时间分数阶薛定谔方程的有限差分法python程序

时间分数阶薛定谔方程是一类特殊的薛定谔方程，它包含了分数阶时间导数。以下是一个简单的示例程序，使用有限差分法求解时间分数阶薛定谔方程的Python代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 设置参数
L = 1  # 空间区间长度
N = 1000  # 离散点数目
h = L / N  # 离散步长
x = np.linspace(0, L, N)  # 空间网格点

# 初始化波函数和势能
psi = np.zeros(N)
V = np.zeros(N)
V[int(N/2-50):int(N/2+50)] = 1  # 设置势能区域

# 设置时间参数
T = 0.01  # 总时间
dt = 0.00001  # 时间步长
n_steps = int(T / dt)  # 时间步数

# 设置分数阶参数
alpha = 0.5  # 分数阶指数

# 循环求解
for i in range(n_steps):
    # 计算波函数的二阶导数
    d2_psi = (np.roll(psi, -1) - 2 * psi + np.roll(psi, 1)) / (h**2)
    
    # 计算波函数的分数阶导数
    d_psi_alpha = (np.roll(psi, -1) - psi) / (dt**alpha)
    
    # 根据时间分数阶薛定谔方程更新波函数
    psi += -1j * dt * (d2_psi + V * psi) + 1j * dt**alpha * d_psi_alpha
    
# 绘制结果
plt.plot(x, abs(psi)**2)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('|psi(x)|^2')
plt.show()

这个程序在求解过程中，考虑了时间分数阶导数对波函数的影响。通过添加一个额外的分数阶参数 `alpha`，并修改波函数更新的表达式，我们可以实现对时间分数阶薛定谔方程的求解。其余部分与标准的有限差分法类似。

请注意，这个程序仅仅是一个简单的示例，可能不适用于复杂的情况。对于时间分数阶薛定谔方程的精确求解，通常需要使用更高级的数值方法和算法。