已知pnp算法得出的平移向量求小球俯仰角

pnp算法得出的平移向量是相机坐标系下相机到目标物体的平移向量，需要转换为世界坐标系下的向量。

假设小球位于世界坐标系下的坐标为$(x,y,z)$，相机位于世界坐标系下的坐标为$(X_c,Y_c,Z_c)$，相机的朝向向量为$(u,v,w)$，平移向量为$(T_x,T_y,T_z)$。

则相机到小球的向量为$\vec{C}=(x-X_c,y-Y_c,z-Z_c)$，在相机坐标系下的表示为$\vec{C'}=(u,v,w)^\top\vec{C}$，其中$\top$表示向量的转置。

将平移向量$T=(T_x,T_y,T_z)$在相机坐标系下的表示为$T'=(u,v,w)^\top T$，则相机到小球的向量在相机坐标系下的表示为$\vec{C'}+T'$。

小球俯仰角$\theta$可以通过以下公式计算：

$$\theta=\arctan\left(\frac{z-Z_c-T_z}{\sqrt{(x-X_c-T_x)^2+(y-Y_c-T_y)^2}}\right)$$

其中$\arctan$表示反正切函数。

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已知相机的旋转矩阵求相机的平移向量C++

假设已知相机的旋转矩阵为R，我们要求相机的平移向量t。

根据相机模型，可以得到以下方程：Xc = R*Xw + t

其中Xc为世界坐标系下的点在相机坐标系下的坐标，Xw为世界坐标系下的点的坐标。

将方程改写为矩阵形式：[Xc;1] = [R t]*[Xw;1]

其中[Xc;1]和[Xw;1]表示包含变量和常数的列向量，[R t]表示包含旋转矩阵和平移向量的矩阵。

我们可以通过以下代码求解平移向量t：

#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Dense>

Eigen::Matrix3d R; // 旋转矩阵
Eigen::Vector3d t; // 平移向量

// 假设已知R为旋转矩阵，需要求解t
Eigen::Matrix<double, 3, 4> Rt; // [R t]
Rt.block<3, 3>(0, 0) = R;
Rt.block<3, 1>(0, 3) = t;

Eigen::Vector3d Xc; // 相机坐标系下的点的坐标
Eigen::Vector3d Xw; // 世界坐标系下的点的坐标

// 求解平移向量t
t = (Rt.inverse() * Xc.homogeneous()).homogeneous().block<3, 1>(0, 0) - Xw;

其中，Xc.homogeneous()和Xw.homogeneous()表示将向量转换为齐次坐标形式，即在向量末尾添加一个1，以便进行矩阵乘法运算。t = (Rt.inverse() * Xc.homogeneous()).homogeneous().block<3, 1>(0, 0)表示先将Xc转换为齐次坐标形式，然后用Rt的逆矩阵乘以Xc，最后再将结果转换为非齐次坐标形式。最后再减去Xw，即可得到平移向量t。

C++已知平面向量的坐标，求向量的夹角

可以使用向量的点积公式求出两个向量的夹角，公式如下：

cosθ = (a · b) / (|a| × |b|)

其中 a · b 为向量 a 和向量 b 的点积，|a| 和 |b| 分别为向量 a 和向量 b 的模长。

夹角 θ 的弧度值可以用反余弦函数求出：

θ = arccos(cosθ)

C++代码实现如下：

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

struct Vector {
    double x, y;  // 向量的坐标
};

double dot_product(Vector a, Vector b) {
    return a.x * b.x + a.y * b.y;  // 向量的点积
}

double vector_length(Vector v) {
    return sqrt(v.x * v.x + v.y * v.y);  // 向量的模长
}

double vector_angle(Vector a, Vector b) {
    double cos_theta = dot_product(a, b) / (vector_length(a) * vector_length(b));  // cosθ
    double theta = acos(cos_theta);  // θ
    return theta;
}

int main() {
    Vector a = {1, 2};  // 向量a的坐标
    Vector b = {3, 4};  // 向量b的坐标
    double angle = vector_angle(a, b);  // 求向量a和向量b的夹角
    cout << "The angle between vector a and vector b is " << angle << " radians." << endl;
    return 0;
}