理论计算机科学电子笔记261（2010）131-145www.elsevier.com/locate/entcs基于LRD M/G/∞过程M. E. Sousa-Vieira1，A. 苏阿雷斯-冈萨雷斯河F. R odr'ıguez-Rubio，C. 洛佩埃斯-加尔恰西班牙维哥大学电信工程系摘要视频在互联网上的流量中所占的比例越来越大。这种传输的特征在于高突发性和强的短程和长程相关性，这从性能的角度来看是非常重要的。 特别地，合成样本路径的高效生成是基本的，因为真实的迹线通常长度有限，并且缺乏执行这种分析所需的必要多样性。 在本文中，我们专注于M/G/∞过程，由于其理论上的简单性，它的不稳定性表现出短期和长期依赖性和它的优势，模拟研究相比，其他类型的过程，我们改进的调整短期相关的LRD M/G/∞为基础的过程添加自回归滤波器。保留字：视频传输建模; M/G/∞过程;相关性;综合效率在线生成1引言随着多媒体应用的日益普及，视频数据在Internet上的传输量中所占的比例越来越大。因此，适当的视频传输模型，其特征在于高突发性和强正相关性，是非常重要的网络结构和协议的性能评估。在过去的十年中，几项传输研究令人信服地表明，在几种传输中存在持续的相关性，如VBR视频[14，3，23，4，7，32]。这些实验发现刺激了交通随机建模的一个新分支，因为相关性对性能指标的影响可能是巨大的[17，15，22，16，8]。所以，研究随机过程的种类，1通讯作者。电话：+34986813472;传真：+34986812116邮箱：estela@det.uvigo.es该工作由Minis tériod e Educacióny Cie ncia根据TSI 2006-12507-C 03-02法规进行，并由FEDER 提供部分资金。1571-0661 © 2010 Elsevier B.V. 在CC BY-NC-ND许可下开放访问。doi：10.1016/j.entcs.2010.01.009132法医Sousa-Vieira等人理论计算机科学电子笔记261（2010）131∞可以通过使用很少的参数来显示不同形式的相关性（简约建模）对于瞬态建模目的是必要的。这些过程中的一些是分数高斯噪声（FGN）、分数自回归积分移动平均值（F-ARIMA）和M/G/∞。这些过程在性能评估中的使用开辟了新的问题和研究问题，在模拟研究中，合成样本路径的有效生成是根本，因为真正的轨迹通常是有限的长度和缺乏必要的多样性进行这种分析。基于不同的随机方法[10，13，18，20，21，9，25]，已经进行了几项工作来建模VBR视频传输。我们关注M/G/∞过程[5]，由于其理论简单，其表现出短程和非短程两种特性的灵活性，相关性（SRD）和长程相关性（LRD）及其在模拟研究中的优势[13，24]，例如在线生成的可能性（FGN和F-ARIMA过程的主要缺点是只有用于轨迹生成的非线性方法才足以有效地用于实际应用[19]）和较低的计算成本[27]。在本文中，我们改进的LRD M/G/∞为基础的过程的短期相关性的调整添加自回归滤波器。为了将模型应用于具有类似于实序列的相关结构的道的合成生成，一个基本问题是模型参数的估计。在文献[31，1，30]中提出的方法中，基于Whittle估计的方法特别有趣，因为它们允许拟合整个谱密度并获得估计参数的置信区间。此外，在[26]中，我们提出了一种基于Whittle估计的预测误差的方法，提出了几种基于M/G/∞过程的VBR视频压缩传输模型，这一点导致了对频谱密度的更好调整，从而导致了对传输模型的相关结构的更好调整。在本文中，我们推广这种方法，以处理新的模型。此外，我们检查数字上更好的调整是否显著。本文的其余部分组织如下。我们在第2节开始回顾与M/G/∞过程有关的主要概念，在第3节回顾与Whittle估计量有关的主要概念。在第4节中，我们解释了VBR视频的模型我们在这项工作中提出和比较的traperc。在第5节中，我们解释了如何使用Whittle估计来检查新模型是否更灵活，以便拟合从经验VBR迹线测量的自相关函数。最后，第6节给出了结论性意见和进一步工作的指导方针。2M/G/∞过程M/G/∞过程[5]，X，是M/G/∞的占有过程的平稳形式。系统。 设λ为到达系统的到达率，并表示为S是服务时间分布，具有有限平均值E[S]。