最大子矩阵的动态转移方程

最大子矩阵问题可以使用动态规划解决，其动态转移方程如下：

设 $dp[i][j]$ 表示以 $(i,j)$ 为右下角的最大子矩阵的和，则有：

$$
dp[i][j]=\begin{cases}
0, &\text{if } A[i][j]=0\\
dp[i][j-1]+A[i][j], &\text{otherwise}
\end{cases}
$$

其中 $A$ 为原始矩阵。

然后，我们可以使用类似于最大子序列和的思路，对 $dp$ 数组进行处理，找到其中的最大值即为最大子矩阵的和。具体而言，我们可以对每一行运用最大连续子序列和算法，得到以该行为底的最大子矩阵的和，再取所有行中最大的一个即可。

相关问题

最大子矩阵的动态规划转移方程

最大子矩阵问题是求一个矩阵中所有子矩阵中元素和最大的子矩阵。可以使用动态规划来解决该问题，其状态转移方程如下：

设矩阵为 $a_{1..n,1..m}$，令 $f_{i,j}$ 表示以 $(i,j)$ 为右下角的最大子矩阵的和，则有：

$f_{i,j}=\begin{cases} a_{i,j} &\text{if } i=1,j=1\\ \max(f_{i-1,j},0)+\max(f_{i,j-1},0)-\max(f_{i-1,j-1},0)+a_{i,j} &\text{if } i>1,j>1\\ \max(f_{i-1,j},0)+a_{i,j} &\text{if } i>1,j=1\\ \max(f_{i,j-1},0)+a_{i,j} &\text{if } i=1,j>1 \end{cases}$

其中 $\max(x,0)$ 表示取 $x$ 和 $0$ 中的较大值。最终的答案即为所有 $f_{i,j}$ 中的最大值。

最大子矩阵和问题的状态转移方程

最大子矩阵和问题可以使用动态规划来求解。我们可以定义一个动态规划状态 $dp(i,j)$ 表示以 $(i,j)$ 为右下角的矩阵中的最大子矩阵和。则最终答案为所有 $dp(i,j)$ 中的最大值。

接下来考虑如何进行状态转移。我们可以将矩阵按行来考虑，对每一行进行处理。对于第 $i$ 行，我们可以计算出以该行为底边的所有矩阵中的最大子矩阵和。具体来说，我们可以用一个数组 $sum$ 记录当前行及以上所有行中每列的前缀和，即 $sum_{k,j}=\sum\limits_{l=1}^{k}a_{l,j}$。然后对于第 $i$ 行，我们可以枚举该行的每一个左端点 $k$，然后计算以 $(i,j)$ 为右下角的矩阵中的最大子矩阵和。具体来说，我们可以先将第 $i$ 行的第 $k$ 列到第 $j$ 列的和计算出来，即 $s=\sum_{l=k}^{j}sum_{i,l}$，然后假设以 $(i,j)$ 为右下角的矩阵的上边界为 $p$，则该矩阵的面积为 $(j-k+1)\times (i-p+1)$，矩阵中元素的和为 $s\times (i-p+1)$。因此，以 $(i,j)$ 为右下角的矩阵中的最大子矩阵和为 $s\times (i-p+1)$，其中 $p$ 满足 $\sum_{l=k}^{j}\sum_{m=p}^{i}a_{m,l}\leq s$，即 $p$ 是最大的满足条件的上边界。我们可以用前缀和来快速计算 $\sum_{l=k}^{j}\sum_{m=p}^{i}a_{m,l}$，因此时间复杂度为 $O(n^3)$。

综上所述，状态转移方程为：

$$
dp(i,j)=\max_{k=1}^{j}\{dp(i-1,k)+(j-k+1)\times s(i,k,j)\}
$$

其中 $s(i,k,j)$ 表示第 $i$ 行的第 $k$ 列到第 $j$ 列的和，即 $s(i,k,j)=\sum\limits_{l=k}^{j}\sum\limits_{m=1}^{i}a_{m,l}$。初始状态为 $dp(1,j)=s(1,1,j)$。最终答案为 $\max\limits_{i,j}\{dp(i,j)\}$。