求解下列函数的单位序列响应:1、 (z^2-1)/(2z^3+2z^+2z+1)
时间: 2023-10-14 09:04:28 浏览: 35
首先,将分子和分母都除以 $z^2$,得到:
$$
\frac{1-\frac{1}{z^2}}{2z+\frac{2}{z}+2+z^2}
$$
然后,将分母进行因式分解,得到:
$$
2z^3+2z+\frac{2}{z}+1=(2z+1)(z^2+z+\frac{1}{2})+(2-\frac{1}{2z})
$$
将分母代入原式,得到:
$$
\frac{1-\frac{1}{z^2}}{(2z+1)(z^2+z+\frac{1}{2})+(2-\frac{1}{2z})}
$$
我们可以使用部分分式分解来求解这个式子。首先,将分母进行因式分解:
$$
(2z+1)(z^2+z+\frac{1}{2})+(2-\frac{1}{2z})=(2z+1)(z+\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}i)(z+\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}i)+\frac{4z-1}{2z}
$$
接下来,我们将分式拆分为三个部分:
$$
\frac{1}{(2z+1)(z+\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}i)(z+\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}i)}-\frac{\frac{1}{2}}{2z+1}+\frac{\frac{1}{2}}{2z}
$$
现在,我们可以使用Z变换的性质来求解每一部分的单位序列响应:
第一部分的Z变换为:
$$
\begin{aligned}
\mathcal{Z}\{ \frac{1}{(2z+1)(z+\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}i)(z+\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}i)} \}&=\mathcal{Z}\{ \frac{A}{2z+1}+\frac{B}{z+\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}i}+\frac{C}{z+\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}i}\} \\
&=A\frac{z^2+\frac{1}{2}z+\frac{1}{8}+\frac{\sqrt{2}}{8}iz+\frac{1}{32}i^2}{(2z+1)(z+\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}i)(z+\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}i)} \\
&+B\frac{(2z+1)(z^2+z+\frac{1}{2})+(2-\frac{1}{2z})}{(2z+1)(z+\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}i)(z+\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}i)} \\
&+C\frac{(2z+1)(z^2+z+\frac{1}{2})+(2-\frac{1}{2z})}{(2z+1)(z+\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}i)(z+\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}i)}
\end{aligned}
$$
将 $z=-\frac{1}{2}$ 代入上式,得到 $A=-\frac{1}{3}$。将 $z=-\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}i$ 代入上式,得到 $B=\frac{1}{3}-\frac{1}{3\sqrt{2}i}$。将 $z=-\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}i$ 代入上式,得到 $C=\frac{1}{3}+\frac{1}{3\sqrt{2}i}$。
因此,第一部分的单位序列响应为:
$$
\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^nu[n]-\frac{1}{3\sqrt{2}i}\left(\frac{-1+\sqrt{2}i}{4}\right)^nu[n]+\frac{1}{3\sqrt{2}i}\left(\frac{-1-\sqrt{2}i}{4}\right)^nu[n]
$$
第二部分的Z变换为:
$$
-\frac{1}{2}\cdot\frac{z}{z+\frac{1}{2}}
$$
因此,第二部分的单位序列响应为:
$$
-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)^nu[n]
$$
第三部分的Z变换为:
$$
\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{z}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{z+\frac{1}{2}}
$$
因此,第三部分的单位序列响应为:
$$
\frac{1}{2}u[n]-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)^nu[n]
$$
将三个部分的单位序列响应相加,就得到了原函数的单位序列响应。