设A={1,2,3},则A的共有等价关系
时间: 2023-08-30 20:12:25 浏览: 65
A的共有等价关系可以通过划分A中的元素为等价类来定义。因为A中只有三个元素,所以A的共有等价关系可以有三种划分方式:
1. 划分为三个单元素等价类:{{1},{2},{3}}
2. 划分为两个等价类:{{1,2},{3}}
3. 划分为一个等价类:{{1,2,3}}
这三种划分方式都是合法的共有等价关系。其中第一种划分方式是最细粒度的划分,每个元素都是一个等价类;第二种划分方式将1和2划分到了同一个等价类中,将3划分到了另一个等价类中;第三种划分方式将A中的所有元素都划分到了同一个等价类中。
相关问题
设A={1,2,3},则A的共有等价关系有几个
A的共有等价关系的数量可以通过 Bell 数来计算。Bell 数表示将一个集合划分为若干个不同的非空子集的方案数,记为Bn。当n=3时,B3=5,也就是将一个大小为3的集合划分为不同非空子集的方案数为5。因此,A的共有等价关系的数量为5。这五种共有等价关系分别是:
1. 划分为三个单元素等价类:{{1},{2},{3}}
2. 划分为两个等价类:{{1,2},{3}}和{{1,3},{2}}
3. 划分为两个等价类:{{1},{2,3}}和{{2},{1,3}}
4. 划分为一个等价类:{{1,2,3}}
这些划分方式都是 A 的共有等价关系,它们之间没有任何先后关系,因此它们共同构成了 A 的所有共有等价关系的集合。
设A={1,2,3,4,5},在P(A)上定义关系。R为一个等价关系,共有几个不同的等价类 ,并说出理由
在P(A)上定义关系R:对于S,T属于P(A),S R T 当且仅当S和T的交集非空。
我们需要证明R是一个等价关系:
1. 自反性:对于任意的S属于P(A),S和S的交集非空,因此S R S,满足自反性。
2. 对称性:对于任意的S,T属于P(A),若S R T,则S和T的交集非空,即T和S的交集也非空,因此T R S,满足对称性。
3. 传递性:对于任意的S,T,U属于P(A),若S R T且T R U,则S和T的交集、T和U的交集都非空,因此S和U的交集也非空,即S R U,满足传递性。
因此,R是一个等价关系。
由于A中有5个元素,因此P(A)中共有2^5=32个元素。由于等价类的定义是所有元素之间关系具有对称性、传递性和自反性,因此等价类的划分是一组非空子集,其中每个子集都是包含在P(A)中的元素的集合,并且这些子集之间互不相交,且它们的并集是P(A)。因此,等价类的数量等于所有可能的非空子集数目。
对于一个具有n个元素的集合,其非空子集的数量为2^n-1。因此,对于A集合,其非空子集的数量为2^5-1=31。因此,A集合的任意划分都有31个不同的等价类。
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