已知正例点x1=(3,3)T, x2=(4,3)T, 负例点x3=(1,1)T,试求期最大间隔分离超平面,并利用对偶算法求出线性可分支持向量机的分离超平面和分类决策函数。
时间: 2023-09-28 13:12:06 浏览: 160
这是一个典型的线性可分支持向量机问题。首先,我们需要对数据进行预处理,将数据点转化为向量形式。令$x_1=(3,3)^T$,$x_2=(4,3)^T$,$x_3=(1,1)^T$,则正例点集为$X_+=\{x_1,x_2\}$,负例点$x_3$。为了方便计算,我们将正例点的类别标签设为$y_i=1$,将负例点的类别标签设为$y_i=-1$。
接着,我们需要求解最大间隔超平面。最大间隔超平面是指与正例点和负例点的距离最大的超平面。我们设最大间隔超平面的方程为$w^Tx+b=0$,其中$w$为法向量,$b$为偏置项。则,对于任意点$x$,其到超平面的距离为$\frac{|w^Tx+b|}{||w||}$。因为我们的目标是求解最大间隔,因此我们需要最大化$\frac{2}{||w||}$,即最小化$||w||$。同时,我们需要保证所有的正例点都在超平面的一侧,所有的负例点都在另一侧。因此,我们需要满足以下约束条件:
$$\begin{cases}w^Tx_i+b \geq 1, y_i=1\\ w^Tx_i+b \leq -1, y_i=-1\end{cases}$$
我们可以将上述约束条件转化为以下形式:
$$y_i(w^Tx_i+b)\geq 1$$
因此,我们可以将问题转化为以下形式:
$$\min_{w,b} \frac{1}{2}||w||^2$$
$$s.t. y_i(w^Tx_i+b)\geq 1, i=1,2,3$$
接着,我们可以使用拉格朗日乘子法来求解上述问题。定义拉格朗日函数:
$$L(w,b,\alpha)=\frac{1}{2}||w||^2-\sum_{i=1}^3\alpha_i[y_i(w^Tx_i+b)-1]$$
其中,$\alpha_i$为拉格朗日乘子。我们需要求解以下问题:
$$\max_{\alpha} \min_{w,b} L(w,b,\alpha)$$
通过求解拉格朗日函数的偏导数,我们可以得到以下对偶问题:
$$\max_{\alpha} \sum_{i=1}^3\alpha_i-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3\alpha_i\alpha_jy_iy_jx_i^Tx_j$$
$$s.t. \alpha_i\geq 0, \sum_{i=1}^3\alpha_iy_i=0$$
解决上述问题可以得到拉格朗日乘子$\alpha_1=0.25,\alpha_2=0.25,\alpha_3=0.5$。因此,我们可以得到最大间隔超平面的法向量$w=\sum_{i=1}^3\alpha_iy_ix_i=(1,0)^T$,偏置项$b=y_1-w^Tx_1=2$。最终的分离超平面的方程为$x_1-x_2-2=0$。
分类决策函数为:
$$f(x)=sign(w^Tx+b)=\begin{cases}1, w^Tx+b>0\\-1, w^Tx+b<0\end{cases}$$
因此,当$x=(x_1,x_2)$时,分类决策函数为$f(x)=sign(x_1-x_2-2)$。
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