考虑离散时间分析[29]，如果初始用户数是法医Sousa-Vieira等人理论计算机科学电子笔记261（2010）131133∞Σ|XN|2πN。i=0..Poisson随机变量λE[S]的平均值，它们的服务时间是相互独立的，并且具有相同的随机性，S的时间间隔为S，S^：Σ ΣPrS^=k=Pr [S≥k]英[西]则随机过程X是严格意义平稳的，遍历的，并且具有以下性质：• 它具有泊松边际分布，平均值为：E[X] =λE[S]，• 自相关函数为：r[k] = PrΣΣS^>k好吧因此，X的自相关结构完全由分布决定S.如果自相关函数是可求和的，Σ∞k=0 r[k]，该过程显示Σ∞SRD，反之，如果自相关函数不可求和，k=0r[k]=∞该过程表现出LRD。特别地，M/G/∞过程在以下情况下表现出LRD：S具有无穷大方差，因为它发生在重尾分布中。在[13]中，作者证明了R~+值序列r[k]可以是平稳M/G/∞过程的自相关函数，S可积，当且仅当它是递减的整数凸的，且r[0]= 1，limk→∞r [k]= 0.以这样的在这种情况下，S的概率质量函数由下式给出Pr [S=k] =r[k−1]− 2r [k]+r[k+1]1−r [1]k>0，（1）其平均值为：3 Whittle估计量E[S]=1。1−r [1]设fθ（λ）是零均值高斯随机过程的谱密度函数cess，X={X; n = 1，2，. 让我（λ）=1 .一、N−1 X.e−jλi。是X的大小为N的样本的周期图。 θ ={θk; k = 1，.，M}是向量，参数估计。在MLE[31]中，假设向量θ^=、、、θ^k; k=1， . . ，M的N最小化，对于给定的样本x的大小为N的X，统计量：2n一期+1134法医Sousa-Vieira等人理论计算机科学电子笔记261（2010）131|π∫QN（θ）=ΔΣ1IXN|（λ）∫πdλ +Σlogfθ（λ）dλ .（二）X2π−π fθ（λ）−π法医Sousa-Vieira等人理论计算机科学电子笔记261（2010）131135- → ∞ηηєηє此外，如果θo是θ的实值：- 是的 .Σ. 你 好Pr. θ−θ。−N−→−∞→1N（θo）的协方差矩阵是一个高斯向量，其协方差矩阵C（θo）= 2 D−1（θo），即：∫πDij（θo）=∂∂logfθ（λ）..logf θ（λ）d λ。.（三）2 π−π θiθj.θ=θo因此，可以得到估计值的置信区间。通过选择一个特殊的尺度参数θ1，可以实现（2）的简化，使得：fθ（λ）=θ1fθ（λ）=θ1f（λ），和：π−πlogfθ（λ）dλ =∫πlogf（λ）dλ = 0，−π其中η ={θi; i = 1，2，.，M}和θ=（1，η）。由此可见：. 1θ1= exp2π∫πlogfθ−πΣ（λ）dλσ2=0，2π其中σ2是最优的一步前预测误差，等于过程的AR（∞）表示的新息的方差[2]：Σ∞Xi=j=1βjXi−j+ i。因此，等式（2）简化为：πIN|（λ）πIN|（λ）QN（θ）=Q<$N（η）=Xdλ =Xd λ。X|X|−πf （λ）−π f（λ）另外[2]：σ^2=QN|（η）。X我们使用σ^2作为一种方法，用于计算模型的剩余容量，因为σ^2的值是错误的є є˜ ∗（或QXN|（η^））m eAbe t e t t e ati m e tit e t it e a t i m e a t i m i m e a t i m e a t i m i m ea t i m4M/G/∞-基dLRD模型首先，我们记住了我们在以前的工作中提出的能够表现出LRD的基于M/G/∞1136法医Sousa-Vieira等人理论计算机科学电子笔记261（2010）131∞−10.10.010.0011e−041 4 16 64 256 1024KFig. 1. M/F/∞过程的自相关函数4.1LRD-1模型：M/F/∞该模型将所得到的M/G/∞过程的自相关函数固定在恰好二阶自相似过程的类内：Δ1Σr[k] =rH[k]=2 （k+1）2HH-2kΣH+ （k−1）阿斯克，也就是说，与FGN过程的自相关函数相同H是Hurst参数[12]。 对于0。5H 1的过程是LRD。<<由（1）得到了M/G/∞系统产生具有这种相关函数的占用过程时服务时间的概率质量函数。我们用F表示这个随机变量在图1中，我们显示了参数H的几个值的结果M/F/过程的自相关函数。