有限差分法五点差分求薛定谔方程

薛定谔方程的一维时间无限深势阱问题可以使用有限差分法进行求解。在使用五点差分的情况下，可以将波函数在空间上的导数用中心差分的方式进行近似，而时间上的导数可以用向前差分或者向后差分的方式进行近似。

具体地，我们可以将时间和空间的范围分别离散化，对波函数 $\psi(x,t)$ 进行差分近似，得到

$$
\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} = \frac{\psi_{i+1,j} - 2\psi_{i,j} + \psi_{i-1,j}}{\Delta x^2}
$$

其中 $\Delta x$ 表示空间步长，$\psi_{i,j}$ 表示波函数在第 $i$ 个空间点和第 $j$ 个时间点的值。

对时间导数的近似可以分别采用向前差分和向后差分，分别得到

$$
\frac{\partial \psi}{\partial t} \approx \frac{\psi_{i,j+1} - \psi_{i,j}}{\Delta t} \quad \text{(向前差分)}
$$

$$
\frac{\partial \psi}{\partial t} \approx \frac{\psi_{i,j} - \psi_{i,j-1}}{\Delta t} \quad \text{(向后差分)}
$$

将上述两个式子代入薛定谔方程中得到

$$
i\hbar \frac{\psi_{i,j+1} - \psi_{i,j}}{\Delta t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\psi_{i+1,j} - 2\psi_{i,j} + \psi_{i-1,j}}{\Delta x^2} + V(x_i) \psi_{i,j}
$$

这个方程可以用来递推求解波函数在不同时间点和空间点的值。