如何用Schur Complement将不等式化简为矩阵形式?
时间: 2024-05-31 11:14:05 浏览: 20
Schur Complement是一种将一个大的矩阵分解为子矩阵的方法,并且可以将不等式化简为矩阵形式。
假设有一个不等式约束条件 $Ax \leq b$,其中 $A$ 是一个 $m \times n$ 的矩阵,$x$ 是一个 $n \times 1$ 的向量,$b$ 是一个 $m \times 1$ 的向量。
我们可以引入一个额外的变量 $s$,并将不等式约束条件转化为一个等式约束条件:
$$
Ax + s = b \\
s \geq 0
$$
其中,$s$ 是一个 $m \times 1$ 的向量,表示松弛变量。
然后,我们可以将 $A$ 分解为如下形式:
$$
A =
\begin{bmatrix}
A_{11} & A_{12} \\
A_{21} & A_{22}
\end{bmatrix}
$$
其中,$A_{11}$ 是一个 $k \times k$ 的矩阵,$A_{12}$ 是一个 $k \times (n-k)$ 的矩阵,$A_{21}$ 是一个 $(m-k) \times k$ 的矩阵,$A_{22}$ 是一个 $(m-k) \times (n-k)$ 的矩阵。
然后,我们可以将 $s$ 分解为如下形式:
$$
s =
\begin{bmatrix}
s_1 \\
s_2
\end{bmatrix}
$$
其中,$s_1$ 是一个 $k \times 1$ 的向量,$s_2$ 是一个 $(m-k) \times 1$ 的向量。
现在,我们可以将原始的约束条件转化为如下形式:
$$
\begin{bmatrix}
A_{11} & A_{12} \\
A_{21} & A_{22}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
s_1 \\
s_2
\end{bmatrix}
=
b
$$
其中,$x_1$ 是一个 $k \times 1$ 的向量,$x_2$ 是一个 $(n-k) \times 1$ 的向量。
现在,我们可以利用 Schur Complement 将约束条件化简为如下形式:
$$
A_{11} x_1 + A_{12} x_2 + s_1 = b_1 \\
A_{21} x_1 + A_{22} x_2 + s_2 = b_2 \\
s_1 \geq 0
$$
其中,$b_1$ 是一个 $k \times 1$ 的向量,$b_2$ 是一个 $(m-k) \times 1$ 的向量。
现在,我们可以利用 $s_1 \geq 0$ 的条件,将约束条件进一步化简为如下形式:
$$
\begin{bmatrix}
A_{11} & A_{12} \\
A_{21} & A_{22}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
s_1 \\
0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
b_1 \\
b_2
\end{bmatrix}
$$
现在,我们可以将上述等式约束条件转化为一个矩阵形式:
$$
\begin{bmatrix}
A_{11} & A_{12} \\
A_{21} & A_{22}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{bmatrix}
-
\begin{bmatrix}
b_1 \\
b_2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
I & 0 \\
0 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
s_1 \\
0
\end{bmatrix}
\leq
\begin{bmatrix}
0 \\
0
\end{bmatrix}
$$
其中,$I$ 是一个 $k \times k$ 的单位矩阵。
这样,我们就将原始的不等式约束条件化简为了一个矩阵形式,可以用线性规划算法求解。
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