G2HermitePH五次多项式曲线的容许曲率连续面积及其应用-来自沙特国王大学

Journalof King Saud University沙特国王大学沙特国王大学学报www.ksu.edu.sawww.sciencedirect.com用G_2HermitePH五次多项式求光顺曲线的容许曲率连续面积Zul fiqar Habiba，*，Ghulam Rasoola，Manabu Sakaiba巴基斯坦拉合尔阿里阿克巴路COMSATS信息技术学院计算机科学系b日本鹿儿岛大学数学计算机科学系接收日期：2013年8月26日;修订日期：2013年12月6日;接受日期：2014年2015年3月27日在线发布本文利用G2切触匹配Hermite端点条件的一个Pythagorean速端图（PH）五次多项式，导出了曲率单调递增连续光滑曲线的容许曲率连续面积。曲率单调递增或递减的曲线被认为是高度光滑（公平）的，在几何设计中非常有用使用平滑曲线进行设计是一个迷人的计算问题，具有重要的物理和美学应用，特别是在高速运输和机器人技术中。首先，我们给出了一个PH五次多项式在给定Hermite端点条件下曲率连续的充分条件，然后我们找到了光滑曲线关于其端点曲率的容许面积.2015作者。制作和主办：Elsevier B.V.代表沙特国王大学 这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。1. 介绍通常希望具有曲率连续的光滑曲线的G2接触匹配Hermite端部条件，即，螺旋段，在曲线和曲面的几何设计中。目的可 以 是 信 息 技 术 中 的 美 学 应 用 （ Burchard 等 人 ， 1993年），实际应用，如机器人，地理信息系统，CAD系统，动画，环境设计，避免碰撞，动画，卫星路径*通讯作者。电 子 邮 件 地 址 ： drzhabib@ciitlahore.edu.pk （ Z. Habib ） ，ciitlahore.edu.pk （ G. Rasool） ， msakai@sci.kagoshima-u.ac.jp （ M.Sakai）。沙特国王大学负责同行审查规划、公路/铁路设计、几何建模、表面重建和其他学科（ Farin ， 2002; Hanmandlu 等 人 ， 2003; Sarfraz ， 2004;Habib，2010; Habib and Sakai，2012）。曲率连续曲线被认为是高度平滑和公平的，即，这些曲线在交点、曲率极值、环和尖点中没有超连续性（Habib ，2010; Deng 和Ma，2012）。参数三次样条曲线由于其数值和几何特性，常用于计算机辅助几何设计和制造过程中。然而，三次曲线并不总是有用和合适的，因为它的弧长是其参数的多项式的平方根的整数部分，并且它的偏移既不是多项式，它的参数的有理代数函数（Ait-Haddou，1995）。Farouki和Sakkalis（1990）引入了毕达哥拉斯速度图（PH）曲线，其不受上述三次多项式的不需要的特征的影响，http://dx.doi.org/10.1016/j.jksuci.2014.03.0161319-1578年，作者。制作和主办由爱思唯尔B.V.代表沙特国王大学。这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。制作和主办：Elsevier关键词运动规划;毕达哥拉斯速端图;五次多项式;G2Hermite;单调性;曲率光顺曲线的容许曲率连续面积141p1-t-ti;06t6 1;2：10 121/4我我在曲线光顺中非常有用（Habib和Sakai，2013）。对于几何设计而言，具有合理可变性的最低阶PH曲线通常是五阶多项式（Farouki和Neff，1995; Habib和Sakai，2008）。然而，三次和五次多项式都可能具有比所需更多的曲率极值（Habib，2010）。Farin（2002）指出，“这可以在设计准备时通过施加曲率连续条件来实现。回旋螺旋线是一种非多项式，多年来一直应用于公路设计（哈特曼，1957年）。