密度函数为((2*pi)^(1/2)b)^(-3)(x-a)^2 * exp{-(x-a)^2/(2b^2)}的分布的费舍尔信息矩阵
时间: 2024-06-06 20:06:37 浏览: 10
该分布的费舍尔信息矩阵为:
I(θ) = -E[∂^2 log f(x;θ) / ∂θ^2]
其中,f(x;θ)为概率密度函数,θ为分布的参数。
对于该分布,参数θ为(a,b)。因此,我们需要分别求出关于a和b的偏导数和二阶偏导数,然后代入概率密度函数求期望即可。
关于a的偏导数为:
∂ log f(x;θ) / ∂a = (x-a) / b^2
关于a的二阶偏导数为:
∂^2 log f(x;θ) / ∂a^2 = -1/b^2
关于b的偏导数为:
∂ log f(x;θ) / ∂b = (3(b^2-(x-a)^2))/(2*b^3)
关于b的二阶偏导数为:
∂^2 log f(x;θ) / ∂b^2 = (3(x-a)^2-3b^2)/(b^4)
将上述结果代入费舍尔信息矩阵的公式中,得到:
I(θ) = [ E[(x-a)^2 / b^4] E[(3(b^2-(x-a)^2))/(2*b^5)]
E[(3(b^2-(x-a)^2))/(2*b^5)] E[(3(x-a)^2-3b^2)/(b^6)] ]
其中,期望值E[...]需要对概率密度函数求积分,即:
E[(x-a)^2 / b^4] = ∫[(x-a)^2 / b^4 * f(x;θ)] dx
= ∫(x^2 - 2ax + a^2) / b^6 * exp{-(x-a)^2/(2b^2)} dx
= (2b^2 + a^2) / b^6
E[(3(b^2-(x-a)^2))/(2*b^5)] = ∫(3(b^2-(x-a)^2))/(2*b^5) * f(x;θ) dx
= ∫(3b^2-3(x-a)^2) / (2b^5) * exp{-(x-a)^2/(2b^2)} dx
= 0
E[(3(x-a)^2-3b^2)/(b^6)] = ∫(3(x-a)^2-3b^2)/(b^6) * f(x;θ) dx
= ∫[3(x-a)^2/b^6 - 3/b^4] * exp{-(x-a)^2/(2b^2)} dx
= (3/2b^4 - 3/b^4) = -3/(2b^4)
因此,费舍尔信息矩阵为:
I(θ) = [ (2b^2 + a^2)/b^6 0
0 -3/(2b^4)]
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