一个总体服从N(1,4)从中抽取N个样本,Y=求和(xi-1)^2 为了达到p(y大于等于100)大于等于0.95 样本n最大可以取到多少
时间: 2024-04-06 13:35:15 浏览: 13
根据中心极限定理,当样本量充分大时,样本均值服从均值为总体均值,方差为总体方差除以样本量的正态分布。因此,当样本量足够大时,可以将样本均值作为总体均值的一个良好估计。同时,样本方差的无偏估计量为s^2=X^2/n-1。
因此,我们可以利用样本均值的正态分布特性和样本方差的无偏估计量,来计算样本量n的最大值。
首先,p(Y>=100)>=0.95,根据定义,Y的分布为卡方分布,因此有:
P(Y >= 100) = P[(n-1)*s^2/4 >= 25]
移项得到:
P(s^2 >= 100/(n-1)*4) >= 0.95
因为s^2的分布为卡方分布,自由度为n-1,因此有:
P[(n-1)*s^2/4 <= 100] >= 0.95
根据中心极限定理,当样本量n足够大时,(n-1)*s^2/4服从均值为(n-1)*4/4=n-1,方差为2*(n-1)^2/(2n-1)的正态分布。因此,可以利用正态分布的性质,将上式转化为:
P[Z <= (100/(n-1)-n+1)/sqrt(2*(n-1)^2/(2n-1))] >= 0.95
其中,Z为标准正态分布。利用正态分布的性质,可以得到:
(100/(n-1)-n+1)/sqrt(2*(n-1)^2/(2n-1)) = z0.95
其中,z0.95为标准正态分布上分位数为0.95时的取值,约为1.645。
将上式化简得到:
100/(n-1)-n+1 = z0.95*sqrt(2*(n-1)^2/(2n-1))
移项并平方得到:
(n-1)^2 = 200*z0.95^2/(2z0.95^2-1)
解得:
n-1 = sqrt(200*z0.95^2/(2z0.95^2-1))
n = sqrt(200*z0.95^2/(2z0.95^2-1))+1
代入z0.95=1.645得到:
n = 32.19
因此,样本量n的最大值为32。