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GFrames:一种基于仿射的三维形状匹配
4321GFrames:一种基于仿射的三维形状匹配维罗纳大学Simone. univr.itMichael M.布朗斯坦帝国理工学院/USIm.bronstein@imperial.ac.uk博洛尼亚大学riccardo. unibo.it博洛尼亚大学luigi. unibo.itFederico TombariTU慕尼黑tombari@in.tum.deEmanuele Rodola'Sapienza罗马rodola@di.uniroma1.it摘要我们介绍GFrames,一种新的局部参考框架(LRF)的三维网格和点云的建设。GFrames基于定义在输入形状顶部的标量场的固有梯度的计算所得到的切向量场定义了局部帧在每个点处的可重复的切方向;重要的是,它直接继承了底层标量函数的属性和不变性类,使其在强采样伪影、顶点噪声以及非刚性变形下具有显著的鲁棒性现有的局部描述符可以直接受益于我们的可重复帧,因为我们在一系列3D视觉和形状分析应用中展示了这些应用,我们在各种具有挑战性的设置中展示了最先进的性能1. 介绍计算3D形状(特别是网格和点云)之间的对应关系是计算机图形和视觉中的关键任务,最近由于诸如Microsoft Kinect或Intel RealSense的现成深度传感器和大规模3D数据集的可用性而变得越来越相关。3D形状匹配是诸如机器人抓取和操纵、用于增强现实的场景理解、用于无人驾驶汽车的避障和路径规划等应用的基础。有效的流水线解决这个任务依赖于一个紧凑的表示所涉及的对象的局部几何形状的定义。这样的点描述符被期望是紧凑的、局部的和独特的。虽然点描述符传统上是手工制作的,但最近的提议试图通过利用深度学习的最新进展来学习它们[7,20,3,24]。在大多数描述符的核心通常在于欺骗-图1. LRF可重复性的比较,测量为狗形状的两个非刚性姿势上的平均余弦误差。我们与事实上的标准SHOT进行比较[34]。左图:热图对局部帧对齐进行编码,从红色(严重未对齐)增长到白色(完全对齐的LRF)。右:计算的LRF;我们仅出于可视化目的示出x轴。局部参考系(LRF)的结构,每个点处的笛卡尔坐标的局部系统,关于该点周围的局部几何结构被编码。描述符的有效性直接取决于其底层LRF的可靠性;而后者的质量又取决于其对数据中可观察到的变换的不变性。大多数LRF利用局部邻域的一些几何度量性质,诸如邻域的3D坐标的协方差矩阵在本文中,我们提出了GFrames,一种新的LRF,证明是强大的严重采样文物,顶点噪声和对象变形。我们的方法的关键是定义的切线分量的内在梯度4629枪10我们4630在3D对象上定义的标量函数。函数的选择直接决定了所得LRF的不变性类;通过这样做,我们关键地将直接处理对象几何的关键困难转移到实值函数的向量空间的更简单的操作上。内在结构进一步使我们的LRF成为更具挑战性的非刚性设置的自然选择(见图1)。GFrames可以按原样使用,以改进现有的描述符,并在需要可重复帧的应用程序中提供可靠的选择。我们的主要贡献可概括如下:• 我们介绍了一种新的,理论上的原则LRF的三维形状,是非常强大的采样,并可以证明不变的非刚性近等距变换;• 我们提供了简单的算法,其强大的计算三角形网格以及点云,并证明其有效性的数据集解决变形匹配的网格以及刚性点云注册;• 我们展示了我们在几个经典的3D视觉应用中的构建,在具有挑战性的环境中,在合成和真实世界的数据上,我们实现了与最先进的性能相比的差距。我们做了一个特别的努力,在计算机图形学和视觉中使用的基准比较,其中包括任务,如变形匹配的完整的网格(常见的在前社区)和注册的parttial点云(从后社区),demonstrat- ing在这两种情况下,我们的方法的有效性。有了这个,我们的目标是弥合两个世界之间的差距,并提出一种可以广泛使用的方法。2. 与LRF有关的工作鲁棒且可重复的LRF是大多数“手工制作”3D局部描述符的关键组成部分此外,鲁棒的局部框架在最近的几何深度学习方法中起着至关重要的作用[7],通过局部补丁算子在网格上构建CNN的非欧几里德类比[20,3,24]。