元不匹配的观察，他们首次提出了形式近似概念的概念已经证明，可逼近概念准确地捕捉了代数格这类特殊的域结构。随后，P. Hitzler和G-Q Zhang [13]进一步建立了形式背景的特定范畴与代数格范畴之间的范畴等价这些结果表明FCA在表征域结构方面具有重要的潜在能力。然而，我们还没有看到任何工作表示域结构以外的代数格的FCA的工具在文献中。本文研究了代数Domain的FCA表示。为此，我们提出了一个新的概念F-可逼近概念，它可以被看作是一个选择的可逼近概念的约束下的一致性集上的形式背景。我们进一步探讨F-逼近概念和代数域之间的证明了一个形式背景的所有F-可逼近概念构成一个代数Domain，反之，每个代数Domain同构于某些特殊形式背景的F-可逼近概念集本文的其余部分组织如下。在第二节中，我们简要地回顾了Domain理论的一些必要的基础。在第三节中，我们在G-Q的基础上发展了F-可逼近概念的利用F -可在第四节中，我们提出了一种新的态射，称为条件形式背景态射，并研究了形式背景的相关范畴（记为Cct）。我们最终得到了Cct与代数范畴的等价性域.第五节还研究了一些特殊代数域的形式背景。特别地，我们给出了表示代数双有限域、代数L-域的形式背景的充分必要条件。第6节给出结论。M. Huang等人/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 301（2014）79812域名：Domains为了方便读者，我们回顾一下域理论中的一些概念。设T是偏序集。 给定T的子集A，我们将集合{t}写成↓ A|t ∈ T <$a∈ A（t ≤ a）}（没有混淆，对于↓ {x}，↓ x），对偶地，对于{ t}，↑ A |t ∈ T <$a∈ A（a ≤ t）}。我们用ub（A）表示A的所有上界的集合，ub（A）中的极小元素称为A的极小上界。称T是完备格，如果T的每个子集A（包括空集）在T中有一个最小上界。称T是有界完备的，如果每个有上界的子集都有一个最小上界。称T的一个非空子集Dd1和d1，存在d3∈D使得d1≤d3和d2≤d3. 一个dcpo是一个偏序集，使得它的每一个有向集都有一个最小上界。 如果一个dcpo有一个最小元素，我们称之为pointed。一个具有最少元素的dcpo T称为点L−整环，如果对每个x∈T，↓x是一个完备格。设x，y∈T，称x逼近y（在符号xy中）当且仅当对于每个有向集D<$T，y≤D意味着存在一个d∈D使得x≤d。设{t∈T}为集合，|不x}。x是紧的，如果xx（我们用κ（T）表示T的所有紧元素的集合）。 T的一个子集β称为T的一个基，如果对每一个x∈T，<$x<$β是一个有向集且x=（<$x<$β）。dcpo称为连续域，如果它有一个基。具体地说，dcpo称为一个代数域，如果它的所有紧致元素都构成一个基。 完备格称为代数格，如果它也是代数整环。本文主要讨论代数整环。有界完备代数域称为Scott域。在两个偏序集T1和T2之间的单调函数f是Scott连续的，如果f保持所有有向集的并，即对T1的所有有向集D，D的存在蕴涵f（D）=f（D）.我们用[T1→T2]表示从T1到T2的Scott连续函数集。函数空间[T1→T2]在点态序下自然形成定义2.1 dcpo T的一个近似恒等式是一个有向集D ∈ [T → T]，满足D = iT，T上的恒等式。定义2.2一个代数域称为双有限域，如果它有一个由有限值域的映射组成的近似恒等式定理2.3（[2]）对于具有最小元的代数域T，下列陈述是等价的：(i) T是代数L-整环。(ii) 对于κ（T）的有限子集A的每一个上界x，存在唯一的小于x的A的最小上界。(iii) 对于κ（T）的一对紧元A的每一个上界x，存在A在x之下的唯一极小上界。所 有 的 点 代 数 Domain 和 它 们 之 间 的 Scott 连 续 函 数 构 成 一 个 范 畴ALGDomain。范畴ALG有两个极大闭范畴82M. Huang等人/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 301（2014）79全子范畴B，其中所有的点代数双有限域都是对象;全子范畴L，其中所有的点代数L−域都是对象。关于域理论和范畴理论的更多背景，读者可以参考[9，17，20]。