赋准范线性空间中的有界线性算子的连续性和拟范数线性空间

Journal of the Egyptian Mathematical Society（2015）23，303埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems审查文件赋准范线性空间qGobardhan Ranoa，*，Tarapada Bagba印度纳迪亚克里希纳格尔政府学院数学系，邮编：741101b印度西孟加拉邦Visva-Bharati大学数学系接收日期：2013年5月27日;修订日期：2013年11月20日;接受日期：2014年2014年7月18日在线发布本文定义了赋准范线性空间中线性算子的连续性和有界性。给出了有界线性算子的拟范数线性空间。提出了对偶空间的概念2010年数学学科分类：46E15; 54E35; 46S60; 54H25？2014制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表内容0.导言. 3031.初步结果3042.拟赋范线性空间中的有界线性算子3043.有界线性算子空间3054.未决问题-问题307致谢307参考文献307*通讯作者。联系电话：+91 9475418222。电子邮件地址：gobardhanr@gmail.com （G.Rano），gmail.com（T.袋）。q目前的工作得到了印度新德里教资会特别援助计划（SAP）的部分支持[批准号F。510/4/ DRS/2009（SAP-I）]同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：Elsevier0. 介绍众所周知，度量和范数结构在泛函分析中起着至关重要的作用。因此，为了发展泛函分析，必须注意这些结构的适当推广。从历史上看，度量结构的推广问题首先出现。不同的作者介绍了拟度量空间[1，2]、广义度量空间[3，4]、广义拟度量空间[5]、错位度量空间[6]、模糊度量空间[71110- 256 X？ 2014制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2014.06.003关键词拟范数;赋准范线性空间;有界线性算子;拟线性空间304G. Rano，T. 袋j·jj·jj·jj·j！ ½1ÞJjjjjj2 2⊂FGjj 8 2FGfg ¼ 2j·jj·j（十）j·j.X（十）12X..度量空间[11]、拟赋范线性空间[12]、模糊赋范线性空间[13]、模糊Banach空间[14]等。许多作者[15-Rano在[2]中引入了Cauchy序列、收敛序列、开集、闭集等概念。在一个准met-空间中的一些基本定理，如Cantor注1.3[12]。每个赋范线性空间都是准赋范线性空间，但不是相反，这可以通过下面的例子来证明例如 1.1[12]第10段。 让 X¼R2被 一 线性空间 为x1;x1;x 2; x2; x 2;X1; x 2交定理和Baire拟度量空间 我们给出收缩jxj 1/4。pjxjpjxj2：映射，并建立了一些具有唯一性的不动点定理。文[13]建立了有限维拟赋范线性空间的一些结果，引入了等价拟范数的概念，证明了Riesz引理。本文在赋拟范线性空间中定义了线性算子的连续性和有界性。给出了有界线性算子的拟范数线性空间。提出了对偶空间的概念本文件的结构如下：在第一部分，包括一些初步的结果。在第二节中，我们引入了赋拟范线性空间中线性算子的连续性和有界性的概念。第三节给出了有界线性算子空间和对偶空间。在第4节中，我们给出了一些有趣的开放问题。在本文中，直接的证明被省略了。1. 一些初步结果定义1.1[12]。设X是域F上的线性空间，h是X的原点。设q：X0;满足以下条件：（QN-1） jxjq<$0当且仅当x<$h;（QN-2）exqe xq，对于x X和eF;（QN-3）存在KP1，使得jxyjq6Kfjxjqjyjqg对于x;y2X：则X;q 称为拟赋范线性空间（qnls），常数K P 1的最小值称为拟范数j·j则X;q是拟赋范线性空间但不是赋范线性空间。定义1.2[12]。 设X;q是一个拟赋范线性空间。(i) 一个序列fxng1n <$1<$X被称为(a)收敛到x 2X，用limn表示！1x n¼x iflimn！1jx n-xjq<$^0;(b)是柯西序列如果limm;n！1jx n-x mjq1/40。(ii) 称子集BX是完备的，如果B中的每个柯西序列都收敛于B。