z = (8cos(t) - 4sin(t) + 6)/3,求z取值
时间: 2023-08-07 12:08:22 浏览: 32
根据参数方程可得:
z = (8cos(t) - 4sin(t) + 6)/3
为了求出z的取值范围,需要分别求出cos(t)和sin(t)的取值范围。
由于cos(t)和sin(t)的值在[-1, 1]之间取值,所以:
-8/3 ≤ 8cos(t)/3 ≤ 8/3
-4/3 ≤ -4sin(t)/3 ≤ 4/3
将上述两个不等式相加,并且移项得到:
-10/3 ≤ (8cos(t) - 4sin(t))/3 ≤ 10/3
再将z的表达式代入上述不等式中,得到:
-4/3 ≤ z - 2 ≤ 10/3
移项得到:
2/3 ≤ z ≤ 16/3
因此,z的取值范围为[2/3, 16/3]。
相关问题
将椭圆曲线表示为向量的形式: r(t)=(3+4 cost,4+4 sint,(8 cost-4 sint+6)/3) 得到该曲线的切向量和法向量 r'(t)=(-4 sint,4 cost,(8 cost-4 sint)/3) (2.12) r''(t) =(-4 cost,-4 sint,(8 cost+4 sint)/3),分析该椭圆的中心点及z轴范围
该椭圆曲线的参数方程为:
x = 3 + 4cos(t)
y = 4 + 4sin(t)
z = (2(3+4cos(t)) - (4+4sin(t)) + 4)/3
将 x、y、z 分别减去它们的平均值,即可得到中心点的坐标:
x0 = (1/2π)∫[0,2π] (3 + 4cos(t))dt = 3
y0 = (1/2π)∫[0,2π] (4 + 4sin(t))dt = 4
z0 = (1/2π)∫[0,2π] [(2(3+4cos(t)) - (4+4sin(t)) + 4)/3]dt = 2
因此,该椭圆曲线的中心点坐标为 (3, 4, 2)。
要求该椭圆曲线在 z 轴上的范围,可以找到椭圆曲线在 z 轴上的交点,即令 x = 3 和 y = 4,解得:
z = (2(3+4cos(t)) - (4+4sin(t)) + 4)/3
=> 9 + 8cos(t) - 4sin(t) = 4 + 4sin(t)
=> cos(t) = -3/2
由于 cos(t) 的取值范围为 [-1, 1],因此该椭圆曲线在 z 轴上无交点,即它不与 z 轴相交。因此,该椭圆曲线在 z 轴上的范围为 (-∞, +∞)。
参数方程为 {█(x=3+4 cost@y=4+4 sint@z=(2(3+4 cost)-(4+4 sint)+4)/3)┤ (2.10) 通过对参数方程进行分析来判断交线的形状,可发现该柱面与平面的交线形状是椭圆,以下为分析。 我们可以将(2.10)表示为向量的形式: r(t)=(3+4 cost,4+4 sint,(8 cost-4 sint+6)/3) (2.11) 得到该曲线的切向量和法向量 r'(t)=(-4 sint,4 cost,(8 cost-4 sint)/3) (2.12) r''(t) =(-4 cost,-4 sint,(8 cost+4 sint)/3),由此分析曲线中心和z取值
根据切向量和法向量的定义,可以得到曲线在某点的切线方向和法向量方向。对于参数方程(2.11)和(2.12),可以计算出:
- 当 t=0 时,r'(t)=(0, 4, 8/3),r''(t)=(-4, 0, 8/3);
- 当 t=π/2 时,r'(t)=(-4, 0, 4/3),r''(t)=(0, -4, 4/3)。
由于切向量和法向量垂直,可以得到切线方向和法向量方向分别为:
- 当 t=0 时,切线方向为(0, 1, 0),法向量方向为(4/3, 0, -4);
- 当 t=π/2 时,切线方向为(-1, 0, 0),法向量方向为(0, 4/3, -4)。
根据分析可知,该曲线的中心位于点(3, 4, 2),法向量方向为(4/3, 0, -4)和(0, 4/3, -4)的平面与该曲线的交线形状是椭圆。同时,由于曲线的中心位于点(3, 4, 2),所以z的取值范围为[2/3, 16/3]。