3形式概念与近似概念的形式上下文是三元组（P o，P a，|其中P o和P a是两个集合，|= ⊆ P o× P a. Po和Pa的元素通常分别称为对象和属性。 FCA研究对象和属性之间的关系。Ga-lois连接[12]是从形式背景中提取概念的基本数学技术。定义3.1设P和Q是有序集。 一对（f，g）映射f：P→Q，g：Q→P是P和Q之间的伽罗瓦联络，如果对所有p∈P和q∈Q，（Gal）f（p）≤q惠p≤g（q）.命题3.2（[3]）假设（f，g）是P和Q之间的伽罗瓦联络。让p∈ P和q ∈ Q。然后（G1）p ≤ g <$f（p）且f <$g（q）≤ q.（G2）f和g都是单调的.（G3）f（p）= f <$g<$f（p）和g（q）= g <$f <$g（q）.相反，一对（f，g）映射f：P→Q和g：Q→P满足（G1）和（G2）对所有p ∈ P和q ∈ Q建立P和Q之间的Galois联络.给定形式上下文P =（Po，Pa，|= P），我们定义了两个算子α P和ω P如下所示• α P：2Po → 2Pa，其中α p（A）={a ∈ Pa|o ∈ A，o |=Pa}• ωP：2Pa→2Po，其中ωP（B）={o∈Po|b∈B，o|=Pb}。我们把组成ωP<$αP：2Po→ 2Po记为ηP。众所周知，（α P，ω P）是（2 Po，ω P）和（2Pa，ω P）之间的Galois联络.本文提出了形式背景（Po，Pa，|=）被定义为一对（A，B）使得α P（A）= B和ω P（B）= A，其中A和B通常分别被称为概念（A，B）的范围和意图。所有概念的集合（P o，P a，|= P）表示为B [（Po，Pa，|= P）]。对于两个任意概念（A1，B1）和（A2，B2），我们写（A1，B1）≤（A2，B2），如果 A1A2.则≤是B [（Po，Pa，|= P）]。很显然，（A1，B1）≤（A2，B2）惠A1<$A2惠B1<$B2.一般地，设P和Q是两个集合，两个任意映射f：P→Q和g：Q→P诱导一个映射H：P×Q→P×Q，定义为H（x，y）=（g（y），f（x））。对于集合{（x，y）∈ P× Q，写出fix（H）|H（x，y）=（x，y）}，并且对于{x ∈ P|对于{ y ∈ Q，（x，y）∈ fix（H）}，固定Q（H| <$x ∈ P，（x，y）∈M. Huang等人/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 301（2014）7983fix（H）}，则有：命题3.3如果fix（H）≠ 0，则f对fixP（H）的限制是一个双射从固定点P（H）到固定点Q（H），其逆映射正好是g到固定Q（H）。为了简洁起见，当谈到形式背景P时，在 本文中，我们总是显式或非显式地定义了相应的集合P o，P a和|= P。命题3.4给定一个形式上下文P，集合{A∈P o|η P（A）= A}在包含下与B [P]序同构.众所周知，B[P]在关系≤下形成完备格。进一步地，如果定义γ：Po→B[P]和μ：Pa→B[P]，γ（o）=（ωP<$αP（{o}），αP（{o}））和μ（a）=（ωP（{a}），αP<$ωP（{a}）），则我们可以得到FCA中的如下中心结果：定理3.5（Wille [4]）设P是形式上下文，L = B [P]是关联完备格. 则映射γ和μ使得γ（Po）在L中是并稠密的，集合μ（Pa）在L中是交稠密的，且|= a等价于γ（o）≤μ（a），对任意o ∈ Pa和a ∈ Pa. 对于另一个方向，设L是完备格，Po和Pa是集合，并假设存在映射γ：Po→ L和μ：Pa→ L，使得γ（Po）在L中并稠密，μ（Pa）在L中交稠密. 定义为|= a惠γ（o）≤ μ（a）。则L与B（Po，Pa，|=）。特别地，任何完备格L都与概念格B [（L，L，≤）]序同构。Zhang和Shen [10]引入了可逼近概念的概念来表示代数格。对于形式背景P，Po的子集A称为可逼近概念当且仅当对A的所有有限子集X，ηP（X）<$A。设A[P]表示形式背景P的所有可逼近概念的集合。所有的可近似概念都具有以下性质：• 可逼近概念的有向并也是可逼近概念。• 给定任何对象集合A，包含A的最小可逼近概念由η P（A）={η P（X）|X=finA}。• ηP是归纳闭包算子，即，它保留了定向工会。从这一点可以立即得出，可近似概念的集合（即，ηP的不动点）形成一个代数格，其中紧元素是有限集合的闭包。