(iii) X的子集A称为有界的，如果存在实数M> 0使得xq6 M xA。(iv) 称X的子集A是闭的，如果对于任何序列Xn A的所有点都有limn！1x nx意味着xA。(v) 称X的子集A是紧的，如果对于任何序列xn有一个收敛于A中一点的收敛子序列。命题 1.1[12]第10段。 让X;q是一个拟赋范线性空间。然后(a) 数列的极限 Xn 在X中，如果存在，则是唯一的;(b) 收敛序列的每个子序列收敛于同一极限;(c) X中的所有收敛序列都是柯西序列。引理1.1[12]. 设fx1; x2; x3;. ; x ng是线性独立的，Q拟赋范线性空间X;q称为强拟赋范线性空间（sqnls），如果它满足以下附加条件：（QN-4）存在KP1，使得nXi6 Kjx ijq8x i2 X;8n2 N：拟赋范线性空间<$X; j·jq<$中向量的凹点集。然后9C> 0使得对于标量k1;k2;. . ;kn我们有jk1x1k2x2···knxnjqPCjk1j jk2j···jknj：定义1.3 [12]。设X; j·jq是一个赋拟范线性空间. 如果X是有限维线性空间，则X;q称为有限维拟赋范线性空间。. 1/1 .qi¼1注1.1 [12]。 在拟赋范线性空间<$X; j·jq<$，2. 赋准范线性空间中的有界线性算子准指数K，在本节中，我们定义连续和有界线性算子，n. 1/1Xi.6Kn-1ni¼1（jxijq）8xi2X; 8n2N：准赋范线性空间中的算子，并研究了该空间中的一些性质。定义2.1. 设和是两个 拟注1.2[12]。如果K<1，则拟范数j·jq降为：X上的范数，且是X上的范数;j· jq是赋范线性空间。赋范线性空间和T：X1！X2是一个操作员. 则T称在x2X1处连续，如果对任意序列fxng，QQn有界线性算子305你好！1）n你好！1你好！1！ð Þ¼j·j.X..X..9X...M你好！1Cnq1赋范线性空间，T：X1X2是线性算子. 然后T有界当且仅当T连续。. 1/16Kn-1kixi.年q1年qQ2年q1Q2.. . -是的8x0n2X1 与xn！X即 与limn！1jxn-xjq1¼0 意味Txn！你好. x0;年q11n;即 limn！1jTxn-Txjq2¼0. 如果T是连续的，）limjx0njq1/40;点X1，则称T在X1上连续。定义2.2.设X1和X2是任意两个线性空间，T：X1！ X2是一个操作员. 则称T是线性算子，如果对任意k1;k22F和对任意x1;x22X1Tk1x1k2x2k1Tx1k2Tx2：提案2.1. 设和是两个拟赋范线性空间，T：X1！X2是线性算子. 如果limx0h：你好！1由于T是连续的，因此可以得出：）limjTx0njq2¼0：但是Tx0nq2>1n，这是一个矛盾。故T是有界的。 H定理2.2. 设<$X1;j· jq<$和<$X2;j·jq<$是两个拟12T在点x2x1处连续，则T在每个-在X1上。定义2.3.设和是两个拟赋范线性空间，T：X1！X2是一个操作员.则称T是有界的，如果9M>0，使得赋范线性空间和T：X1！ X2是线性算子. 如果X1是有限维的，那么T是有界的（所以连续）。证据 设dim X1 1/4n和fx1;x2;x3;. xng是X1的基。Xn设x¼kixi2X1，则1/1实施例2.1. 设X;q是拟赋范线性空间，T：X X是由T x2x定义的算子。则T是有界线性算子。jTxjq2¼. 不n1/1kixi.Q2n. 1/1kiTxi：Q2定理2.1. 设和是两个拟！.Xn根据注释1.1，.XnkiT xiQ21/1：jki jjTxijq2证据设T是有界线性算子.则M>0，使得设M<$Kn-1MaxfjTx1jn;jTx2jq2;......的人。;jTx njq2g，则26M j x j q18x 2X1：jTðxÞjq26Mjkij:ð2:1Þ1/1通过引理1.1，9C>0，使得设fxng是X1中任意序列，且xn为零.x：即 lim n！1jxn-xjq1 ¼0：. Xn.Xnjx jq1 ¼1/11/1jkij：12：20现在jT xn-Tx jq2 ¼ jT xn-xjq26Mjxn-xjq1从（2.1）和（2.2），我们有jTxjq2 6Cjxjq1：由于引理1.1对任意标量k;k;. . ;k）limjTxn-Txjq20）fTxng！时间：我们有jTx jq26Mjxj8x2X1：12N所以T是连续的。相反，假设T是连续线性算子。