多元多项式回归 C++带类详细正确完整实现及案例 变量形式为：vector<vector<double>> X vector<double> y 防止结果出现NAN的情况 并给出五元五阶的例子

好的，让我来回答您的问题。

首先，多元多项式回归是一种机器学习算法，用于建立一个多元函数模型，该模型可以通过给定的自变量来预测因变量的值。在多元多项式回归中，自变量可以是任意维度的向量，因变量可以是标量或向量。在本文中，我们将实现一个多元多项式回归模型，其中自变量和因变量都是向量。

接下来是实现的步骤：

1. 定义多项式函数

我们需要定义一个多项式函数，该函数接受一个向量和一个整数，返回一个多项式的值。这里我们使用一个简单的公式：

$$f(x) = \sum_{i=0}^{n} a_i x^i$$

其中，$a_i$ 是多项式系数，$n$ 是多项式阶数。

在 C++ 中，我们可以使用以下代码来实现多项式函数：

double polynomial(vector<double> x, int order, vector<double> coeffs)
{
    double result = 0.0;
    for (int i = 0; i <= order; i++) {
        result += coeffs[i] * pow(x[0], i);
    }
    return result;
}

在这个函数中，我们使用了 pow() 函数来计算幂次方。

2. 定义多元多项式函数

我们需要定义一个多元多项式函数，该函数接受一个自变量向量和一个多项式系数向量，返回一个因变量的值。这里我们使用一个简单的公式：

$$f(x_1, x_2, ..., x_d) = \sum_{i=0}^{n} a_i \prod_{j=1}^{d} x_j^{b_{ij}}$$

其中，$a_i$ 是多项式系数，$n$ 是多项式阶数，$d$ 是自变量的维数，$b_{ij}$ 是指数矩阵，用于指定每个自变量的幂次方。

在 C++ 中，我们可以使用以下代码来实现多元多项式函数：

double polynomial_multi(vector<double> x, int order, vector<vector<int>> exponents, vector<double> coeffs)
{
    double result = 0.0;
    for (int i = 0; i <= order; i++) {
        double term = coeffs[i];
        for (int j = 0; j < x.size(); j++) {
            term *= pow(x[j], exponents[i][j]);
        }
        result += term;
    }
    return result;
}

在这个函数中，我们使用了 pow() 函数来计算幂次方。

3. 定义多元多项式回归类

我们需要定义一个多元多项式回归类，该类可以接受自变量和因变量的向量，然后使用多项式回归算法来计算多项式系数。在计算多项式系数时，我们需要使用最小二乘法来解决。

在 C++ 中，我们可以使用以下代码来实现多元多项式回归类：

class PolynomialRegression
{
public:
    PolynomialRegression(int order, vector<vector<int>> exponents)
    {
        m_order = order;
        m_exponents = exponents;
    }

    void fit(vector<vector<double>> X, vector<double> y)
    {
        // Create the design matrix
        int n = X.size();
        int d = X[0].size();
        vector<vector<double>> X_design(n, vector<double>(m_order + 1));
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j <= m_order; j++) {
                double term = 1.0;
                for (int k = 0; k < d; k++) {
                    term *= pow(X[i][k], m_exponents[j][k]);
                }
                X_design[i][j] = term;
            }
        }

        // Solve the linear system
        MatrixXd X_mat(n, m_order + 1);
        VectorXd y_vec(n);
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j <= m_order; j++) {
                X_mat(i, j) = X_design[i][j];
            }
            y_vec(i) = y[i];
        }
        VectorXd coeffs_vec = X_mat.colPivHouseholderQr().solve(y_vec);
        m_coeffs = vector<double>(coeffs_vec.data(), coeffs_vec.data() + coeffs_vec.size());
    }

    double predict(vector<double> x)
    {
        return polynomial_multi(x, m_order, m_exponents, m_coeffs);
    }

private:
    int m_order;
    vector<vector<int>> m_exponents;
    vector<double> m_coeffs;
};

在这个类中，我们使用了 Eigen 库来解决线性系统。我们还定义了一个 predict() 函数，该函数接受一个自变量向量，并返回一个因变量的预测值。

4. 定义一个五元五阶的例子

现在，我们来定义一个五元五阶的例子，其中自变量和因变量是随机生成的：

int main()
{
    int n = 1000;
    int d = 5;
    int order = 5;

    // Generate random data
    vector<vector<double>> X(n, vector<double>(d));
    vector<double> y(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < d; j++) {
            X[i][j] = ((double) rand() / RAND_MAX) * 10.0 - 5.0;
        }
        y[i] = sin(X[i][0]) + cos(X[i][1]) + exp(X[i][2]) + pow(X[i][3], 2) + pow(X[i][4], 3) + ((double) rand() / RAND_MAX) * 0.1;
    }

    // Define the exponents matrix
    vector<vector<int>> exponents(order + 1, vector<int>(d));
    for (int i = 0; i <= order; i++) {
        for (int j = 0; j < d; j++) {
            exponents[i][j] = i;
        }
    }

    // Fit the model
    PolynomialRegression model(order, exponents);
    model.fit(X, y);

    // Make a prediction
    vector<double> x(d);
    for (int j = 0; j < d; j++) {
        x[j] = ((double) rand() / RAND_MAX) * 10.0 - 5.0;
    }
    double y_pred = model.predict(x);

    cout << "Coefficients: " << endl;
    for (int i = 0; i <= order; i++) {
        cout << "a_" << i << " = " << model.get_coeff(i) << endl;
    }
    cout << "Prediction: " << y_pred << endl;

    return 0;
}

在这个例子中，我们生成了一个包含 1000 个样本的数据集，其中自变量有 5 个维度，因变量是一个标量。我们使用 sin、cos、exp、pow 等函数来生成因变量。我们还定义了一个五元五阶的多项式，然后使用多项式回归算法来计算多项式系数。最后，我们使用 predict() 函数来预测一个新的自变量，并打印出预测结果和多项式系数。

希望这个实现能够帮助您理解多元多项式回归算法的实现。