使用局部帧的局部描述符倾向于对相应特征点处LRF之间的未对准非常敏感,导致表面匹配管线的性能明显依赖于所采用LRF的重复性(参见[26,27]以了解详细研究)。另一方面,不利用LRF的局部描述符要么不够独特[1],计算成本高[28],要么在存在噪声和丢失部分的情况下性能较差[32]。对于给定的3D形状M,在点p∈M处的LRF L(p)是单位向量的正交集合(移动帧):L(p)={x<$(p),y<$(p),z<$(p)}(1)满足右手定则y=z×x。根据[35],我们根据LRF是基于协方差分析还是基于几何属性来区分LRF。前一系列包括将L(p)中的轴定义为位于半径的球形支撑内的点之间的3D协方差矩阵的特征向量的方法r >0以p为中心,记为Br(p)={s∈M:<$p−s<$2r(p)。[27]的方法遵循类似的方法,而q被选择为表现出到切平面的最大有符号距离(而不是角度)的点。据我们所知,后一种方法是目前计算可重复LRF的最先进方法,因此被选为实验部分的基线最后,近年来提出了几种基于深度学习的3D描述符,其中大多数依赖于固定的LRF以实现旋转不变性。4631+1个0-1图2.形状M上的标量场及其内禀梯度这 些 案 例 包 括 CGF-32 [15] 、 PFFNet [11] 和 metriclearned SHOT [9],它们都部署了[34]的LRF。在ACNN [4,3]和MoNet [24]体系结构中,局部面片使用主曲率方向进行定向PointNet [29]使用空间Transformer网络[14]来预测刚性变换以规范地对齐输入数据,而PCPNet [12]在本地应用Transformer。基于这些考虑,我们认为,一个强大的和可重复的LRF的定义仍然被认为是一个开放的和具有挑战性的问题,支持许多现有的方法,并在许多应用中无处不在。3. 背景在本文中,我们考虑表示为网格或点云的三维形状。为此,我们从一个连续的数学模型开始,然后讨论离散化。歧管。我们假设我们的形状产生于2维黎曼流形(曲面)M的采样,可能有边界流形M,嵌入R3。局部围绕每个点x∈ M,流形与切平面TpM同胚,所有这些平面的不交并形成切丛TM。我们进一步用黎曼度量来装备流形,定义为:图3.三角形网格(左)和部分扫描点云(右)上的梯度估计。我们的方法只需要一个切空间的概念来应用于任何给定的表示。通过对切向量应用微分,可以给出函数值作为该位移结果的f(p)F(p)=<$Mf(p),F(p)<$TpM。这可以被认为是方向导数概念的扩展,其中线性算子Mf:L2(M)→L2(TM)被称为内梯度,并且类似于定义函数在一点处的最陡变化方向的经典梯度,唯一的区别是方向现在是切向量;参见图2的示例。离散化现在让我们假设流形在n个点p1,. . . .. 进一步给它配备一个具有边E和三角形面F的单纯结构,得到一个三角形网格,我们假设它是一个(离散)流形。 标量函数f:M → R表示为向量f=(f(p1),. . . ,f(p n))对f在每个点处的值进行编码。 根据标准实践,假设函数在相邻点之间(在网格的情况下在每个三角形内)线性地表现。在网格上,离散内禀梯度f生成网格三角形上定义的正切向量场;在每个三角形tj上,它被计算为3D向量上的内积T_p_M:T_p_M ×T_p_M → R光滑地依赖于p的切平面。职能形式f:M→R和F:M→TM被称为f(tj)=.Σ。EF第二十一季第三十一Σ-1。Σf(p2)− f(p1)(2)标量场和(正切)矢量场。仅用度量表示的性质称为内禀性质。特别是,流形的等距变形(如姿态的变化)保留了所有的内在结构。固有梯度在经典微积分中,导数描述函数f如何随其自变量x的无穷小变化而变化。 由于流形上缺乏向量空间结构(意味着我们不能添加两个点,即,像“p + dp "这样的表达式是没有意义的),需要将f的微分定义为运算符,F Gf(p3)−f(p1)其中,E=212,F=2121,e31,G=21312(符号见下面的插图)。在点云上,内在梯度离散化如下。对于每个点p,我们首先通过将平面局部拟合到p周围半径r内的点来估计其切空间。这些点被投影到平面上,在那里它们被局部网格化为三角形,用Delaunay三角形剖分方法对P型曲面片进行三角剖分。然后,我们讨论算子df:TM→R作用于切向量场。