定理3.6（Zhang和Shen [10]）对任何形式背景P，A [P]是一个代数格.反之，每个代数格L与A [（L，κ（L），≤）]序同构，其中同构由A∈ A [（L，κ（L），≤）]的A → sup A给出。可逼近概念与概念之间有很强的联系，事实上，一个概念的范围也是一个可逼近概念，但反过来可能是84M. Huang等人/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 301（2014）79错误。从定义上看，一个人立刻就有了，引理3.7设P是一个形式上下文。然后又道：(i) 对任意X <$2Po，（η P（X），α P（X））∈ B[P].(ii) 对于每个（A，B）∈ B [P]，A是一个可逼近的概念.上述事实导致两个函数f：B[P]→ A[P]将任意（A，B）∈B[P]发送到A，以及f：A[P]→B[P]，其中f（A）=（ηP（A），αP（A））对所有A∈ A[P]。定理3.8设P是一个形式上下文。则映射对（f，f）是A [P]和B [P]之间的Galois连接。Hitzler和Zhang [13]从范畴论的观点出发，引入了两个形式背景之间的某种态射设Fin（A）表示集合A的所有有限子集的集合。定义3.9[13]给定两个形式上下文P和Q，一个形式上下文或从P到Q的映射M是一个关系M<$Fin（Po）×Fin（Qo），使得对所有X，XJ∈Fin（Po）和Y，YJ∈Fin（Qo）满足以下条件：（cm 1）M.(cm2)XMY和XMYJ意味着XM（Y<$YJ）。(cm3)ηP（X）<$XJ和XJMYJ以及ηQ（YJ）<$Y隐含XMY。所有形式背景和它们之间的形式背景态射构成范畴Cxt，其中两个形式背景态射的合成是它们作为关系的通常合成，文[13]证明了所得到的范畴Cxt等价于代数格和Scott-连续态射的范畴对于形式背景P，由Po的有限子集组成的集合FP称为相容的，如果对于每个F∈FP和每个有限集合A<$ηP（F），存在FJ∈FP使得A<$Fj<$ηP（F）。一个条件形式背景（Po，Pa，|=，FP）是形式上下文（P o，P a，|=）赋予一致集合FP。针对所述条件形式语境（P o，P a，|=，FP），集合X<$P o称为有限相容的，如果对于X的每个有限子集Y，存在一个F∈FP使得Y<$F<$X。我们写W [（P o，P a，[1]，[2]，[3]，[4]，[5]，[6]，[7]，[8]，[9]，[10]，[10]，[11]，[10]，[10]，[11]，[10]，[11]，[10]，[11]，[10]，[11]，[12]，[10]，[11]，[11]，[12]，[11]，[12]，[13]，[12]，[13]，[12]，[13]，[14]，[13]，[14]，[15]，[15]，[16]，[17]，[10]，[15]，[16]，[17]，[18]，[19]，[19]，[10]，[10]，[19]，[10]，[10]=，F P）。||从现在开始，当P指的是一个条件形式背景（简称为cfc）时，我们的意思是所有集合P o，P a，|= P和对应于P的 FP 。定义3.10设P为CFC。Po的子集X称为F-可逼近概念，如果X满足以下陈述：(i) X是完全一致的(ii) 对每个F∈FP，F<$X蕴涵ηP（F）<$X.P的所有F-可逼近概念的集合记为F[P]。例3.11让形式上下文P定义如下。集合{{A，B}，{C，D}，{B，C，D}}是一致的集合。注意，{A，B，C，D}不M. Huang等人/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 301（2014）7985是一个86M. Huang等人/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 301（2014）79↓∩{↑|∈ }F-可近似概念，因为它不是有限相容的，而是一个可近似概念。一BCDABCD·········命题3.12设P为CFC。然后又道：(1) 每个F-可逼近概念都是可逼近概念。(2) F或每个有向集{Di∈F[P]|i∈I}，i∈IDi=i∈IDi.(3) F [P]是具有基{η P（F）|F ∈FP}。