回旋线既不是多项式曲线，也不是有理曲线，因此在计算机辅助设计系统中使用回旋线并不方便。 以前，使用两个曲线段形成了平滑曲线，特别是两个回旋螺旋段（Meek和Walton，1989年）、两个三次螺旋段和两个PH五次螺旋段（Walton和Meek，2007年）。设计师使用两个段是不合理的， 因为他们必须处理更多的实体。G2接触的螺旋段被认为是（i）直线和圆之间的过渡，（ii）两个圆与一个断背C形之间的过渡，（iii）两个圆与一个S形之间的过渡，(iv) 两条直线（v）两个圆，其中一个圆位于另一个圆的内部 ， 呈 C 形 ， 称 为 第 五 种 情 况 （ Walton 等 人 ， 2003;Habib，2010）。1.1. 问题陈述在公路和铁路设计中使用的第五种情况到目前为止还没有完全解决。对这种情况的数值处理意味着，由于缺乏必要条件，它似乎并不总是有解（Sarpono等人，2009; Habib，2010）。通过使用Habib和Sakai（2010）中的有理三次多项式，探索了设计师可以找到螺旋段的最大可能容许曲率连续区域（CCA）。由于PH五次多项式在几何设计中的重要性，本文的重点是通过使用单个PH五次函数来开发最大可能容许CCA的简单算法（Habib和Sakai，2010）。1.2. 相关作品如上所述的三次多项式的局限性以及在设计应用中更高阶多项式的恰当使用（Farouki和Sakkalis，1990; Farouki和Neff，1995; Habib和Sakai，2007 b，a，2008; Walton和Meek，2007），在Habib和Sakai（2010）中考虑了PH形式的五次多项式。然而，该方法不提供参考段的端点处的曲率的1.3. 贡献我们所提出的方法克服了上述问题，并提供CCA相关的曲率在端点。我们使用了一个PH五次函数的曲率连续曲线匹配G2埃尔米特结束条件组成的固定端点，切线/曲率在这些端点。在给定的位置和切向端点条件下，导出了整个线段上的曲率连续条件，并根据其端点处的曲率对公平线段的容许面积进行了可视化。论文的其余部分结构如下。第2节概述了在后续章节中使用的符号和约定以及PH五次的理论背景。建议的方法，曲率连续的条件，并推导出可容许的CCA在第3节中讨论。第4节介绍了我们根据第3节的分析开发的算法。该算法已被实现，并在第5节中给出了三个数值例子来说明。在第6节中简要讨论了所提出的算法的相对优点。最后，论文在第7节中结束。2. 预赛读者可以参考Habib和Sakai（2010，2013），了解本文中使用的约定和PH五次Bézier函数的描述。 术语“CCA”涉及曲率连续曲线相对于端点处的给定位置在曲率空间中的容许区域，曲线的端点和这些端点的曲率。我们考虑一PH五次贝齐耶Farin（2002）、Habib和Sakai（2013）的多项式ztzxt;zy tX5 . 55iG2接触的单一曲线，但它可能有不必要-sary内曲率极值然后在Habib和Sakai（2007 b，2008）中导出了 G2 接触的曲率连续形式。然而，它并不完全匹配Hermite结束条件，即，在这些方法中，端点和这些端点处的切线不固定。Dietz和Piper（2004）提出了一种用数值方法研究曲率连续三次多项式的匹配G2Hermite数据和导出的平差表如图1所示。Farouki和Sakkalis（1990）认为PH五次形式z0ttz0xt;z0ytt的曲线为z0t xt;iyt2x2t-y2t;2xtyt;06t61;12： 20哪里xt1-t22xt 1-txt2;yty 1-t22yt 1-tyt2; 2：3在端点处的曲率他们的工作继续0 1 2并在Dietz et al. （ 2008年），Habib和Sakai（2010年，2011）通过使用三次和有理三次函数。自由参数被用来寻找更多的CCA，但这些都是在简化曲率2fxty0t -x0tytg找到一个立方体的或有理三次曲率连续曲线。