我们必须证明T是有界的。如果可能，设T不是有界线性算子.则存在序列fxng，x1，这样jT xn jq2>n jxn jq1：所以，T是有界的（连续的）。 H3. 有界线性算子设和是两个赋准范线性空间.我们用L<$X1;X2<$表示从<$X1;j·j <$ 到 <$X2; j·j<$ 的 所 有 线 性 算 子 的 集 合 。 则L<$X1;X2<$X是线性空间。显然对任何n都有xn-h让Xn/njxj：我们将证明，所有有界线性算子的集合，也是线性空间。定理3.1. 设<$X1; j·j <$和<$X2; j·j <$是两个拟然后赋范线性空间 我们用B<$X1;X2<$表示所有¼6Mjxjq1jTxjq8x2X1：PC！Q2年q306G. Rano，T. 袋_J J你好 ！ ðj·j Þ¼ð Þ你好！111你好！1你好！11年q12Q你好！1你好！112Qð ð Þ j·j Þ你好！1现在从到的有界线性算子。则B也是线性空间。jTjq<$fjTxjq2 ：jxjq1 61g：x2X1证据 设T;T 2B<$X;X<$，对于x2X，则<$B<$X1;X2<$;j· jq<$是一个拟赋范线性空间，1 2 1 2 1T1在两种情况下，准范数是相同的。再次j Tx j q2 6 j T j q j x j q18x 2X1：从T1和t2是有界的，9M>0;N> 0，8x 2X1引理3.1. 设X;j· jq是一个拟赋范线性空间，fxn g是X中的序列，使得jT1x jq26M jx jq1limxn¼x i： e： limjxn-xj¼0：你好！1Q你好！1和jT2xjq26Njxjq1。现在，jk1T1k2T2xjq2jk1T1xk2T2xjq2jT16KfjT1k1xjq2jT2k2xjq2g：那么jxjqjlimn！1xnjq6Klimn！1jxnjq.证据 通过（QN-3），jx jq6K fjx-xnjq jxn jq g;）jxjq6limKfjx-xnjqjxnjqg <$^K limjxnjq;因此，jk1T1k2T2xjq6MKjk1xjqNKjk2xjq你好！1）jxjq 1/4 jlimxnjq6Klimjxnjq：Q你好！1¼KMjk1jNjk2jjxjq1;）jk1T1k2T2xjq26Pjxjq1其中，P^KMjk1jMjk2j：因此，k1T1k2T22BX1;X2。 H定理3.2. 设λX; j·j λ和λX; j·j λ是两个拟定理3.3. 设<$X; j·j <$是拟赋范线性空间，<$X2; j·jq2<$是完备拟赋范线性空间.则<$B<$X1;X2<$; j·jq<$是完备的拟赋范线性空间。证据 根据定理3.2，B X;X;是一个拟赋范线性空间。接下来，我们将证明它是完整的。现在我们考虑任意柯西序列fTng，证明了fTng收敛于算子1q12q2在[X]B中，X1;X2<$; j·jq<$。由于fT ng是柯西序列赋范线性空间对于T2 B<$ X1; X2<$，我们定义limjTn-Tmjq< $^0：jTjq1/4x10jTxjq2：jxjq1n！1所以对应于任何s>0都存在一个正整数这样，则<$B<$X1;X2<$;j· jq<$是拟赋范线性空间。jTn -Tmjq是完备的，fTn <$x<$gx-2收敛，比如说，limn！1中文（简体）2y. 显然，极限y2X21/4x106 _jT1xT2xjq2jxjq1KjT1xjq2jT2xjq2取决于x2X1的选择。这就定义了一个运算符T：X1;q1X2;q2 ，其中y T x.我们将证明算子T是线性的设a;b2F，x-6 _x-jT1x jjxjq1jxjq1_þjT 2jxjq1TaxbzlimTnaxbzlimTnaxTnbz：因此，jT1<$T2jq6KfjT1jq<$jT2jqg。因此<$B<$X;X<$; j·j <$是一个拟赋范线性空间。 H注3.1. 在定理3.2中，我们还可以定义limjTnaxTnbz-aTxbTzjq26limKfjajjTnx-Txjq2jbjjTnz-Tzjq2g¼0：因此Tax bzaTx bTz。接下来，我们必须证明T是有界的，并且limn！1吨/吨211KQ2x-K问题二：有界线性算子307m！1m！1年q28ð Þ）¼你好！1ð Þ¼·¼þp.我们称之为所有有界直线的集合。Q212jx2j1212¼j·j.- 是的Σ从（2.1）我们有jTnx-Txjq2<$jTnx-limTmxjq26KlimjTnx-Tmxjq2;1/2通过引理3：1]6KlimjTn-Tmjqjxjq注3.2. 