Tanh–coth方案解耦合非线性Schr？dinger-Zakharov系统的精确解

2Journalof the Egyptian Mathematical Society（2015）23，282埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章Tanh–cothArun Kumara，*， Ram Dayal Pankajba印度科塔政府学院数学系bJ.N.V.数学系。印度焦特布尔大学接收日期：2014年1月28日;修订日期：2014年4月10日;接受日期：2014年2014年6月4日在线发布摘要考虑耦合的一维非线性Schr？dingerZakharov系统（sch-zakh）作为非线性波相互作用模型的模型方程。Tanh–coth Scheme is used to derive abundant 得到的解包括孤子解解决方案2010 AMS子分类：35 C 05; 35 Q51; 35 B10？2014制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表1. 介绍非线性是自然界中一个迷人的元素，许多科学家将非线性科学视为对自然界基本理解的最重要许多复杂的物理现象都是用非线性演化方程来描述和模拟的，因此非线性演化方程的精确解或解析解就显得越来越重要，它不仅被认为是检验计算动力学精度的一个有价值的工具，而且有助于我们更好地理解复杂物理现象的本质，例如，两个孤立解的碰撞寻找精确的孤波这是数学家和物理学家都关心的问题。这些解可以很好地描述物理学和其他领域中的各种现象，例如孤子和有限速度的传播，因此它们可以更深入地了解问题的物理方面。现代非线性科学理论在过去的半个世纪里得到了高度发展在经典水平上，Zakharov首先导出了一组描述高频朗缪尔波和低频离子声波之间相互作用的耦合非线性波动方程[1]。从那时起，这一制度就成为大量研究的主题。在一维中，Zakharov方程（ZE）可以写为：iEtExx-nE¼0;长期以来，非线性演化方程的解一直是*通讯作者。ntt — nxx — jEjxx ¼0ð1Þ电子邮件地址：arunkr71@gmail.com（A. Kumar）。同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：Elsevier其中E是高频电场的包络，n是等离子体密度从其平衡值测量。该系统可以从等离子体的流体动力学描述中导出[2，3]。然而，一些重要的影响，如渡越时间阻尼和离子非线性，这也暗示了这样一个事实，即用于离子阻尼的值1110- 256 X？ 2014制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2014.05.002关键词Tanh–coth scheme;t xx- 你好4K2-14K2-1-2Y2布-是的1¼¼dn2D32-DdY我Yi1Tanh–coth从线性离子声波动力学的角度来看，已经非常大，在ZE中被忽略这相当于说，ZE是强朗缪尔湍流的简化模型。因此，我们必须通过考虑更多的因素来概括ZE。从动力学等离子体方程出发，借助于放松的Zakharov简化假设，并通过采用时间平均的双时间尺度双流体等离子体描述，将ZE推广到包含自生磁场[4]。广义Zakharov方程（GZE）是一组耦合方程，可以写成[5]。iEE -2bjEj2E2nE¼ 0;3. tanh-coth我们介绍了一个转换（GZE）方程。（二）E x; t Un e i h;gx;tVn;h<$kxxt;n<$px-2kt其中k、x和p是实常数。把这些转换到Eq。（2），我们有U（n）和V（n）的常微分方程（ODE）Unk2x-p2U00n2bU3n-2UnVn0;n -n个 Ej¼0ð2Þ200 00ð6Þxx xxxx4k-1其中E是高频电场的包络，n是从其平衡值测量的等离子体密度。当b=0时，该方程组退化为经典的Zakharov方程。由于GZE是等离子体中的一个现实模型，因此研究GZE的孤波解具有重要意义。近年来，人们提出了各种强有力的数学方法，如同伦摄动法[6]、变分迭代法[72. tanh-coth方法的描述我们现在简要介绍将应用的tanh-coth策略的主要步骤的PDE其中撇号表示相对于n的微分。方程的第二个方程的积分（6）关于n的两次。C U2nV4k2-17其中C是第二个积分常数，第一个取为零。V（n）的值放在第一个等式中（六）你好k2-2C-p2U002002年。b 12018 年12月28日，对常微分方程进行一次积分并将积分常数设为零后得到在等式中平衡U00和U3（8）给出m+2 =3m，即m=1。tanh-cothPu; u t; u x; u tt; u xx.. .千分之三十秒unaB1拉瓦雅ð9Þ可以转换为ODEPu; u0; u00; u000.. .200万美元0 1年替换Eq。（9）在Eq.（8）我们得到当采用一波 变量n = xct等式（4）只要所有项都包含导数，则积分-a.a0级B11年-2pb12019-02- 22y3-2011-Y2012的1-b1个）光栅常数被认为是零。引入新的自变量Y=tanh（n）导致导数的变化：2002年。b1a4K2-13价格1美元/ 美元D2Da.一aYb1-2 p2b. 1年-2年dn¼1-YdYd2¼1-Y2n 1-Y2d22Ydo2222d201Y.23d31 Y3Yb1Ydn3¼2 1-Y3Y-1dY- 6Y1-YdY21-YdY3.1美元。b103双曲正切2bm m2 3unsYXa Yixbi1/41/1ð5Þ比较Y和Y我们得到a0a1=0其中m是正整数，对于该方法，将确定。展开式（5）简化为标准双曲正切法bi= 0.16 i 6m。如前所述，该参数通常通过平衡所得方程中的最高阶线性项与最高阶非线性项来获得。