利用MATLAB判定正定二次型

要判断一个二次型是否为正定二次型，可以使用以下步骤：

1. 将二次型化为矩阵形式：设二次型为 $Q(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j$，则对应的矩阵为 $A=(a_{ij})$。

2. 判断矩阵 $A$ 是否为对称矩阵，若不是，则该二次型不是正定二次型。

3. 计算 $A$ 的所有顺序主子式，即 $D_k=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1k} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2k} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kk}\end{vmatrix}$，其中 $k=1,2,\cdots,n$。

4. 如果所有顺序主子式 $D_k$ 的符号均为正，则该二次型为正定二次型；如果 $D_k$ 的符号交替出现，则该二次型为不定二次型；如果存在某个 $D_k$ 的符号为负，则该二次型为负定二次型。

在MATLAB中，可以使用以下代码来实现上述步骤：

% 定义二次型的系数矩阵
A = [1 2 3; 2 5 6; 3 6 9];

% 判断矩阵是否为对称矩阵
if ~isequal(A, A')
    disp('该二次型不是正定二次型');
    return;
end

% 计算顺序主子式
n = size(A, 1);
D = zeros(1, n);
for k = 1:n
    D(k) = det(A(1:k, 1:k));
end

% 判断二次型类型
if all(D > 0)
    disp('该二次型为正定二次型');
elseif all(mod(1:n, 2) == 1 & D < 0) || all(mod(1:n, 2) == 0 & D > 0)
    disp('该二次型为不定二次型');
elseif any(D < 0)
    disp('该二次型为负定二次型');
end

其中，`isequal(A, A')`用于判断矩阵 $A$ 是否为对称矩阵，`det(A(1:k, 1:k))`用于计算顺序主子式 $D_k$，`all(D > 0)`表示所有顺序主子式的符号均为正，`all(mod(1:n, 2) == 1 & D < 0) || all(mod(1:n, 2) == 0 & D > 0)`表示顺序主子式的符号交替出现，`any(D < 0)`表示存在某个顺序主子式的符号为负。