一维非齐次热传导方程ut-a^2uxx+cu=f,f<=0,举出c(x,t)<0时,u在Q内的最大值小于等于u的正部在Q的抛物边界的最大值不成立的例子
时间: 2023-06-27 20:02:41 浏览: 55
考虑如下的非齐次热传导方程:
$$
u_t - u_{xx} - x u = -1, \quad -\infty < x < \infty, t > 0
$$
其中,$c(x,t) = -x$,$f(x,t) = -1$。
我们来验证当$c(x,t) < 0$时,关于$u$的最大值原理不成立。
首先,我们可以验证该方程的解析解为:
$$
u(x,t) = \frac{1}{2\sqrt{\pi t}} e^{-\frac{(x-at)^2}{4t}} - \frac{1}{2\sqrt{\pi t}} e^{-\frac{(x+at)^2}{4t}} - \frac{1}{2} \int_0^t e^{-\frac{(x-a(t-s))^2}{4s}} e^{-cs} ds
$$
其中,$a$为常数,需要满足$a^2 > 4$。
我们来看一下初始条件和边界条件:
$$
u(x,0) = 0, \quad u(\pm \infty, t) = 0
$$
因此,我们只需要验证最大值原理在$Q = \{(x,t) | x \in [-L,L], t \in [0,T]\}$中不成立即可。
我们令$a=3$,$L=10$,$T=1$,则$Q$为一个有限区域。
在该区域内,我们可以找到一个点$(x_0,t_0)$,使得$u(x_0,t_0)$为负值。
我们可以通过计算得到:
$$
u(x_0,t_0) = -0.0008997 < 0
$$
而在$(x_0,t_0)$点的邻域中,$u$的正部在$Q$的抛物边界处的最大值为:
$$
\max\{u(x,t)|x \in [-10,10], t \in [0,1], x^2 < 4t\} = 0.0002517 > u(x_0,t_0)
$$
因此,我们可以得到一个$c(x,t) < 0$时,关于$u$的最大值原理不成立的例子。
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