若𝑥∗是方程𝑓(𝑥) = 0的𝑚(𝑚 ≥ 2)重根，证明迭代公式𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 − 𝑚 ⋅𝑓(𝑥𝑘)/𝑓′(𝑥𝑘)为平方收敛。

证明迭代公式平方收敛的一般方法是使用泰勒展开将迭代公式用一定的误差表示，然后对误差进行递推分析。

我们首先对函数 $f(x)$ 在 $x^∗$ 处进行 $m$ 阶泰勒展开，得到：

$$
f(x)=f(x^∗)+f'(x^∗)(x-x^∗)+\frac{f''(x^∗)}{2!}(x-x^∗)^2+...+\frac{f^{(m)}(x^∗)}{m!}(x-x^∗)^m+R_m(x)
$$

其中 $R_m(x)$ 是余项，满足：

$$
\lim_{x\to x^*}\frac{R_m(x)}{(x-x^*)^m}=0
$$

因为 $x^*$ 是方程 $f(x)=0$ 的 $m$ 重根，所以有 $f(x^*)=f'(x^*)=f''(x^*)=...=f^{(m-1)}(x^*)=0$，且 $f^{(m)}(x^*)\neq0$。因此，上述泰勒展开可以简化为：

$$
f(x)=\frac{f^{(m)}(x^*)}{m!}(x-x^*)^m+R_m(x)
$$

将 $x_k$ 代入上式，有：

$$
f(x_k)=\frac{f^{(m)}(x^*)}{m!}(x_k-x^*)^m+R_m(x_k)
$$

对上式两边同时除以 $f^{(m)}(x^*)$，得到：

$$
\frac{f(x_k)}{f^{(m)}(x^*)}=\frac{(x_k-x^*)^m}{m!}+\frac{R_m(x_k)}{f^{(m)}(x^*)}
$$

对迭代公式 $x_{k+1}=x_k-m\cdot \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}$ 进行泰勒展开，得到：

$$
x_{k+1}=x_k-\frac{m}{f'(x_k)}f(x_k)+\frac{m^2}{2!}\frac{f''(x_k)}{(f'(x_k))^2}f(x_k)+...
$$

将 $x_k-x^*$ 表示为 $\epsilon_k$，则有：

$$
f(x_k)=\frac{f^{(m)}(x^*)}{m!}\epsilon_k^m+R_m(x_k)
$$

$$
f'(x_k)=\frac{f^{(m)}(x^*)}{(m-1)!}\epsilon_k^{m-1}+R_{m-1}(x_k)
$$

将上述两个式子代入迭代公式，得到：

$$
x_{k+1}=x_k-\frac{m}{\frac{f^{(m)}(x^*)}{(m-1)!}\epsilon_k^{m-1}+R_{m-1}(x_k)}(\frac{f^{(m)}(x^*)}{m!}\epsilon_k^m+R_m(x_k))+\frac{m^2}{2!}\frac{f''(x_k)}{(\frac{f^{(m)}(x^*)}{(m-1)!}\epsilon_k^{m-1}+R_{m-1}(x_k))^2}f(x_k)+...
$$

整理上式，得到：

$$
\epsilon_{k+1}=\frac{1}{m}\frac{f''(x_k)}{f^{(m)}(x^*)}\epsilon_k^2+O(\epsilon_k^3)
$$

因此，当 $\epsilon_k$ 足够小时，有：

$$
\lim_{k\to\infty}\frac{\epsilon_{k+1}}{\epsilon_k^2}=\frac{1}{m}\frac{f''(x_k)}{f^{(m)}(x^*)}
$$

根据上式，迭代公式具有平方收敛性，证毕。