在限制条件:2x+y=2下,如何用拉格朗日数乘法求函数:z=4-xx-2y*y在何处取得最大值
时间: 2024-06-03 16:10:10 浏览: 11
根据拉格朗日数乘法可得,设拉格朗日乘数为 λ,则构造拉格朗日函数:
L(x,y,λ)=4-x^2-2y^2+λ(2x-2y)
求偏导数并令其为0,可得:
∂L/∂x = -2x + 2λ = 0
∂L/∂y = -4y + 2λ = 0
∂L/∂λ = 2x - 2y = 0
解得:
x = y, λ = x
代入原函数可得:
z = 2(2-x^2)
此时限制条件为2x y=2,带入可得:
y = 1/x
代入上式可得:
z = 2(2-x^2) = 2(2-2y^2) = 4-4/y^2
当 y^2 最小时,即函数 z 取得最大值,此时 y = 1,代入可得:
z = 4
因此,函数 z 在 y=1 处取得最大值 4。
相关问题
使用拉格朗日数乘法,在约束条件 x^2 + ^2 ≤ 1 下,求函数 f ( x , y ) = 3 x + 4 y 的最大值和最小值。
### 回答1:
首先,我们需要构建拉格朗日函数:
L(x, y, λ) = 3x^4y + λ(x^2 + y^2 - 1)
然后,我们需要求解以下方程组:
∂L/∂x = 12x^3y + 2λx = 0
∂L/∂y = 3x^4 + 2λy = 0
∂L/∂λ = x^2 + y^2 - 1 = 0
解这个方程组可以得到以下三个解:
解1:x = 0,y = -1,λ = 9/4
解2:x = 0,y = 1,λ = 9/4
解3:x = 1/√2,y = 1/√2,λ = -27/16
接下来,我们需要判断哪个解是最大值,哪个解是最小值。我们可以通过计算二阶偏导数来判断:
Lxx = 72x^2y + 2λ
Lyy = 2λ + 12x^4
Lxy = 12x^3
对于解1和解2,二阶偏导数矩阵都为:
[2λ 0]
[0 36]
因此,它们都是驻点。
对于解3,二阶偏导数矩阵为:
[-27/2 9/2√2]
[9/2√2 -27/2]
这个矩阵的特征值为-27/2和0,因此这个解是鞍点。
最后,我们只需要计算函数在解1和解2处的函数值,就可以得到最大值和最小值:
最大值:f(0,-1) = 0
最小值:f(0,1) = 0
因此,函数在约束条件 x^2 + y^2 ≤ 1 下取得最大值和最小值都为0。
### 回答2:
根据拉格朗日数乘法,我们可以通过引入拉格朗日乘子λ来求解该问题。
首先,我们定义拉格朗日函数L(x, y, λ)为:
L(x, y, λ) = f(x, y) + λ(g(x, y) - 1)
其中,f(x, y) = 3x^2 + 4y^2,g(x, y) = x^2 + y^2 - 1为约束条件。
根据拉格朗日数乘法的原理,对L(x, y, λ)分别求偏导,并令其等于0,可以得到以下方程组:
∂L/∂x = 6x + 2λx = 0
∂L/∂y = 8y + 2λy = 0
g(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0
将上述方程组联立求解,可以得到两组解:
解1:x = 0、y = ±1,此时,λ的值可以任意取。
解2:x = ±0.8944、y = ±0.4472,此时,λ的值可以任意取。
接下来,我们将求得的解代入原函数f(x, y)中计算,将得到的值与原最大值和最小值进行比较。
解1代入f(x, y)可以得到f(0, 1) = 4,f(0, -1) = 4。
解2代入f(x, y)可以得到f(-0.8944, 0.4472) ≈ 5.1211,f(0.8944, 0.4472) ≈ 5.1211,f(-0.8944, -0.4472) ≈ 5.1211,f(0.8944, -0.4472) ≈ 5.1211。
综上所述,函数f(x, y) = 3x^2 + 4y^2,在约束条件x^2 + y^2 ≤ 1下,最大值为5.1211,最小值为4。
求约束优化问题:minf(x)=x^4-2*x^2*y+x^2+2*y^2-2*x*y+(9/2)*x-4*y+4;条件为x+y=4;用MATLAB可运行代码实现
下面是 MATLAB 可运行代码实现:
```matlab
syms x y lambda
f = x^4 - 2*x^2*y + x^2 + 2*y^2 - 2*x*y + (9/2)*x - 4*y + 4;
g = x + y - 4;
L = f + lambda*g;
grad = [diff(L, x); diff(L, y); diff(L, lambda)];
vars = [x, y, lambda];
eqns = [grad == 0, g == 0];
[xsol, ysol, lambdasol] = solve(eqns, vars);
minf = subs(f, [x, y], [xsol, ysol]);
minf = double(minf);
```
这里使用符号计算工具箱中的 `syms` 声明符号变量,然后定义目标函数 $f$ 和约束条件 $g$,构建拉格朗日函数 $L$,计算 $L$ 对 $x$、$y$、$\lambda$ 的导数,然后求解方程组得到最优解 $(x^*, y^*)$ 和 $\lambda^*$,最后计算目标函数在最优解处的取值。
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