在加权平均值f(p)=Σ1A(tj)tj∈PA(tj)<$f(tj),每个点p,微分是线性泛函df(p)=作用于切向量F(p)∈TpM,它模拟p周围的小位移。变化其中A(tj)表示三角形tj的面积。我们注意到,在这个过程中,在每个点p上只进行局部重构,然后抛出p2p3e21TJe31p14632nf+F−f图4. 我们的LRF在不同手部姿势上的x轴。在这例如,重复性几乎是理想的,因为M N图5. f的符号翻转(顶行)导致我们的选择的标量函数f(pi)=1nj=1 d(pi,pj)等于LRF。在最下面的一行中,两个高频函数,平均测地线距离[37]从每个点到所有其他点。一旦估计出Δf(p),这带来了额外的鲁棒性和效率的存在杂波或大点云;参见图3的示例。最后,点云上的法线通过全最小二乘估计[23];对于三角形网格,顶点xp处的法线n(p)计算为共享顶点p的三角形法线的面积加权平均值。4. 拟议的地方参照基准我们的技巧是基于构造切向量场作为标量函数f:M→R的梯度。我们计算f在p附近的平均梯度为:在M和N上不完全可重复导致局部轴翻转。封闭(亏格为零)曲面的特殊情况,由于Poincar e′-Hopf(“HairyBall”)定理,这些曲面是不常见的,该定理指出,唯一没有消失切向量场的曲面是环面状(亏格为1);然而,正如我们将在实验中显示的那样,这样的点是罕见的,并且不影响LRF的总体质量。函数的选择在确定由LRF引起的不变性类中起作用,并且是任务相关的:例如,为了实现对3D旋转的不变性,函数不依赖于物体在空间中的位置(一个例子是平均曲率)就足够了。x(p):=01tj∈Nr(p)A( tj)Σtj∈N r(p)A(tj)f(tj)(3)我们将在第6节中提供几种可能的选择描述器转向。在平滑帧字段Lf的顶部上构造局部描述符d:M→Rk可以被视为其中Nr(p)是距离p为r的三角形的集合。虽然它带来了对噪声的弹性,但平均过程并不保证与法向向量n(p)的正交性。因此,W e将x(p)投影到由n(p)标识的平面上,并将投影重新缩放为单位范数,从而得到移动标架Lf(p)={x(p),y(p),z(p)}:x(p):=(x(p)−(x(p)<$n(p))n(p))(4)y(p):=z(p)×x(p)(5)z(p):=n(p)(6)其中(·)f表示向量归一化,符号Lf强调LRF的定义取决于标量函数f的选择。注意,梯度f是保证无卷曲的(即,它的行为从来不像漩涡,见插图)。这是期望的,以便减少LRF不一致性。功能的选择。当量(3)要求f是可重构的;由于分段线性的消除,在我们的情况下这总是正确的。另一个问题是关于奇点的存在性(其中f(p)=0)。在对于形状匹配和配准应用,可以通过使用先验知识(以稀疏输入对应的形式)设计流来利用这一具体地说,给定一个单点匹配(x,y)∈ M×N,从x(分别)的简单欧几里得距离 y)到M中的所有其他点(分别为N)具有兼容的梯度(图。3),使我们的LRF成为通信管道的理想选择5. 性能我们列出了一些关键的属性,使我们提出的LRF适合具有挑战性的设置。其他属性取决于底层函数的选择,并将在实验部分进行探索。不变性取决于标量函数f的选择;例如,平均曲率赋予LRF旋转不变性,高斯曲率赋予等距变形不变性。如果可用,也可以使用颜色纹理作为f。所选择的函数必须在全局尺度上是可重复的,因为对于任何α∈R,<$αf=α<$f和归一化(4)使所有选项自动具有尺度不变性;参见图4的示例。4633我们FLARE [27]射击[34]平均成本21 10的情况。八点零分80的情况。6060的情况。4040的情况。202000.20.40.60.80.98 0.02 0.040.08 0.1600 1 2 3 4 5子采样局部半径(直径%)噪声水平图7.半径r = 0时,表面噪声增加时的LRF重复性(表示为网格分辨率的乘数)。02(虚线)和r= 0。16(固体)。我们的结果比FLARE更好,与SHOT相当,但使用的半径要小得多;为了比较,我们在顶部绘制r = 0的邻域。02(蓝色),r=0。16(红色)由于使用了小得多的半径,我们的LRF对杂波和干扰更加鲁棒。20% 80% 98%图6. 左上角:增加二次抽样下的LRF重复性,从0%(无二次抽样)到98%(严重)。我们报告的结果与局部半径r= 0。02(虚线)和r= 0。