二次型在单位球面上的最小值
时间: 2024-05-29 22:09:44 浏览: 25
设二次型 $Q(x)$ 的矩阵为 $A$,则单位球面上的点 $x$ 满足 $\|x\|=1$。由于 $Q(\lambda x)=\lambda^2 Q(x)$,不妨假设 $x$ 在某个方向上取到最小值,即 $x=e_1=(1,0,\dots,0)^T$。则有:
$$
Q(x)=x^T A x=a_{11}
$$
因此,问题转化为求矩阵 $A$ 的主元 $a_{11}$。设 $A_1$ 为矩阵 $A$ 的第一行和第一列去掉后的子矩阵,则有:
$$
a_{11}=\min_{\|x\|=1} x^T A x=\min_{\|x\|=1} x_1^2+x_1 A_1 x_1
$$
记 $B=A_1$,则有:
$$
a_{11}=\min_{x_1^2+\|y\|^2=1} x_1^2+x_1 B x_1=(\min_{t\in\mathbb{R}} t^2+tBt)+\min_{\|y\|=1} y^T B y
$$
其中 $y$ 是 $B$ 的一个单位特征向量。由于 $B$ 是对称矩阵,所以可以对它进行对角化,即 $B=QDQ^T$,其中 $D$ 是对角矩阵,$Q$ 是正交矩阵,满足 $Q^TQ=I$。令 $z=Q^T y$,则有 $\|z\|=1$,且:
$$
y^T B y=y^T QDQ^T y=z^T D z=\sum_{i=1}^n d_{ii}z_i^2
$$
因此,问题转化为求对角矩阵 $D$ 的最小特征值 $d_{\min}$,以及矩阵 $tI+B$ 的最小特征值 $t_{\min}$。由于 $B$ 是实对称矩阵,所以存在一组正交基使得 $B$ 在这组基下是对角矩阵,因此 $d_{\min}$ 就是 $B$ 的最小特征值。而 $t_{\min}$ 可以通过求解下面的一元二次方程得到:
$$
\det(tI+B)=0
$$
即:
$$
t^n+\operatorname{tr}(B)t^{n-1}+\cdots+\det(B)=0
$$
由于 $B$ 的特征值为 $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n$,则有 $\det(B)=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n$,$\operatorname{tr}(B)=\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n$,因此 $t_{\min}$ 就是 $t$ 的最小正根。最后,将 $a_{11}$ 的表达式代入上式即可得到二次型在单位球面上的最小值。
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