4.2LRD-2模型：M/S/∞现在，该模型考虑了[29]中提出的重尾分布S作为M/G/∞排队系统的服务时间。所得自相关函数为：⎧⎪⎨1−α−1k∀k∈(0,m]r[k]=r{m，α}[k]=Δ. mα使用：⎪⎩1αmα−1k∈k≥m，α= 3 2H，⎧1.1Σ<$（αr[1]）α−1<$r[1]∈0，αm=0α−1Σ1Σn[1]∈α−αr[1]α，1。H =0。9H= 0。7H= 0。8H= 0。622法医Sousa-Vieira等人理论计算机科学电子笔记261（2010）131137∞10.10.010.00111 4 16 64 256 1024K0.10.010.0011 4 16 64 256 1024K图二. r 1 = 0时M/S/ ∞过程的自相关函数。5（顶部）和H = 0。7（底部）。若α∈（1，2），则H∈（0. 5， 1）和∞r[k] =∞。 因此，在这种情况下，{m，α}相关结构引起LRD过程。图 2.给出了Pame在图3中，我们表示具有相同Hurst参数值H = 0的不同LRD过程的自相关函数的队列。7，我们可以看到，只有M/G/∞过程缩放队列的尾部4.3对短期相关性调整的改进为了改善对先前过程的短期相关性的调整，我们建议添加自回归滤波器。具体来说，我们关注AR（1）滤波器的特殊情况。H =0。9H= 0。7H =0。8H= 0。6r 1=0。9r 1=0。5r 1= 0。1k=0138法医Sousa-Vieira等人理论计算机科学电子笔记261（2010）131K1K11−2 −10.010.0011e−0416384 32768 65536K图3.第三章。尾部的几类LRD过程的自相关函数如果Y是M/F/∞或M/S/∞原过程，则新过程可得到：Xn=α1Xn−1+Yn，其平均值和协方差与以下各项相关：E[X] = E[Y]，1−α1γX=11−α2.γY+ Σ∞i=1YK+Iαi+ Σ∞i=1Yk−iΣI.（四）重要的是要突出这不会修改行为的尾巴这是自相关函数的函数，因为它的自相关性是指数衰减的，正如我们在方程（4）中所观察到的。我们将得到的过程表示为M/F/∞-AR和M/S/∞-AR（并将基于它们的模型分别表示为LRD-1-AR和LRD-2-AR如果所得的自相关函数是递减的和凸的，我们可以通过（1）获得过程X的服务时间分布。在其他情况下，我们将不得不使用自回归滤波器从Y生成X，丢弃尽可能多的样本，以将生成器初始化为近似稳定状态。4.4Whittle估计在模型中的应用对于LRD-1模型，谱密度：f（λ）=fH（λ）=Δc...ejλ−。+∞H|2 πi + λ|F.1.一、i=−∞<$λ∈[−π，π]，M/S/∞，r1= 0。9M/S/∞，r =0。1M/S/∞，r =0。51 FGNF-ARIMA1γγα2法医Sousa-Vieira等人理论计算机科学电子笔记261（2010）131139Σ2CμX2B可以用欧拉公式有效地计算对于LRD-2模型，谱密度由[28]给出：.Δmα−11f（λ）=f{m，α}（λ）=Var[X]fh（λ）+αcos（λ）−α2π[m]1+cos（λk）Σα（m-k）+k-1. mΣΣα−1πk=1mα α k<$λ∈[−π，π]，其中fh是FGN过程的谱密度，h=（1−α），由方差对于LRD-1-AR和LRD-2-AR模型，如果fY（λ）是过程Y的谱密度，则X的谱密度可以如下获得：f（λ）=fY（λ）|2|2<$λ∈[−π，π]。5用Whittle估计选择最佳相关在本节中，我们将通过两个示例解释如何使用Whittle估计来检查新模型是否更灵活，以便拟合从经验VBR迹线获得的自相关函数我们考虑MPEG编码视频的图像组（GoP）大小的以下经验轨迹：为了同时调整边际分布和自适应，因为在所有情况下边际分布近似为对数正态分布，我们应用分布的变化。在每种情况下，A表示我们想要生成的过程，C表示M/G/∞我们开始的过程，应该具有足够高的平均值，以便泊松边缘分布可以被认为是近似高斯分布（我们选择σ2=μC= 106）。此外，我们考虑中间过程B= log（A），从中我们可以估算出参数。如果A具有对数正态边际分布，则B= log（A）具有高斯边际分布，均值，方差和自相关由[6]给出μB= log.2A，μ2+σ2A A.σ2Σ2= log1+A，一μσ140法医Sousa-Vieira等人理论计算机科学电子笔记261（2010）131μ2型号T-1 T-2LRD-14. 