如果m不是整数，则变换为-mula应该用来克服这个困难。代以解决方案(1) 第一组a00; a1 0;s-p24k2-1;2个p2个p¼ 0（5）转化为常微分方程的结果是一个代数方程组的幂，这将导致参数ai= 0，（i = 0，. . ，m）b i= 0，（i = 1，. ，m）和c.2Σ（23b¼12002年p a10a0b1= 0. 所以对于非零的，只有平凡解存在。到得到一个非平凡的解，我们得到以下四组2014年12月24日，2014年12月26(2) 第二组2004年b/4k2-2;1001年b/1k 2 -2; 1001年 f/2p- 1aGbb1¼-8p-1 agGb- ¼--f-α-β gf-α-β g284A.库马尔河Pankaj图1C=a=b=p=k=1的理论模型的一组解的图0.05;0.01s-p24k2-1E4 x; tsp24k2-1b1¼0;2p2a¼ 0(3) 第三组½tanhfpx-2kt g-cothfpx-2ktg]eikxt;C p2g4x;t2-22s2-p24k-100万4k-1半正切hfpx-2kt g-cothfpx-2ktg]20.05;0.012004年12月24日，2004年12月28日，2005年12月28s-p24k2-1(4) 第四套;8个p2个p1/4 0个p4. 结论利用双曲正切方法，得到了广义Zakharov方程（GZE）的行波解。的0.05;0.01sp24k2-1转换公式用于非线性，以表明分析是适用于非线性问题。的sp24k2-1本发明的方法可容易地应用于多种这样的b1¼-;4p2a0b非线性方程 得到的解包括孤子解解、周期解和有理解。其中k2x2C4k2- 1有鉴于此，我们得到以下扭结形孤波解（见图1）。第一章s-p24k2-1确认作者非常感谢匿名评论者的宝贵建议。E1 x; t¼2014年12月24日，2014年12月26引用cothfpx-2ktgeikxxt;C p2[1] V.E. Zakharov，朗缪尔波的坍缩，Zh Eksp TeorFizg1x;t¼4K— 1Þþb— 2p2- 1ag62（1972）1745-1751。[2] MvGolman，朗缪尔波孤子和空间坍缩coth2p x2kts22等离子体物理学，Physica D 18（1986）67-76.[3] Michel Moisan，Jacques Pelletier，流体动力学描述，E2 x; t-p4k-12014年12月24日，2014年12月26血浆，在：物理的碰撞等离子体，Springer，Netherlands，2012，pp. 203-335tanhfpx-2ktgeikxxt;C p2g2x;t4k2-1b 4k2-11 f2p2-1agtanh2p x2kts-p24k2-1[4] L.H. Li，Langmuir湍流方程组磁场，物理 流体B 5（1993）350-356.[5] B. Malomed，D.安德森，M。Lisak，M.L.张文龙，等离子体动力学方程组的数值模拟，国立台湾大学机械工程研究所硕士论文，（1997）.[6] J.H.何，同伦微扰法在非线性波动方程中的应用，混沌孤子分数。26（3）（2005）E3 x; t¼2004年12月24日，2004年12月28日，2005年12月28六百九十五到七百。[7] J.H. 他X.H.吴，孤波解的构造和½tanhfpx-2kt g-cothfpx-2ktg]eikxxt;C p2g3x;t4k2-1b 4k2-11 f8p2-1ag半谭hfpx-2kt g-cothfpx-2ktg]用变分迭代法求解类混沌解，混沌孤子分数。29（1）（2006）108-113。[8] J.H.他，变分迭代法-一种非线性分析技术：一些例子，国际。J. 非线性力学 34（4）（1999）699-708。222Tanh–coth[9] J.H.他，自治常微分系统的变分迭代法，应用。数学Comput. 114（2 -3）（2000）115- 123。[10] Z.M.奥迪巴特岛张文，张文，等.分数阶非线性微分方程的变分迭代解法.中国科学院学报，2000，24（1）：117 -118.数字。你好7（1）（2006）27-36。[11] 陈晓，李晓，陈晓，等.时间分数阶Fornberg-Whitham方程的变分 迭代法. 北京： 计算 机科学出版 社， 2000 ， 21（3）：117 - 118. 63（9）（2012）1382- 1388。[12] J.H.作者：He，F. Austin，应遵循的变分迭代法，非线性科学。Lett. 1（1）（2010）1-30。[13] 张文，张文龙，等离子体动力学的一种新方法，北京：机械工程出版社. 2005（22）（2005）3703-3709。[14] D. Kaya，S.M. El-Sayed，广义Burger-Fisher方程的数值模拟和显式解，应用。数学。计算。152（2004）403-413。[15] 吴文，张文，等，一类非线性抛物型方程的双曲正切方法及其精确解，北京：高等数学出版社。Equat. 143.第143号决议。[16] J.H.何，强非线性方程组的一些渐近方法，国际现代物理学报B 20（10）（2006）1141-1199。[17] E.M. Abulwafa，M.A. Abdou，A.A. Mahmoud，具有质量损失的非线性凝聚问题的解，混沌孤子分数。29（2）（2006）313-330。[18] A. Bekir，用双指数函数法求解Cahn-Allen方程的多孤子解，物理。波动现象。 20（2）（2012）118-121。[19] 张文龙，张文龙，等.非线性方程组的双曲正切和正弦余弦解的 数值模 拟. 北京 ：计 算机科 学出版社 ，2000 ， 24（3）：117 - 118. 195（1）（2008）24-33。