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Journalof the Egyptian Mathematical Society(2015)23,256埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章分数阶系统的数值研究拉普拉斯变换Sumit Guptaa,Devendra Kumara,*,Jagdev Singhba数学系,Jagan Nath Gupta工程技术学院,Jaipur 302022,Rajasthan,印度b印度拉贾斯坦邦斋浦尔303901 Tehsil-Chaksu Village- Rampura,Jagan Nath大学数学系接收日期:2014年2月2日;修订日期:2014年3月21日;接受日期:2014年4月10日2014年5月14日在线提供本文提出了一种用同伦分析变换法求解分数阶微分方程组的数值算法。同伦分析变换法是同伦分析法和拉普拉斯变换法的结合形式。我们的模型方程的解决方案计算的收敛幂级数的形式,易于计算的组件。数值结果表明,该方法简单易行 在应用于各种分数阶微分方程时2010年数学学科分类:34A08; 35A20; 35A22?2014制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表1. 介绍分数阶常微分方程和偏微分方程作为经典整数阶微分方程的推广,越来越多地用于流体力学、粘弹性、生物学、物理学和工程学等领域的建模问题[1利用分数阶微分方程进行数学建模的最大优点是其非局部性。众所周知,整数阶微分算子是局部算子,但*通讯作者。联系电话:+91 9460905223。电 子 邮 件 地 址 : www.example.comguptasumit.edu @ gmail.com( S.Gupta ) , devendra. maths@gmail.com ( D.Kumar ) ,jagdevsinghrathore@gmail.comwww.example.com Singh)。同行评审由埃及数学学会负责分数阶微分算子是非局部的。这意味着一个系统的下一个状态不仅取决于它的当前状态,而且取决于它的所有历史状态。这是更现实的,这是分数微积分在科学和技术领域越来越受欢迎的原因之一[5同伦分析法是廖文[12]提出的一种求解线性和非线性微分和积分方程的方法。与微扰技术不同的是,HAM不需要方程中的任何小参数或大参数。HAM被成功地应用于解决许多非线性问题[13近年来,各种技术已被应用于处理各种物理问题[18拉普拉斯变换[25]是求解各种线性偏微分方程的强大技术,在工程和应用科学等各个领域具有重要意义。耦合半解析方法与拉普拉斯变换给出耗时的后果和更少的CPU时间(处理器2.65 GHz或更高和RAM-1 GB或更高)解决非线性问题。许多作者1110- 256 X? 2014制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2014.04.003制作和主办:Elsevier关键词分数阶微分方程组拉普拉斯变换;同伦分析法;近似解ωDT÷ð Þ ð ÞX/s;qv svsq;10ðÞXvsvsvs; 12不不Xω分数阶微分方程组的拉普拉斯变换数值研究257在文献中注意使用这些技术[26另一方面,同伦分析方法(HAM)也与定义良好的拉普拉斯变换相结合,产生了高效的技术,即用于非线性问题的同伦分析变换方法(HATM)[29]。在本文中,我们考虑分数阶导数系统以下类型的迭代方程:Da1x¼a1xnb1ync1zn;但须符合以下初步条件:v0 a:7在等式的两侧应用拉普拉斯变换(6),我们得到的 1L½vt]saL½Ft;vt;v0t]:8拉普拉斯方程的零阶变形方程。(8)形式Da2y<$a2xnb2ync2zn; 1aω3公司简介布雷布cz;1-qDA Zωn n n3 3 31初始条件为:Dn-1x0An-1;Dn-1y0Bn-1andDn-1z0Cn-1;2其中Dd;ai;bi;ci;An-1;Bn-1和Cn-1是常数。对于n=1,方程的系统(1)结合初始条件称之为线性分数阶微分方程,而对于nP2系统是非线性的。Momani和Odibat[30]使用Adomain分解方法(ADM)和同伦扰动方法(HPM)来求解这些类型的微分方程。