由于我的天fx2ty2tg2;2：4最先进的方法讨论了使用在设计过程中平滑曲线 Sarpono等人03 The Fantasyzt142Z. Habib等人ð Þ22¼ð ÞXXðÞ0022210500021þ5ð010 101103151100 211022054þ5ð220221301221321212x;y00cos1;sin1而矢量φ 1;0 φ用/0表示，而角度4sin/0sin/1202Þ ¼22121001201.Σ2 011.0-1分23. G Hermite曲率连续曲线给我们/零y ¼-xtan;y/1个1/4x棕褐色;1/3：1英寸备以后使用要求曲线的终点p5 1/4 λ1;0 λ 1，得到一个以λx1;y1λ为单位的方程组：2x23x0x2x13x2x0x2 3x2 3：21 0 22 2 2图1一个归一化的PH五次曲线匹配G2埃尔米特结束条件。及其衍生物j0t供以后使用（Habib和Sakai，2013年）。现在 规 范 化 形 式 的 贝 塞 尔 控 制 点 变 成 了 Farouki 和 Neff（1995）p01/2 0; 01/2;11/2y1/3y0/2y1/3y0/2y0/2 y3/2y15;6x0y0x2y2x1y0y2x 4x1y1 3y1x0x2x0y2x2y0 0：这里参数x0被认为是正的，而不失一般性。下面的引理用于证明定理3.1。引理3.1. 如果从p1p2到椭圆轴的角度和从椭圆轴到p3p4的角度是<$0;p= 2 <$，则参数xi; i <$4 0 ; 1 ; 2具有相同的符号（Habib和Sakai，2010）。p 公司简介 x-y;2x0yp/p1x x-y y;x yxy证据读者可以参考Habib和Sakai（2010），证据Hp/p12 2þð2x-2yþx x-y y;4x yxyxy对于给定的曲率j和j在端点t1/40处，1p4¼p35x1x2-y1y2;x1y2x2y1;t1，分别为（2.1）式中定义的多项式z t，我们从（2.4）式和（3.1）式中得到一组两个方程122p<$p x-y;2x y轴向1;0轴向：2：5轴向j/4.xtan/0，ypneumocos4/0;为了保证G2Hermite端点条件的匹配，我们不失一般性地假设以下内容。j/4.xtan/1-ytancos4/1;103：31. 五次Be′zier曲线的端点为p01/40; 0/4，它可以解出x1;y1第五卷第1页，第0页。1（j x3.//下载11在向量1;0和曲线的切线之间，2j1x3。 /零/0）终点p5 表示为/1。3. 在起点p0和终点p5处的曲率是j0，阿根廷3/0cos2;- sin2：103：400J1，分别。为了简化进一步的分析，我们假设x;xpcos/0;mcos/1μ m;m3：5μm曲率连续的光顺曲线是曲率单调增加或单调减少的曲线。在本文中，我们考虑增加曲率。需要以下条件来保证在参数t上的五次多项式zt中不存在任何内曲率极值，其中t2½0;1]：1. 0/0/1p= 2。<<<并考虑上面的x1;y1，将公式（3.2）中的方程组简化为d中的二次和三次方程 在下面（3.6）和（3.7）中：e2d2e1de0¼0; 3：6哪里e½j2m6sin/m。2jm3sin2/0-/1-jsin/sin;2. 曲率j0的导数不应在21上有根00 12011/20;1]。接下来，我们在固定的Hermite端点条件下导出曲率连续区域。首先，我们考虑给定的端切线条件，即，从曲线起点z处的切线的角度/0和从水平轴到曲线终点z处的切线的角度/1，我们有e¼ 6 sin/0 sin/1。jm3sin/jm4sin/0-/1-jmsin/;关于我们e0¼8 sin23 sin/0μ m sin2- 3 m sin/1 ;并且，在本发明中，3 222222012. 曲线在起点p0处的切线cos3/022光顺曲线的容许曲率连续面积143联系我们联系我们XXz0y20克瓦希涅夫斯基z000z0y100z011f3d2d1天1小时0/4小时;3：7小时哪里144Z. Habib等人261X5.你...ð-11号ðÞ¼ð Þ ðÞð Þ ð Þ ðÞ310012010Sin201个;02121cu11111f½jmcos/mj。