在实施例3.1中，X;q 是一个准赋范线性空间，但不是一个赋范线性空间（见[12]）。因此，存在这样一类函数，它们是拟范数但不是范数。定理3.4. 设X; j·jq是一个赋拟范线性空间. 然后m！11X;j· jq对偶空间B<$X;j· jq是完备赋范线性，6Ks j xjq18 nP N; 8 x2 X1：由于TNε ε是有界的，存在MNε ε>0，使得j T Nx j q26M N j x j q18x2X1：因此jTx jq2 ¼ jTx-TN sxTN sx jq2耳朵空间证据 证明由定理3.3得出。H4. 未决问题-问题6KjTxTN拉克什第二次世界大战þKjTNðsÞ 第二次世界大战8x2X1（Q1）一个问题自然会出现，将是什么形式的基本定理的功能分析在这方面< K2sjxjKM N年q18x2X1设置？1/4KsKMNjxjq1所以T是有界的。现在8x2X1：（Q2）这个空间是不可逆的吗？(Q3)与此空间关联的拓扑类型是什么？(Q4)它在多大程度上推广了赋范线性空间？(Q5)这个函数的模糊版本是什么？什么将是拟模糊赋范线性空间的形式，这场比赛？jTn -Tjq1/4x10jTnx-Txjq26snPNsjxjq1）limjTn-Tjq 0limTn T：Q你好！1定义3.1. 设<$X1; j·jq<$和<$X2; j·jq<$是两个 拟确认作者感谢审稿人在按目前形式重写论文时提出的宝贵建议。作者也感谢总编辑和管理1 2杂志编辑感谢他们的友好合作，赋范线性空间对于T2B<$X1;X2<$，我们定义文件不能以这种形式提出jTjq1/4x10jTxjq2：jxjq1引用则<$B<$X1;X2<$;j· jq<$是拟赋范线性空间。的空间<$B<$X1;X2<$;j· jq<$$>称为<$X1;j· jq<$的[1] L.基基纳湾张文，等.完备拟度量空间上的一个映射的不动点定理.北京：清华大学出版社，1998如果XR和j·j联系我们1Tome 55（78），No. 1（2013）51-61。[2]G. Rano，T.包，拟度量空间和不动点定理，耳泛函定义在B<$X;j· jq <$X;j· jq<$X上，X的对偶空间;j· jq<$。实施例3.1. 设X^R2是线性空间。为x1;x1;x 2; x2; x 2;X1; x 2国际应用数学计算杂志Sci. 3（2）（2013）27-31。[3] P. Das，L.K. Dey，广义度量空间中的一个不动点定理，Soochow J。数学 33（2007）33-39。[4] L.基基纳湾Kikina，两个广义度量空间上的不动点，Int. J. 数学Anal. 5（30）（2011）1459-1467。[5] L. 基基纳湾基基纳湾Gjino，A new fixed theorem onjxj1/4。pjxjpjxj2：广义拟度量空间Anal. 2012年（2012年）1-9.文章ID：457846。[6] C.T. Aage，J.N. 不动点定理的一些结果则X; j·jq∈ X; j是一个赋拟范线性空间。 令f：X！ X是定义为f x x a x1a1x2a2的运算符。那么T是a有界线性泛函证明错位准度量空间，Bull. Marathwada Math.Soc.9（2）（2008）1-5.[7] T. Bandyopadhyay，S.K.张文，模糊度量空间的一个不动点定理，北京大学学报，2001，（4）：247-252。[8] O. Kaleva，S.Seikkala，关于模糊度量空间，模糊集系统。12（1984）215jfxjjx1a1x2a2j jx1jja1jjx2jja2j现在jxj1/4。pp26jxj jxj2pjxjxj[9] P.V. Subrahmanyam，模糊数学度量空间，Inform。Sci. 83（3& 4）（1995）109-112。[10]I. Kramosil，J. 模糊度量与统计度量jx1jja1jjx1jx2jx2jx1jjx2jjx1jjx2jj2 jx1jjx2j6 j a 1 jj a 2 j）j f x j 6 j a 1 jj a 2 jj x j q 8x 2 X：Q2QQjx1 j308G. Rano，T. 袋spaces，Kybernetica（1975）326-334.[11] B. 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