用eigen实现LSSVR

LSSVR（Least Squares Support Vector Regression）是一种基于支持向量机（SVM）的回归方法。Eigen是一个C++模板库，专门用于线性代数运算，可以方便地进行矩阵计算。下面是用Eigen实现LSSVR的步骤：

1.导入Eigen库

#include <Eigen/Dense>

2.定义数据

假设有m个样本，每个样本有n个特征，标记为(x1,y1),(x2,y2),...,(xm,ym)，其中xi∈R^n，yi∈R。

Eigen::MatrixXd X(m, n); // 特征矩阵
Eigen::VectorXd y(m); // 标记向量

3.设置模型参数

LSSVR需要设置两个参数：惩罚因子C和径向基函数的宽度γ。

double C = 1.0; // 惩罚因子
double gamma = 0.1; // 径向基函数的宽度

4.计算核矩阵

LSSVR使用径向基函数作为核函数，核函数的值可以通过内积计算得到。我们可以使用Eigen的matrix()函数计算内积，然后再通过exp()函数计算径向基函数的值。

Eigen::MatrixXd K = Eigen::MatrixXd::Zero(m, m); // 核矩阵
for (int i = 0; i < m; i++) {
    for (int j = 0; j < m; j++) {
        K(i, j) = exp(-gamma * (X.row(i) - X.row(j)).squaredNorm());
    }
}

5.求解系数向量

LSSVR的求解过程可以转化为一个带有约束条件的二次规划问题，可以使用Eigen的QP求解器来求解。我们需要定义一个QPSolver类型的对象，并设置好约束条件和目标函数。

Eigen::VectorXd alpha = Eigen::VectorXd::Zero(m); // 系数向量
Eigen::VectorXd y_hat = Eigen::VectorXd::Zero(m); // 预测值向量
Eigen::QPSolver<double> solver(m, m); // QP求解器
Eigen::MatrixXd G = -Eigen::MatrixXd::Identity(m, m); // 约束矩阵
Eigen::VectorXd h = Eigen::VectorXd::Zero(m); // 约束向量
for (int i = 0; i < m; i++) {
    G(i, i) = -1;
    h(i) = 0;
}
solver.settings().setVerbosity(false); // 不输出求解信息
solver.solve(K, y, G, h, alpha); // 求解系数向量

6.预测新样本

对于新的样本x，预测值y_hat可以通过系数向量alpha和核函数计算得到。

Eigen::VectorXd predict(const Eigen::MatrixXd& X) {
    Eigen::VectorXd y_hat = Eigen::VectorXd::Zero(X.rows());
    for (int i = 0; i < X.rows(); i++) {
        double sum = 0;
        for (int j = 0; j < m; j++) {
            sum += alpha(j) * exp(-gamma * (X.row(i) - X.row(j)).squaredNorm());
        }
        y_hat(i) = sum;
    }
    return y_hat;
}

这样，我们就用Eigen实现了LSSVR。具体实现过程可能会根据数据和具体需求有所不同。