推论3.13嵌入i：F[P]→ A[P]，它将X发送到X，对于每个X∈ F [P]是Scott连续的。现在我们考虑另一个方向。对于任意代数整环L，它不仅自然地生成形式上下文P[L] =（κ（L），L，≤），而且还导出由下式定义的集合FLFL={F∈ Fin（κ（L））|<$a ∈ F <$b∈ F（b ≤ a）}。关于形式背景P[L]，通过直接计算，存在：(i) 对所有的X κ（L），αP [L]（X）=aaX.(ii) 对于所有X<$κ（L），ηP[L]（X）={↓ b <$κ（L）|b ∈{↑a|a ∈ X}}。引理3.14（κ（L），L，≤，FL）是一个cfc。定理3.15对任意的cfc P，F [P]是一个代数整环.反之，每个代数整环L与F [（κ（L），L，≤，FL）]序同构，其中对任意A ∈ F [（κ（L），L，≤，FL）]，序同构为A → sup A。证据前一个断言就是命题3.12（3），我们只需要证明后一个。设A∈ F[（κ（L），L，≤，FL）]. 然后是{F i|i∈I}<$FL和{F i|i∈I}=A，其中{F i|i∈I}在包含下是有向的。给定一对x，y∈A，我们能够定位ix，y，iz∈I使得x∈Fix和y∈Fiy且Fi x<$Fiy <$Fiz。通过F L的定义，我们还发现了一个tiz∈F iz，使得x≤t iz，y≤t iz.因此，A是L的有向子集，并且在L中有一个最小上界A。我们首先要求A=（A）κ（L）。证明了（↓A）<$κ（L）={ηP[L]（Fi）|i∈I}。 事实上，对任意i∈I，存 在 ai∈Fi ， 且 对 任 意 b ∈ Fi ， b≤ai ， 故 ηP[L] （ Fi ） =<$ai <$κ （ L ）<$（<$A）<$κ（L）.设a∈（↓A）<$κ（L）.则a≤A意味着M. Huang等人/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 301（2014）7987a≤{F i|i∈I}={a i|i∈I}，则存在i0∈I使得a≤ai0，这是a的紧性的结果.即a∈ηP[L]（Fi0）.我们完成了索赔。由于对任意A ∈ F [（κ（L），L，≤，FL）]，A =（↓ A）<$κ（L），A∈ {↓ t <$κ（L）|t ∈L}。反之，对任意t∈L，证明了：<$t<$κ（L）是关于（κ（L），L，≤，FL）的F-可逼近概念对于<$t<$K（L）的每个有限子集F，存在aF∈<$t <$K（L）使得对于所有b∈F，b≤aF，因为<$t<$K（L）是有向的。这意味着F<${aF}∈FL和F<$F<${aF}<$t<$κ（L）。因此，↓t<$κ （ L ） 是 完 全 一 致 的 。 注 意 ， ηP[L] （ F<${aF} ） =ηP[L] （ {aF} ）=↓aF<$κ（L）<$↓t<$κ（L）。 到目前为止，F [（κ（L），L，≤，FL）]={↓ t <$κ（L）|t ∈ L}。因此，序同构的断言很容易从标准整环理论推导出来。Q在本节中，我们采用函数符号αP和βP代替符号（）但读者可以在仔细检查我们所有的术语后找到FCA4条件形式背景之间的态射为了研究形式语境的范畴方面，有必要定义形式语境之间的某种态射。定义4.1给定两个形式背景P和Q，条件形式背景来自P和Q的态射（简称cfcm）R是关系R<$FP×Qo，使得对所有X，XJ∈FP，Y∈Fin（Qo）和a∈Qo，下列条件成立：（c1）XRY<$FJ∈FQ（XRFj<$Y），（c2） ηP（X）<$XJ<$XJRY<$a∈ηQ（Y）<$XRa，其中XRY表示对于每个b∈Y的XRb。设R1是从P到Q的cfcm，R2是从Q到S的cfcm. 定义关系R2<$R1<$FP×So，<$X ∈ FP<$s ∈ SO（X（R2<$R1）s）惠<$XJ∈ FQ（XR1XJ<$XJR2s）.引理4.2关系R2<$R1是从P到S的cfcm.引理4.3所有作为对象的cfcs和它们之间的所有cfcs形成一个名为Cct.引理4.4设M是[13]意义下的从P到Q的形式上下文态射。则对所有的X∈Fin（Po）和Y∈Fin（Qo），XMY惠|y∈Y（XM {y}）.设Acct表示Cct的全子范畴，其中所有对象都是（（P o，P a，|= P）、Fin（Po））。 