S=[0 0.4 -2.5;-0.4 0 -1;2.5 0.1 0]，且d'(t)=S*d(t),d(0)=[1 1 1]'。请问d是否有界

要判断$d$是否有界，需要求出$d$的范数是否有上界。根据定义，$d$的范数为：

$$\left\|d(t)\right\|=\sqrt{d_1^2(t)+d_2^2(t)+d_3^2(t)}$$

则有：

$$\frac{d}{dt}\left(\left\|d(t)\right\|\right)=\frac{1}{\left\|d(t)\right\|}\frac{d}{dt}\left(d_1^2(t)+d_2^2(t)+d_3^2(t)\right)$$

根据题目中的条件，有：

$$\frac{d}{dt}\left(\left\|d(t)\right\|\right)=\frac{1}{\left\|d(t)\right\|}\left(2d_1(t)\frac{dd_1(t)}{dt}+2d_2(t)\frac{dd_2(t)}{dt}+2d_3(t)\frac{dd_3(t)}{dt}\right)$$

将$d'(t)=Sd(t)$代入上式，可得：

$$\begin{aligned}\frac{d}{dt}\left(\left\|d(t)\right\|\right)&=\frac{1}{\left\|d(t)\right\|}\left(2d_1(t)(0.4d_2(t)-2.5d_3(t))+2d_2(t)(-0.4d_1(t)-d_3(t))+2d_3(t)(2.5d_1(t)+0.1d_3(t))\right)\\&=\frac{1}{\left\|d(t)\right\|}\left(-0.8d_1(t)d_2(t)+2.5d_1(t)d_3(t)-0.4d_2^2(t)-d_3^2(t)+0.1d_3^2(t)\right)\end{aligned}$$

根据上式，要判断$d$是否有界，只需判断$\frac{d}{dt}\left(\left\|d(t)\right\|\right)$是否有上下界。

对于$\frac{d}{dt}\left(\left\|d(t)\right\|\right)$的每一项，可以发现：

$$\begin{aligned}-0.8d_1(t)d_2(t)+2.5d_1(t)d_3(t)&\leqslant\sqrt{(-0.8d_1(t)d_2(t))^2+(2.5d_1(t)d_3(t))^2}\\&\leqslant\sqrt{(0.8d_1^2(t)+2.5d_1^2(t))(d_2^2(t)+d_3^2(t))}\\&=\sqrt{(3.29)(d_2^2(t)+d_3^2(t))}\end{aligned}$$

$$-0.4d_2^2(t)-d_3^2(t)+0.1d_3^2(t)\leqslant-0.4d_2^2(t)+0.1d_3^2(t)\leqslant-0.3d_3^2(t)$$

因此，对于$\frac{d}{dt}\left(\left\|d(t)\right\|\right)$，有：

$$\frac{d}{dt}\left(\left\|d(t)\right\|\right)\leqslant\frac{1}{\left\|d(t)\right\|}\sqrt{(3.29)(d_2^2(t)+d_3^2(t))}-0.3d_3^2(t)$$

可以看出，当$d_2(t)$和$d_3(t)$的值趋近于无穷大时，$\frac{d}{dt}\left(\left\|d(t)\right\|\right)$也会趋近于无穷大。因此，$d$无界。