Anzigat等人。[31]应用同伦分析方法(HAM)求解微分方程组(一).-saL½Ft;/s;q;/0s;q];9其中q2 [0,1]是一个嵌入参数,<$0是一个非零辅助参数,我们有/s;0< $ $ >v<$$>0 <$s<$和/s;1< $ $ >v<$s <$。因此,当q从0增加到1时,解f(s;q)从初始猜测v0s到解vs。将f(s;q)用关于q的y1m0m的m¼1哪里本 文 实 现 了 求 解 微 分 方 程 组 的 同 伦 分 析 变 换 方 法(HATM).HATM是Laplace方程的一个优雅的组合1我的天啊!@m/s;q@qmjq¼0:1110变换方法和HAM。该技术的优点是它的能力相结合的两个强大的方法获得精确和近似的非线性方程的解析解。2. 分数阶微积分与拉普拉斯变换在本节中,我们提到分数微积分和拉普拉斯变换的以下基本定义。定义1.1.函数f(t)的拉普拉斯变换定义为:FsL ½ft]<$Z1e-stftdt:30定义1.2. Riemann-Liouville分数次积分的Laplace变换L[u(x,t)]如果辅助线性算子、初始猜测、辅助参数<$和辅助函数都选择得很好,那么级数(10)在q=1处收敛,那么我们有10m的m¼1它必须是原始非线性方程的解之一。控制方程可以从零阶变形方程推导出来。(九)、定义向量~vn<$fv0s;v1s;. . . vnsg:13微分方程(9)关于嵌入参数q的m次,然后设置q=0并最终将它们除以m!,得到了m阶变形方程。v<$msvm<$m-1-Rmv<$m-1s;14哪里L½Iaux;t]¼s-aL½ux;t]:104Rmv<$m-1sv<$m-1s1 .一、 1@m-1mm定义1.3.Caputo的Laplace变换L[u(x,t)]-sa一一分钟! @qm-1½LFt;/t; q;/0t; q]jq0分数阶导数给出为[7]:n-1LDaux;tsaL½ux;t]-sa-k-1ukx;0;-s1-vm;15和.k¼0n-1a6n:150<0的整数;m61;vm1;m>1:ð16Þ3. 同伦分析变换法(HATM)的基本思想为了说明基本思想,让我们考虑以下分数阶微分方程DavtFt;vt:v0t;tP0;0a62:6操作方程的逆拉普拉斯变换。(14),我们得到方程的幂级数解(6)带收敛控制参数。4. 数值实现为了评估本文所提出的HATM方法对不同分数阶系统的精度和收敛性,ωðM1-MMmm-12;mM-1M-1ω121;001ω1-L½-xaLxi t xm-1-it ym-111MM显然当q=0和q=1时南纬258号Gupta等人基本方程,我们将其应用于以下三个例子。实施例4.1.考虑以下分数阶微分方程的线性系统:x1tht;y1不含-ht;x2t-h<$th2t2-h<$2t2-a1;2-a1ð29Þh2ta1y2t-ht-2-aC2-a;Dωx¼x y;Da2y¼ -xy;0a1;a26 1;17<在初始条件下:x±0.001;y± 0.001:0.18当a1=a2=1时,该系统的精确解由下式给出:xtetsint;ytet cost:对两边进行拉普拉斯变换,我们得到saL½xt]- sa-1x0L ½xtt];saL½yt]- sa-1y0L ½-xtyt]:通过应用初始条件,我们得到12 2..等现在我们定义m阶变形方程通过L/2xmt -vmxm-1t]/2h1Ja1R1m~xm-1t;~ym-1t;L½ymt-vmym-1t]h2Ja2R2m~xm-1t;~ym-1t:通过Laplace逆变换,我们得到xmtvxm-1th<$ L-1½Ja1R1;m~xm-1;~ym-1];30ytvythL-1½Ja2R~x;~y然后,我们得到以下组件如下:hta1x1吨/年-hta2y1t-C1a;L½xt]¼saL½xtyt];192h<$1<$hta1h2th<$2t2a11 1L½yt]¼L½-xtyt]:20x2吨/小 时 -C1吨/小时C1吨/小时þaÞþCð1þ2aÞ;ð32Þs sa1h12h<$2ta1 a21h2t2a2我们现在将非线性算子定义为:y2t-C1a-C1aþaÞþCð1þ2aÞ;1N/t;q;/t;q/L½/t;q]-L½/t;q/t;q];2 1。2 1 2 2112一个12。