.编写程序，给定一个整数，写出一个递归函数来判断它是否是3的幂次方。

要编写一个递归函数来判断一个整数是否是3的幂次方，我们首先需要理解3的幂次的特点。3的幂次（例如3^0, 3^1, 3^2, ...）只能是0、1、2的倍数，因为任何其他奇数指数都会得到一个奇数，而3除以奇数必然余1，因此不可能得出3的幂次。所以我们可以创建一个递归函数，检查这个数是否可以表示成2乘以某个3的幂次方加上1或者减去1（即2^(k-1)*3或者2^(k-1)*3 + 2的形式），若可以，则说明它是3的幂次方。

以下是使用Python编写的递归函数示例：

def is_three_power_of_two(n):
    # 基线条件：0和1本身就是3的幂次方（1 = 3^0）
    if n == 0 or n == 1:
        return True
    # 如果n能被3整除，并且商也是3的幂次方（即n = 3^(k+1)）
    elif n % 3 == 0 and is_three_power_of_two(n // 3):
        return True
    # 否则，n不是3的幂次方
    else:
        return False

# 测试函数
number = int(input("请输入一个整数："))
if is_three_power_of_two(number):
    print(f"{number}是3的幂次方")
else:
    print(f"{number}不是3的幂次方")

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在C语言中，我们可以使用递归的方式来计算一个整数x的n次方，并对结果取模1003。下面是一个简单的递归函数示例：

#include <stdio.h>

// 定义递归函数，计算x^n mod 1003
int powerMod(int x, int n, int modulo) {
    if (n == 0) // 基本情况：0次幂等于1，对mod取余操作结果不变
        return 1;
    else if (n % 2 == 0) // 如果n是偶数，递归地将x平方并缩小n的一半
        return (powerMod(x, n / 2, modulo) * powerMod(x, n / 2, modulo)) % modulo;
    else // 如果n是奇数，先乘以x再递归地计算n-1次幂
        return (x * powerMod(x, n - 1, modulo)) % modulo;
}

int main() {
    int x = 2; // 要计算的底数
    int n = 5; // 次幂
    int modulo = 1003; // 取模值

    printf("(%d)^%d mod 1003 = %d\n", x, n, powerMod(x, n, modulo));
    return 0;
}

这个程序首先检查基本情况（n为0），然后处理奇数和偶数的情况。对于偶数n，它会将问题简化为求x^(n/2)两次的结果；对于奇数n，它先乘以x，然后再递归计算(n-1)次幂。

1、给定某数字a(1a≤9) 以及非负整数 (0n≤1000)，求数列之和sum=a+aa+aaa+..+aaa (n个a)。要求: 采用递归函数方法实现。

可以定义一个递归函数来求解这个数列之和：

def recursive_sum(a, n):
    if n == 0:
        return 0
    return a * (10**(n-1)) + recursive_sum(a, n-1)

其中，a表示给定的数字，n表示数列的长度。递归的终止条件是当n为0时，返回0；否则，递归调用自身求解前n-1个数的和，并将结果与当前的数相加。具体来说，对于一个长度为n的数列，第i个数为ai，则有：

$$sum = a_1 + 10a_1 + 100a_1 + \cdots + 10^{n-1}a_1 + a_2 + 10a_2 + \cdots + 10^{n-1}a_2 + \cdots + a_n + 10a_n + \cdots + 10^{n-1}a_n$$

我们可以观察到，对于每一个ai，它的系数都是10的i-1次方。因此，我们可以通过递归来实现这个求和过程。