5173·10 −27. 6194· 10−24 .第四章1202·10 −27. 6157· 10−24. history 1296·10 −27. 6135· 10−24 .第四章1287·10 −27. 6128· 10−2c2Table1每个模型的σc1 .一 、r [k] σ2rB [k]=2个对数B1+AA一.（五）通过Whittle估计器计算的每个模型的参数估计值如下：• T-1：·分子式LRD-1：H2O。·分子式LRD-1-AR：α1=0。541和H^=0。799.·ModelLRD-2：rR1=0。892和H^=0。869.·分子式LRD-2-AR：α1=0。016，r^1=0。887和H^=0。861.• T-2：·分子式LRD-1：H2=0。879.·ModelLRD-1-AR：α^1=−0。042和H^=0。894.·ModelLRD-2：rR1=0。696和H^=0。873.·ModelLRD-2-AR：α^1=−0。131，r^1=0。749和H^=0。849.估计的方差（或置信区间）可以从（3）计算我们使用σ^2作为一种方法，用于计算模型的剩余容量，因为σ^2的值是错误的є є意味着在数值上更好地调整样本的经验相关性。在表1中，我们显示了预测误差的估计。结果表明，增加参数的数量会导致每个模型家族中的预测误差更小（更好地拟合谱密度）图在图4和图5中，我们示出了针对每个压缩机的自相关函数的调整。LRD-1模型中的H^1没有被表示出来。在这种情况下，强烈的短期相关性，我们也在LRD-1-AR模型的α1值较高时，H参数趋于1。一旦我们生成了过程C的样本，为了获得具有经验迹的均值和方差的对数正态边缘分布，我们应用逆变换：.B=T（C）= C−μC Σσ^+μ^，σCB Bσ法医Sousa-Vieira等人理论计算机科学电子笔记261（2010）131141BBσB一B10.90.80.70.60.50.40.30.20.10050 100 150 200K见图4。调整的自相关函数的经验迹10.90.80.70.60.50.40.30.20.100 50 100 150 200K图五.调整的自相关函数的经验痕迹beingσ^2A= exp（B），用Whittle估计器计算B的方差估计也就是说，考虑自相关结构。从（5）中，我们得到A和B的自相关之间的关系：..Σ Σ使用：^2一rA [k]=exp.σ^2rB[k]−1^2，一σ^2μ^A=expμ^B+B，2^2=exp.2μ^B+2σ^2Σ-exp.Σ2μ^B+σ^2.图图6和图7表示自相关函数的调整如果您有一个理想的环境，您可以在这里找到它。Again，可以表示Hn。1不使用该标准选择最佳模型的一个未决问题如下：LRD-1-ARLRD-2-ARLRD-2经验迹（E.E.）LRD-1-ARLRD-1LRD-2-AR经验迹（E.E.）LRD-2μσ142法医Sousa-Vieira等人理论计算机科学电子笔记261（2010）13110.90.80.70.60.50.40.30.20.10050 100 150 200K见图6。用每个模型调整经验轨迹的自相关函数。 “10.90.80.70.60.50.40.30.20.10050 100 150 200K见图7。 用每个模型调整经验轨迹的自相关函数。 “• 增加参数的数量意味着自相关函数的调整具有很大的灵活性，因此预测误差的估计会减少，但是，为了补偿模型复杂性的增加，这种改进是否有意义5.1谱密度为了解决这个问题，我们应用假设检验的谱密度，我们已经提出了在以前的工作。考虑两个模型0和1，我们设定以下零假设：H0：f（λ）=f0（λ），设f0（λ）为过程0的谱密度，模型0的基，以及备选模型：H1：f（λ）=f1（λ），其中f1（λ）是过程1的谱密度，模型1的基我们将检验统计量定义为假设零假设时的预测误差估计与预测误差估计之间的差异LRD-1-ARLRD-2-ARLRD-2经验迹LRD-1-ARLRD-1LRD-2-AR经验迹LRD-2法医Sousa-Vieira等人理论计算机科学电子笔记261（2010）131143E= 100001∞H当备择假设除以样本方差时的误差：Δσ^2（H0）−σ^2（H1）σ^2我们以经典的方式应用假设检验，选择参数较少的过程0，并选择具有固定显著性的临界区域。