1 1N2/1t;q;/2t;qL½/2t;q]-s-saL½-/1t;q/2t;q]:ð22Þ利用上述定义,我们构造了零阶变形方程1-q/t;0 xxt;/t;1 xt;/2t;0x2; 0y0t;/2t;1 yt:24我们现在定义m阶变形方程,L/2xmt-vmxim-1t]/1hiHitRim~xm-1t;~ym-1t;i¼ 1; 2; 3.. . n:2500其中,R1;m~xm-1;~ym-1L½xm-1t]-1L½xm-1tym-1t]在等式中设置<$= 1(29)和(32),上述表达式与HPM和ADM[30]和HAM[31]给出的表达式完全相同。实施例4.2.考虑以下非线性分数系统Da1x¼1x;Da2y1/4x2y;0a1;a26 1:133 mm<当a1=a2=1时,该系统的精确解由下式给出:xt et=2;yt tet:为了用HATM求解上述方程组,我们选择初始猜测为x0(t)=1,y0(t)=0sa11R ~x;~y2 0 1 9 年1 2 月26日1 1 -vR1;m~xm-1;~ym-1L ½xm-1[t]-s1-vm-2saL½xm-1[t];2;mM-1M-1M-1是一个[001 pdf1st-31files]-s-1st-31filesM-1 特鲁吉中文(简体)1“Xm-1#S1/4应用逆拉普拉斯变换,我们得到xmtvxm-1th1L-1½R1;m~xm-1;~ym-1];27ytvythL-1½R~x;~y应用逆拉普拉斯变换,我们得到xmtvxm-1th1 L-1½R1;m~xm-1;~ym-1];ð34Þmmm-122;mM-1m-1mð35Þ为了简单起见,我们取<$=<$H(t)=H(t)= 1。你好,第二章 L-1½R2;m~xm-1;~ym-1]R2;m=~xm-1;~ym-1[L/2ym-1]-:M-122-1M2M-123ðþ Þ2mm-1MMmm-111m-1-1Mm m-122;mM-1M-1M-1我的天ð.分数阶微分方程系统的拉普拉斯变换数值研究259为简单起见,我们取<$1=<$2=<$,H1(t)=H2(t) =1。应用逆拉普拉斯变换,我们得到然后,我们得到以下组件如下:x tL-1½R~x;~y;~z];特mmm-111;mM-1M-1M-1x1吨/小时-2;y 你好,[(1)(2L-11½R1;(2 m)~xm-1 ;(3m)~ym-1;(4m)~zm-1];ð43Þ1y1t-h< $t;zmtvzm-1th3L-½R3;m~xm-1;~ym-1;~zm-1]特h2t2h2t为简单起见,我们取<$=<$=<$andH(t)=H(t)=1。x2吨/小时-2吨/小时8 -22aC2a;ð36Þ1 2 1 2ð-1Þ ð-1 美元然后,我们得到以下组件如下:yt- hth2t2-..等h<$2t2-a2;2 2-a2 C 2-a2x1t-ht;y1t-2ht;z1t-3ht;h<$2t2h2t2-a1我们现在定义m阶变形方程x2吨/小时2-α2-αC3-β2-αC3-β;通过yt2h<$t2h<$2t2L½yt-vyt]hJa1R~x1 12<$h2t2-a2;2-a2ð44ÞL½yt-vyðtÞ]¼¯hJa2R~xðtÞ;~yt:93<$h2t2-a3mm m-122m-1-1z2吨-3吨h<$2t2-;通过Laplace逆变换,我们得到。xmtvxm-1thL-1½Ja1R1;m~xm-1;~ym-1];37。22-a3C 2-a3ymtvmym-1t等现在我们定义m阶变形方程然后,我们得到以下组件如下:h<$ta1ax1m-1;L/2xm-12C101C10a1C10hta2一个2L½yt-vyt]<$h <$JR~x;~y;~zð45Þy1t-1a;<$h1<$hta1h2t2a1L½zmt-vmzm-1t]3Ja3R3;m~xm-1;~ym-1;~zm-1:通过Laplace逆变换,我们得到x2t12 121ð39ÞM1h21h<$2ta1a 2h2t2a2xmtvxm-1thL-1½Ja1R1;m~xm-1;~ym-1;~zm-1];我的天你好,ðtÞ þ¯hL-1½Ja2R2;m~xm-1;~ym-1;~zm-1];ð46ÞC10-12 -2C101C10 a12012年2月C112a2bmmm-1.z mtvmzm-1t h.L-1½Ja3R3;m~xm-1;~ym-1;~zm-1]:等在等式中设置<$= 1(36)和(39),上述表达式与HPM和ADM[30]和HAM[31]给出的表达式完全相同。