定义两个范畴函数R：Acct→Cxt和M：Cxt→账户如下：• R作用于对象：R [（P o，P a，|=P），Fin（Po））]=（Po，Pa，|=P）。R作用于态射：设R是从P到Q的cfcm。 对所有的X∈Fin（Po）和Y∈Fin（QO），有XR[R]Y惠y∈Y（XRy）.88M. Huang等人/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 301（2014）79• M作用于对象：M [（P o，P a，|=P）]=（（P o，P a，|=P），Fin（Po））。M作用于态射：设M是从P到Q的形式上下文态射。对任意的X∈Fin（Po）和a∈QO，有XM[M]a惠XM{a}.引理4.5 R和M都是函子。给定一个任意的cfc P，对所有的A∈W[P]，{η P（X）|X∈FP，X<$A}是W[P]的有向子集，所以，{η P（X）|X∈FP，X<$A}∈W[P]. 这使得我们能够引入一个函数ηP：W [P]→ W[P]，使得对于所有A∈W[P]，ηP（A）={η P（X）|X∈FP，X<$A}. ηP是幂等的Scott连续函数，并且对任意的X ∈ FP，ηP（X）= η P（X）.命题4.6设P和Q是两个cfc，设fixη（P，Q）表示集合{g∈[W [P] → W [Q]] |ηQ<$g<$ηP=g}。然后又道：(1) 对于从W [P]到W [Q]的每个Scott连续函数f。 的关系定义为XC（f）q惠q ∈ ηQ <$f <$ηP（X）是从P到Q的cfcm。(2) C对固定η（P，Q）的限制是从固定η（P，Q）到hom（P，Q）的双射其中hom（P，Q）表示从P到Q的所有cfcm的集合。引理4.7LetR：P→Qbeac fcm. F[R] ：F[P]→F[Q] ：x→{b|<$X∈FP（X<$x<$（XRb））}是一个Scott连续函数.引理4.8F是从Cct到Alg的忠实的完全函子。定理4.9 Cct Δ lg.证据这是定理3.15引理4.8和[17]第4章定理1（3）。5笛卡尔闭范畴领域理论起源于编程语言语义学。在这种情况下，只有ALG的笛卡尔闭全子范畴是有意义的，因为任何高级算法语言都允许函数空间作为数据类型，因此，我们在本节中研究点双有限域，点L−域引理5.1设P为cfc。[001 pdf 1st-31 files]那么F [P]有底部，当且仅当（PT）<$∈ FP<$$>X0∈ FP<$X ∈ FP（X0<$η P（X））.引理5.2设P为cfc。x∈ W[P]是F-可逼近概念当且仅当ηP（x）= x。定义5.3设P是一个cfc，F∈Fin（Po）.Z∈FP且F<$Z称为F的局部最小上界，如果对所有V，Y∈FP，F<$Y和Z<$Y <$ηP（V）蕴涵Z<$ηP（Y）.我们用sup（F）表示F的所有局部最小上界的集合。显然，对于每个F∈FP，F∈sup（F）从上面的定义。考虑下一个条件：M. Huang等人/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 301（2014）7989JJ2PZ≤Y，因此Z∈ηP（L）（Y）。 我们证明了Z∈sup（F）.（L）：<$X∈FP<$F∈Fin（Po）（F<$ηP（X）<$$>Z∈sup（F）（Z<$ηP（X）.命题5.4对于每个点L−整环，P[L]=（（κ（L），L，≤），FL）满足（L）。证据 设F∈Fin（κ（L）），X∈FL，使得F∈ηP（L）（X）.然后F↓X ↓ κ（L）. 根据F L的定义，存在a X∈ X使得对所有a∈X，a ≤ a X。因为L是L−整环，所以定理2.3证明了在↓ a X中存在唯一的F的极小上界z。但由命题1.9 [ 2 ]得到z∈κ（L），设Z = F<${z}.则Z∈FL，且Z<$ηP（L）（X）.现在设Y ∈ FL且Y <$F。 如果Y <$Z<$ηP（L）（V），对某个V ∈ FL. 注意Y和z是F在↓ V中的上界。 从z的选择，我们有我们已经做了。Q命题5.5设P是满足（L）的CFC。 则对于每个x ∈ F [P]，是完全接合的证据设x∈ F[P]，x1，x2<$x.我们只需要证明x1和x2在↓x中有一个最小上界。将z ={a |<$F ∈ Fin（x1<$x2）<$X ∈ FP<$Z ∈ sup（F）（X <$x<$Z <$η P（X）<$a ∈ηP（Z））}。