2jm3cos/0-/1πjcos/π;定理3.1. PH中的五次（2.1）Be′zier曲线形式 是 一 单调 增加的曲率 连续如果f/46。. jjm4cos/0-/1m。jm2cos/hi;i 1/40; 2; 3; 5是非负的，20 1210/0/1h1P-2ph0h2;h4P-2ph3h5：3：11j0cos/1..F¼8 3 cos/01二、/ -/2公司简介12证据由于线段z的起点处的曲率j0为在（3.3）中为正，首先条件F ¼120sin2/0sin/1：X tan/0y>0; 3：12为了进一步简化曲率导数的分析，我们可以将参数t的单位区间从1/20;1]变换为1/20;1，用1=11s代替t，引入另一个参数s仅具有下限因此，衍生物-被认为是那么笛卡尔规则的迹象是适用的，因为事实上，abucu2Pa2pcc u2¼.pap2曲率j0<$t<$，对于t<$1=<$1<$s<$，变为45kz0tkj0thsi;3：85如果式（3.11）中条件成立，则PH五次Bézier曲线（2.1）是曲率连续曲线。H为2011年1月1日我1/43.2. 曲率空间中的容许CCAhi1/2Fi1/2 x2;x0;y2;y0];i 1/20;1;2;1/4F5-i1/2x0;x2;y0;y2];i1/43;4;5;以对称形式，其中F½p;q;r;s]¼p2q2fps-qr6py-g-8p2-r2xy0在这一节中，我们考虑在以下条件下寻找PH五次曲率连续曲线关于其端点处的曲率的容许区域的问题：固定的Hermite结束条件 对于给定的k/0;/1k，我们..Σ22Σ11-1型11.Σ1 1数值确定曲率中的容许CCAðÞ8例原发性高血压;F11/2p;q;r;s]1/47。p2r2p-q r2.6pqr-p2s5r2sx1在式（3.10）中给出的范围内，j0;j1的空间。首先我们解决解析二次方程。（3.6）解决方案22- 两个6月2日至16日，p2-q2x1y11111.pp！122e2e— 16p r. x2-y216-py. x2y2;d;d-e1-4 e0e2;-e1-e1- 4 e0e2;2013年3月13日F½p;q;r;s]1/46q s.r2-p2-p6p r.q2-s2=4。r2s107p2s-6pqr2x2 22 14p2q7 qr26 qr24 pqrsx1y— 800万美元x2y211并应用（3.7）m。如果我们找到任何满足足够条件的矩阵，2012. x2233qr-ps233qr-3ps233：233在（3.11）中，则n/0;/1;j0;j1n给出一个曲率连续的seg-有固定的端点。我们可以通过在公式3.8中找到五次多项式的系数的条件来确定它有非正根，从而用解析公式表示生成PH五次曲率连续曲线的问题。3.1.曲率连续曲线由于曲线p 0的起点处的密切圆完全在曲线p 5的端点处的密切圆内，因此我们可以找到曲率连续曲线的必要条件，如Dietz and Piper（2004），Dietz et al. （2008），Habib（2010），并且被公式化为2f 1-cos/cos/cos-j sin/g04. 该算法本节给出了一个求曲率连续PH五次多项式的算法，以实现我们在前一节中提出的方法。与前面一样，我们采用启发式方法，使用PH五次Be′zier形式的单个多项式来构造G2Hermite光顺曲线。 该算法具有以下步骤。1. 给定所需螺旋段的端点A和B、端点处的切线角θ/0;/1θ和端点处的曲率θj0;j1θ，满足式（3.10）中的必要条件。j2 sin/;j><0 10： 103：10分2. 根据图1，通过变换对给定数据进行归一化。 10012 sin/ -j使得端点A和B变为p0;0和000¼ ð Þ上述条件提供了任何可以实现曲率连续曲线。这些边界在图1和图2中由深色实心双曲线突出显示。（a）（a）2-4（a）。在这些边界内的给定曲率空间中的容许曲率连续区域基于定理3.1，其数值推导在3.2节中讨论。下面的定理给出了关于正切角φ/0;/1φ和曲率φj0;j1φ的在曲线的端点处，其中0