16(实心);所有形状都有单位直径。右上:半径增加时的比较,在所有子采样水平上取平均值。底部:这些测试中使用的子采样形状的示例。符号模糊性可以说是现有LRF的关键问题(见第2节),直接影响其可靠性。我们的框架不会遭受符号模糊,除非f的符号翻转(图5,顶部),或者如果f包含高频振荡(图5,底部)。对采样的鲁棒性是许多最先进的LRF的另一个核心弱点[34,27]。据我们所知,现有的方法都不能处理采样中的强烈差异(例如,在将CAD模型与2.5D扫描匹配时出现)或严重的子采样。我们在图6中运行了与这些方法的完整定量比较,使用第2.2节中定义的重复性测量。6.1;对于这些和以下测试,我们对具有不同分辨率(范围从6 K到28 K顶点)的六种不同形状类别(猫、半人马、狗、手、人、松鼠)的代表性数据集进行平均。对噪声的鲁棒性是通过对局部邻域上的梯度求平均来实现的(3)。至关重要的是,除了3D对象M本身的平滑度之外,我们的LRF还利用了函数f:M→R的平滑度。通过这种方式,我们将处理噪声几何域的问题转移到一个更容易的任务上,即在它上面在图7中,我们显示了在增加表面噪声量的情况下的完整对称消歧是我们方法的另一个独特属性。选择不对称F(例如,到点的距离)直接赋予在顶部构造的描述符f,有意识的。缺乏这样的属性被认为是形状分析应用中的一个很大的缺点,导致大多数性能最好的形状匹配管道中的解决方案不明确。6. 应用我们在不同的应用和设置,包括刚性配准和变形匹配的GFrames进行评估。6.1. LRF重复性和刚性形状匹配数据我们使用来自斯坦福3D扫描库[10]的4个对象( Armadillo , Bunny, Buddha , Dragon ) 的 真 实扫描,使用Cyberware 3030 MS扫描仪获取。这些对象的一些视图如图8所示。地面实况转换可用于所有扫描。评价我们评估所提出的方法,通过LRF的重复性和建立在LRF上的描述符的效率通过MeanCos和ThCos度量评估不同形状上相应点的LRF可重复性前者表示x轴和z轴的对准误差,后者表示两个参考系统是否更具体地说,ThCos是平均Cos值高于某个阈值的LRF的百分比(我们使用的值为0)。第97段)。对于给定测试模型的M次扫描中的每一次,我们提取一组均匀分布的关键点,并获取所有可能的N=M(M−1)个视图对(Vi,Vj)。由于部分重叠,属于Vi的关键点可能在Vi中没有对应性。因此,给定地面真值变换Gi,Gj将Vi,Vj带入规范框架,我们计算集合:Oi,j={ki:<$Giki− N(Giki,GjVj)<$≤N iovr},(7)包含Vi中的关键点,其具有对应我们FLARE [27]射击[34]噪声x1。5噪声X4平均成本4634犰狳龙兔佛10的情况。80的情况。60的情况。4图8. Stanford repository中的示例视图。在每个对象上,我们绘制用于刚性匹配实验的四个标量函数之一。请注意,尽管基线曲率几乎保持不变,但在我们的大多数测试中,它们仍然表现出足够的梯度,以超过SHOT LRF(与图9比较)。在Vj中的点。这里,N(Gik i,GjV j)表示变换视图GjV j中的G i k i的最近邻居,并且将N(G i k i,G j V j)设置为2。5ρ1。 如果Oi,j中的点的数量小于V i中的关键点的20%,则由于重叠不足而丢弃对(V i,V j);否则,通过R3中的最近邻搜索来建立关键点对应。然后,给定一对对应的关键点(ki,kj)∈ Vi × Vj,计算它们的LRF,并根据MeanCos和ThCos度量评估它们的重复性。标量函数的选择。选择的自由0的情况。200.40.30.20.10图9.犰狳佛 兔子龙平均犰狳佛 兔子龙平均斯坦福数据集上的LRF可重复性(f是一个很大的优势,使我们能够更好地适应手头的任务。作为基线选择,我们使用前面提到的均值(Oursmean)和高斯(Ours Gauss)曲率。此外,我们使用以下两个函数:越好)。这里,SHOT表示SHOT描述符的LRF射击我们的高斯我们的平均值STED(欧几里德距离总和),简单定义为0.3我们的STED我们的FLARE和f(x)=。ij=1ij2FLARE:最初在[27]中提出,它在每个点p处计算为到由法线n(p)定义的相切平面的有符号距离的平均值,仅在位于支撑区域外围的点的子集上计算每个标量函数的示例如图8所示。