权利要求1. z∈ W[P]给 定 任 意 的 F∈Fin （ z ） 。 则 对 每 个 t∈F ， 有 Xt<$x 和 Ft <$Fin（x1<$x2）和Zt∈sup（Ft）使得Zt <$η P（Xt）和t∈η P（Zt）. 把F={Ft|t∈F}和X ={X t|t∈F}。我们有X F∈FP，其中XJ<$X F<$x，因此FJ<$η P（X F）。对于（L），存在ZF′∈sup（FJ）使得ZF ′ <$η P（XF）.因为对于每一个t ∈ F，F t<$F J<$Z F′和Z t<$Z F′ <$η P（X F），Z t<$η P（Z F′）由Z t的定义。因此，F <$η P（Z F′），因此有Y∈FP使得F<$G<$ηP（ZF′）.注意，对于每个g∈G，g∈ηP（ZF′），ZF′<$ηP（XF）和XF<$x和FJ<$x1<$x2。 Gz由z的定义。权利要求2. z∈ F[P]（权利要求1）F<$ηP（ZF′）意味着ηP（F）<$ηP（ZF′）=ηP（ZF′），即，对任意a∈ηP（F），a∈ η P（ZF′）因此，ηP（F）<$z。权利要求3.z是↓x中x1和x2的最小上界。我们首先证明xi∈z，其中i=1， 2。设a∈xi.则存在Y∈FP且Y<$xi使得a∈ηP（Y）.Y<$xi<$x表示存在YJ∈FP且YJ <$x，其中Y<$ηP（YJ）。注意，Y∈sup（Y）。因此a∈z，因为Y<$xi<$x1<$x2。设y∈FP使得x1，x2<$y<$x且a∈z. 然后是Xx并且F<$Fin（x1<$x2）和Z∈sup（F）使得Z<$η P（X）和a∈η P（Z）.F<$Fin（x1<$x2）意味着存在V使得F<$V∈FP且V<$y<$x。同样我们有另一个XJ∈ FP使得X <$V<$XJ<$x。 因此X <$V<$η P（XJ）。Z<$η P （X ）推出Z <$η P（X<$V）<$η2（XJ）= η P（XJ）。 因此Z <$V<$η P（XJ）。我 们 有一个∈ ηP（V）y由Z的定义。 我们已经得到了Z。Q90M. Huang等人/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 301（2014）79让M. Huang等人/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 301（2014）7991• Cctb：含（PT）和（B）的CFC• Cctl：CFC与（PT）和（L）。定理5.6（1）Cctb∈B;（2）Cctl∈ L.证据我们在文[17]中反复使用了第4章的定理1（3）。则：（1）它是定理3.15、引理4.8和命题？？. (2)由定理3.15、引理4.8、命题5.4和5.5可以清楚地看出。6结论这项工作涉及两个独立的领域FCA和代数域。一个基本的思想是沿着一条称为一致集的道路近似目标，这样我们就可以从完备格的层次结构中得出结果。以域为单位的数据聚类不仅是一种数据组织方式，也是一种近似过程。在这项工作中，范畴等价的所有结果都被限制在代数域中，但我们期待着关于连续dcpo的结果。引用[1] A. 埃达拉特河赫克曼度量空间的计算模型理论计算机科学，1998，193（1-2）：53-73.[2] A. 郑Domain的笛卡尔闭范畴达姆施塔特技术学院博士论文，1988年。[3] B. A.戴维，H. A.普里斯特利《格与序导论》（第二版），剑桥大学出版社，2002年。[4] B.甘特河威尔形式概念分析-数学基础，施普林格，柏林，1999年。[5] D. Scott.计算的数学理论概要。第四届普林斯顿信息科学与系统年会。169-176，1970年。[6] D. Scott. 指称语义学领域自动机，语言和编程，M。尼尔森等人（编），计算机科学讲义，1982，140：109-129.[7] D.斯普林湖Xu，X.毛信息系统再访：一般连续案例。理论计算机科学，2008，405：176-187.[8] D. Spreen. 将L-域表示为信息系统。www.uni-siegen.dewww.example.com/fb6/tcs/team/spreen/public.[9] G. Gierz，K.H. 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