证明实二次型正定的充要条件是顺序主子式大于零
时间: 2023-05-28 21:02:37 浏览: 131
证明:
设实二次型为$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$
其中,$a_{ij}=a_{ji}, i,j=1,2,\cdots,n$
假设$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$正定,则对于任意的非零向量$(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T$,有$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)>0$
因为$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$是正定的,所以对于任意的$n-1$维非零向量$(x_1,x_2,\cdots,x_{i-1},0,x_{i+1},\cdots,x_n)^T$,都有$f(x_1,x_2,\cdots,x_{i-1},0,x_{i+1},\cdots,x_n)>0$
于是,令$x_i=1, x_j=0(j\neq i)$,则有:
$$f(0,0,\cdots,0,1,0,\cdots,0)>0$$
其中,$1$在第$i$项。根据$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$的展开式,可知:
$$f(0,0,\cdots,0,1,0,\cdots,0)=a_{ii}>0$$
即$a_{ii}$为$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$的第$i$个顺序主子式,所以所有的顺序主子式大于零是实二次型正定的充分条件。
下证所有的顺序主子式大于零是实二次型正定的必要条件:
假设存在一个顺序主子式$a_1>0$,但存在某个顺序主子式$a_k\leq0(k\geq2)$,则将第$k$行第$k$列的元素设为$t$,即$a_{kk}=t$。将这一行与这一列所对应的元素加到顺序主子式$a_{k-1}$上,则
$$a_{k-1}'=a_{k-1}+\sum\limits_{i=1}^{k-1}a_{ki}^2/t$$
展开这个式子,化简可得
$$a_{k-1}'=\begin{vmatrix}a_1 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ 0 & \cdots & 1/t & \cdots & a_{k-1}/t \\ \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & a_{k-1}/t & \cdots & a_{k-1}^2/t^2+t \end{vmatrix}$$
根据行列式的性质,有$a_{k-1}'\leq a_1a_2\cdots a_{k-1}/t^{k-1}<0$,这与所有的顺序主子式大于零的条件矛盾。
因此,所有的顺序主子式大于零是实二次型正定的必要条件。证毕。