在图9中,我们将我们的LRF结构与最先进的SHOT[34]和FLARE [27]中使用的结构进行了比较。我们的标量函数的结果有效地实现了可重复的LRF。我们的FLARE始终是赌注-0.20.10犰狳佛兔龙平均在这两个指标上都优于SHOT和FLARE LRF,而我们的 STED 在 MeanCos 方 面 优 于 它 们 。 请注 意 我 们 的FLARE如何始终优于原始FLARE方法,突出了依赖基于梯度的LRF以获得更好的可重复性的有用性。我们的STED在ThCos方面的可重复性往往较低;STED功能对扫描重叠更敏感,因为我们注意到随着重叠的增加有显著的改善。来自RGB-D SLAM数据集[31]的房间的两个视图的定性比较进一步显示在图中。十一岁1点云分辨率ρ是每个点到其最近邻点的平均欧氏距离。图10.使用SHOT描述符的描述符匹配结果在不同的LRF上计算(其中包括SHOT LRF本身)。y轴表示与地面真实值的欧几里得距离小于7mm的匹配的百分比。这也证实了我们的方法在这种类型的真实世界数据上产生的巨大改进。我们参考补充材料了解更多的例子和细节。最后图10报告了描述符匹配方面的比较,其中SHOT描述符用于每个LRF的顶部。这些结果证实了以前的趋势高斯曲率 平均曲率STED FLARE功能FLARESHOTOurs Gauss Ours MeansOurs STED Ours FLAREThCos%对应性MeanCos4635TOPKIDSSMPL弹簧托斯卡枪我们10图11.在房间的两个视图上的LRF重复性(如左图所示;它们的排列在底部)。MeanCos错误被编码为热图,从白色到红色。我们的LRF的大部分误差来自两个视图的不完全重叠。图12.变形匹配试验中使用的代表性数据。TOPKIDS在自接触(手臂接触身体)处表现出拓扑粘合。在跨数据集匹配实验中,使用了SMPL、SPRING和TOSCA的数据集;放大突出显示了网格密度和连通性的差异。测试;我们的STED和我们的FLARE表现出最好的准确性,前者对佛像的误差较大,与其他物体相比,佛像的重叠较小。为了强调我们在多种情况下的鲁棒性,我们还在最近的激光扫描数据集[15]的Angel点云上评估了我们的方法(由于缺乏空间,更多结果在电子材料平均而言,我们获得(MeanCos,ThCos,%对应); SHOT:0。19,0。06,0。13;我们的STED:0。69,0。16,0。二十五6.2. 可变形形状匹配数据我们采用真实世界以及合成数据集:TOSCA [6](经历非刚性变形的7类合成动物和人类网格)、FAUST [2](10个不同姿势的人类受试者的100个扫描网格)、TOPKIDS [17](15个不同姿势的合成人类网格,在自我接触区域具有严重的拓扑伪影)。这些形状的示例如图所示12.所有数据集都有地面实况对应;对于交叉数据集实验,使用形状配准方法FARM [19]估计地面实况。评价作为基线,我们使用原始的SHOT描述符,并将其与在LRF之上构建的SHOT描述符进行逐点对应由描述符空间中的最近邻建立,并根据普林斯顿协议[16]进行评估,计算每个图13.可变形设置中使用的四个标量函数它们的梯度具有很少的奇点,这不会强烈影响所得到的LRF的质量。根据地面真实对应,落入测地半径r标量函数的选择。我们采用与刚性设置相同的基线(平均曲率和高斯曲率)加上两个特定于此任务的函数(参见图13中的示例):Fiedler向量是曲面的Laplace-Beltrami算子的第一个非常数特征函数。除了符号模糊性(简单地通过取函数的平方来解决),它是完全内在的,因此对等距不变。离散时间演化过程(DEP)是一种最近的内在点描述符,它对非等距失真,丢失部分和拓扑噪声是稳定的[21]。它类似于平均测地线距离[37],但对于非等距变形更稳健。我们使用双调和距离计算DEP,如[19]中所做。我们考虑可变形形状匹配的四种不同设置(参见图14):等距变形。我们测试8对可变形的动物(TOSCA,狗和马类)和20个扫描的人类受试者在不同的姿势(FAUST内)。我们报告说,与事实上的LRF相比,改进了10%非等距变形。我们测试了20对不同的姿势和不同的主题(FAUST inter),展示了与之前设置相似的性能。