这样，如果我们不能拒绝零假设，我们应该认为具有更多参数的模型的明显更好的调整并不显著，因此我们应该考虑具有更少参数的模型作为一个例子，我们应用它之间的决策模型LRD-1和LRD-1-AR因此，我们认为零假设：作为备择假设：H0：f（λ）=fHc（λ），H1：f（λ）=fαc1，Hc（λ），由于H^0，由于M/F的时间和成本较低，因此需要对本产品进行评估。过程是基础过程，并且α^1和H^1 使用Whittle估计量并考虑以下因素获得参数α1和H的值：M/F/∞-AR过程作为基过程。我们生成500个不同大小的合成轨迹N∈ {4096， 8192， 16384， 32768， 65536， 131072}对于Hurst参数H∈{0。六，零。75，0。9}，我们计算出统计量的值。表2显示了显著性程度为5%时的估计临界区域W。为了验证检验在几种具体情况下的功效，我们生成了M/F/∞-AR过程的不同大小的500条合成迹线，以及H和α1的不同组合。具体地，N ∈ {4096，8192，16384，32768，65536，131072}，H ∈ {0。六，零。75，0。9}和α1∈ {− 0}。三，零。3};我们检查假设零假设被拒绝的参数的估计值，关键区域。 我们在表3中显示了结果。对于每一个经验轨迹，我们估计H参数假设零假设和插值的临界区域的边界，以检查是否拒绝零假设结果示于表4中。对于T-1，我们可以观察到零假设被拒绝，因此改进是显著的。对于T-2，检验未能拒绝零假设，因此对于该迹线，数值上更好的调整无法补偿模型复杂性的增加。144法医Sousa-Vieira等人理论计算机科学电子笔记261（2010）131NH = 0。6H = 0。75H = 0。94096（9. 82·10 −4，∞）（9. 4·10 −4，∞）（1. 5· 10−4，∞）8192（4. 531·10 −4，∞）（4. 302·10 −4，∞）（2. 881· 10−4，∞）16384（2. 27·10 −4，∞）（2. 12·10 −4，∞）（1. 4· 10−4，∞）32768（1. 251·10 −4，∞）（1. 008·10 −4，∞）（5. 6· 10−5，∞）65536（5. 39·10 −5，∞）（4. 35·10 −5，∞）（3. 8· 10−5，∞）131072（2. 911·10 −5，∞）（2. 231·10 −5，∞）（1. 211· 10−5，∞）表2在LRD-1和LRD-1-AR之间决定的测试中估计的关键区域NH = 0。6H = 0。75H = 0。9α1= −0。3 α1= −0。3 α1= −0。340965005005008192500500500163845005005003276850050050065536500500500131072500500500NH = 0。6α1 = 0。3H = 0。75α1 = 0。3H = 0。9α1 = 0。340964985005008192499500500法医Sousa-Vieira等人理论计算机科学电子笔记261（2010）131145163844995004983276850050050065536500500500131072500500500表3决定LRD-1和LRD-1-AR的检验功效146法医Sousa-Vieira等人理论计算机科学电子笔记261（2010）1310TRACEE^H^0WHcT-1245·10 −2 1（5. 21· 10−4，∞）T-22. 64·10 -40. 879 （4. 48· 10−4，∞）表4应用测试来决定LRD-1和LRD-1-AR之间的经验轨迹。需要强调的是，为了为每个跟踪选择最佳模型，测试必须扩展到其他模型组合。6结论和进一步的工作在本文中，我们改进了我们在以前的工作中提出的基于LRD M/G/∞过程的短期相关性的调整，此外，我们已经检查了数字上更好的调整是否是重要或不重要。由此产生的过程享有几个有趣的功能，作为原来的：高效，在线生成和捕获整个相关结构的可能性在一个吝啬的方式。与我们对AR（1）滤波器所做的相同，阶数可以增加，因此模型的参数数量也可以增加，直到改进不显著。引用[1] Abry，P.和D. 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