设高度为h的二叉树上只有度为0和度为2的节点,求此类二叉树所包含的节点数至少是多少
时间: 2023-08-31 14:18:38 浏览: 111
### 回答1:
对于一棵高度为h的二叉树,它的最小节点数是h+1,即当它退化成一条链时,每个节点都有两个孩子,除了最后一层的叶子节点。因此,我们可以考虑构造一棵高度为h的满二叉树,它的节点数为2^(h+1)-1。然后,将其最后一层的叶子节点剪去并用度为0的节点代替,得到的树就是所求的二叉树。因为最后一层有2^h个节点,所以至少需要剪去2^h个节点,此时的节点数为2^(h+1)-1-2^h+1=2^h。因此,此类二叉树所包含的节点数至少是2^h。
### 回答2:
设二叉树上只有度为0的节点数为a,度为2的节点数为b。由于二叉树的性质可知,度为0的节点个数和度为2的节点个数均比度为1的节点个数多一个,故度为1的节点数为b-1。由此可得,二叉树的总节点数为a + (b-1) + b = a + 2b - 1。
又已知二叉树的高度为h,即从根节点到最深处的叶子节点的距离为h。由于只有度为0和度为2的节点,且根节点到叶子节点有h个节点,那么从根节点到除最后一个节点的距离为h-1。由于每个度为2的节点都会有两个分支,每个分支为一条路径,所以在h-1层上有2^(h-1)个节点。而最后一个节点为叶子节点,是度为0的节点,因此在h层上只有一个节点。
综上所述,总节点数为a + 2b - 1 = 2^(h-1) + 1。由此可得,此类二叉树所包含的节点数至少是2^(h-1) + 1。
### 回答3:
我们知道,在一个二叉树中,度为0的节点表示叶子节点,度为2的节点表示内部节点。根据题目中的条件,我们可以推断出,这个二叉树的所有叶子节点和内部节点之间的关系。
设叶子节点的个数为L,内部节点的个数为N。根据二叉树的性质,叶子节点的个数L=N+1。因为在一个有N个内部节点的二叉树中,总共有N+1个叶子节点。
又根据题目的条件可知,每个内部节点都有2个子节点(即度为2),且叶子节点没有子节点(即度为0)。所以,每个内部节点可以“消耗”2个叶子节点。也就是说,每个内部节点都有2个度为0的子节点。
由此可得出等式:2N = L。
将L=N+1带入上式,得到:2N = N + 1。
解方程可得:N = 1,表示内部节点的个数为1。
又因为叶子节点的个数L=1+1=2,所以这个二叉树的叶子节点个数为2,内部节点个数为1。
总的节点数为叶子节点个数加上内部节点个数,即2+1=3。
所以,这个满足条件的二叉树所包含的节点数至少为3个。