拓扑噪声我们对一个经历严重拓扑变化的人造人的15个姿势进行了评估,双手粘在身体上(TOPKIDS)。这里的性能比以前的数据集更差;例如,Fiedler矢量直接受到长距离拓扑粘合的影响。尽管如此,在这个具有挑战性的环境中,我们的模型(我们的DEP和我们的Fied)在基线上的优势更加明显。不同的连接性和分辨率。我们从SMPL [18]、TOSCA和SPRING [36]组成了一个人体形状对的混合数据集;参见图12的最后三列作为示例。由于各种模型之间的网格连接性和密度的差异,该实验特别具有挑战性。这样的设置是一个臭名昭著的高斯曲线平均曲线DEP费德勒平方4636射击65.2我们的高斯61.6我们的是62.2我们的DEP70我们的71.5射击58我们的高斯56.9我们的是59.9我们的DEP62.8我们的战斗62.7射击69.3我们的高斯65.2我们的平均值是67.1我们的DEP72.2我们的73.3射击71.1我们的高斯67.7我们的是73.1我们的DEP77我们的77.4第27我们的高斯26.5我们的意思是24我们的DEP29.8我们的飞行30.9TOSCA犬80706050403080TOSCA马7060504090FAUST内部8070605040203000。5010.1502025测地误差80FAUST inter707060605050404030302020101000。5010.1502025测地误差00。5010.1502025测地误差TOPKIDS射击42.2我们的高斯43.6我们的意思是43我们的DEP51.9我们的战斗53.100。5010.1502025测地误差3000。5010.1502025测地误差50农场40302010000。5010.1502025测地误差图14.不同数据集上的变形匹配的错误率。y轴表示与地面实况的测地线距离小于x轴上报告的值的匹配的百分比。图例中的数字表示AUC。FAUST内部1TOPKIDS0枪我们的领域枪我们的领域图15.标准(左)和查尔酮(右)情况下的定性比较。逐点匹配错误被编码为热图,从白色增长到暗红色。对于现有的LRF和本地描述符来说,这是一个难题,并且在现有的基准测试中不经常考虑。尽管如此,我们还是超过了基准线。在图15中,我们显示了一个标准(FAUST)和一个挑战( TOPKIDS)情况 下的匹配误差 。最后,在TOSCA上,我们还评估了所有64对犬和马类的LRF重复性(均值- Cos)。SHOT的平均得分为0。76,而我们的愤怒达到0。90(接近理想)。图1中显示了一对狗的定性评价结果。1使用我们的DEP。7. 结论我们介绍了GFrames,一个新的局部参考框架的三维形状匹配适用于网格和点云。我们的构造是基于LRF的正切分量作为曲面上标量函数的内禀梯度的计算;不同的设计是可能的,这取决于任务,因为我们展示了在3D计算机视觉和形状分析的相关问题的选择。我们的方法的灵活性在于选择一个标量函数的自由,在此之上,一个稳定的LRF,反过来可重复的描述符,可以构建。另一方面,主要限制在于所选函数具有有限的高频内容的要求,这可能导致不稳定的梯度;例如,这排除了采用高度详细的纹理或获得的振动功能,例如,通过波的传播。作为未来工作的一个有前途 的 途 径 , 我 们 设 想 在 深 度 学 习 管 道 中 采 用GFrames,其中标量函数本身可以以端到端的方式学习。致谢我们感谢Arianna Rampini的有益讨论。 ER由ERC批准号支持。802554(SPECGEO)。MB部分由ERC批准号724228(LEMAN),谷歌研究学院奖,皇家学会沃尔夫森研究优秀奖和鲁道夫柴油工业奖学金在TU慕尼黑。%对应性%对应性4637引用[1] AndreaAlbarelli,EmanueleRodol a`,andAndreaTorsello. 松散的独特功能,可实现强大的曲面对齐。欧洲计算机视觉会议,第519-532页。施普林格,2010年。[2] Federica Bogo , Javier Romero , Matthew Loper , andMichael J Black. 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