然后,我们得到以下组件如下:h<$ta1x1t-1;第二天y1t-C1a;实施例4.3.考虑以下非线性分数系统Da1 x¼ x;3小时3分钟z1t-1a;<$h1<$hta1x2吨/小时h2t2a1;ωDa2yω1/2x;ð40ÞC10 -10-10 -102小时1分钟2小时C101020a14小时2吨1吨22h2t2a2Da3z 1/43xy;y2不超过100-1þaÞþCð1þ2aÞ;ω初始条件为:23<$h1hta31 26小时2分2秒323小时2吨1吨2z2轴向位移x= 0.001;y= 0.001;z= 0.0000:0.41立方厘米1立方厘米a立方厘米1立方厘米aþaÞþCð1þaþaÞ;为了使用HATM求解上述系统,我们选择初始值。猜测x (t)=1,y(t)=1和z(t)=0。3 2 3 1 2ð47Þ221;mM-1M是一个2;m]-sM-1M-saL2xitxm-1-it;1/4R~x;~y0;~z01 0 0 0 升/分x吨01 11-v-L½xt等在公式中设置<$=-1(44)和(47),上述表达式与HPM和ADM[30]给出的完全相同,R~x;~y;~z2 0 1 9 年 1 2月26日11-vHAM[31].1“Xm-1#1/4ð42Þ1“Xm-1#-M-1M-1M-1]-sM-1M-1M-1M-15. 讨论R3;m~xm-1;~ym-1;~zm-1[L½zm-1]-saL3xit ym-1-i t:在两个和三个相应的方程组的上述三个示例中设置1/=1,可以看出,1/4iDT¼南纬260度Gupta等人图 1例4.1的x [t]对t 2 [0,2.5)的精确解图,当a1=a2= 1时。图图4通过HATM对t2[0,1)进行四阶近似的示例4.1的y[t]的近似解图,当a1=a2= 1和/=-1。图图3当a1=a2= 1时,例4.1中t 2 [0,1)的y [ t ]的精确解图。图5当a1=a2=1时,系统(17)对于(a)和(b)的曲线图;虚线:精确解;上下实线分别表示在:<$=-1.4和<$=-0.8时的近似解,实施例4.1表达分别与HPM和ADM[30]完全相同。这说明这两种方法确实是HAM[31] 和HATM 的特殊情况。然而,ADM 和HPM给出的结果收敛到相应的数值解在一个相当小的区域和复杂的Adomain多项式的计算。但是,与这两种方法不同的是,HATM为我们提供了一个简单的一种通过选取辅助参数来使用合适的辅助线性算子Lid和LD AI. 值得注意的是,HATM只有四个术语,ω级数解被用于评估近似解,如图所示, 1-10。它表明,这种方法的效率可以通过计算x(t),y(t)和z(t)的进一步项来图2通过下式的实施例4.1的x[t]的近似解图:=a2= 1和/=-1。HATM的四阶近似为t2[0,2.5),当1分数阶微分方程组的拉普拉斯变换数值研究261图图6当a1=a2=1时x[t]的系统(46)的曲线图;红线:精确解;绿色和黄色实线分别表示例4.2的近似解:<$=-1.4和<$=-0.8图图9系统(40)在a1=a2=1时y[t]的曲线图;红线:精确解;绿色和黄色实线分别表示例4.3在<$=-1.4和<$=-0.8时的近似解图图7系统(46)在a1=a2=1时y[t]的曲线图;红线:精确解 ; 绿 色 和 黄 色 实 线 分 别 表 示 例 4.2 在 :<$=-1.4 和<$=-0.8时的近似解图8系统(40)在a1=a2=1时x[t]的曲线图;红线:精确解;绿色和黄色实线分别表示例4.3在:<$=-1.4和<$=-0.8时的近似解6. 总结发言本文将HATM成功地应用于分数阶微分方程图图10a1=a2= 1时z[t]的系统(40)的曲线图;红线:精确解;绿色和黄色实线分别表示例4.3的近似解:<$=-1.4和<$=-0.8微分方程与其它分析方法不同的是,它为我们提供了一种通过选择适当的辅助参数和辅助线性算子来调节和控制解级数收敛区域的方便方法。总之,HATM可以被认为是对现有数值方法的一个很好的改进,并可能在科学和工程中得到广泛的应用。确认作者们衷心感谢审稿人为改进文章提出的宝贵建议。引用[1] G.O.杨,定义物理一致的阻尼定律与分数导数,Z。Angew.75(1995)623-635。[2] A. 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