求1+11+111+1111+…+11….11（n个1）的和除以7的余数是多少？

这个数列可以写成：1，11，111，1111，……，11……11（n个1）。

我们可以发现，每一项都是前一项乘以10再加1，即：

11 = 1 × 10 + 1
111 = 11 × 10 + 1
1111 = 111 × 10 + 1
……
11……11（n个1）= 11……11（n-1个1）× 10 + 1

因此，这个数列的通项公式为：

an = 1 + 11 + 111 + 1111 + …… + 11……11（n个1）
= 1 × (10^0 + 10^1 + 10^2 + …… + 10^(n-1)) + 11 × (10^1 + 10^2 + …… + 10^(n-1)) + …… + 11……11（n-1个1）× 10^(n-1)
= (10^0 + 10^1 + 10^2 + …… + 10^(n-1)) + 10(10^1 + 10^2 + …… + 10^(n-2)) + …… + 10^(n-1)

这是一个等比数列，首项为1，公比为10，共有n项。因此，它的和为：

Sn = (10^n - 1) / 9

我们要求这个和除以7的余数，可以先求出它除以9的余数，再根据同余定理求出除以7的余数。

(10^n - 1) / 9 = (9 + 1)^n - 1) / 9
= C(n,0) × 9^(n-0) + C(n,1) × 9^(n-1) + …… + C(n,n-1) × 9^1 + C(n,n) × 9^0

其中，C(n,k)表示从n个不同元素中取k个元素的组合数。由于9除以7的余数为2，因此，我们只需要求出每一项的系数除以7的余数，再将它们相加，就可以得到Sn除以7的余数。

C(n,0) × 9^(n-0) ≡ 1 × 2^(n-0) (mod 7)
C(n,1) × 9^(n-1) ≡ n × 2^(n-1) (mod 7)
C(n,2) × 9^(n-2) ≡ C(n,2) × 4^(n-1) ≡ (n × (n-1) / 2) × 2^(n-2) (mod 7)
C(n,3) × 9^(n-3) ≡ C(n,3) × 8^(n-1) ≡ (n × (n-1) × (n-2) / 6) × 2^(n-3) (mod 7)
……
C(n,n-1) × 9^1 ≡ C(n,n-1) × 2^(n-1) (mod 7)
C(n,n) × 9^0 ≡ 1 × 1 (mod 7)

因此，Sn除以7的余数为：

Sn ≡ (1 × 2^(n-0) + n × 2^(n-1) + (n × (n-1) / 2) × 2^(n-2) + (n × (n-1) × (n-2) / 6) × 2^(n-3) + …… + C(n,n-1) × 2^(n-1) + 1) (mod 7)

这个式子可以用递归的方法求解。当n=1时，Sn=1，余数为1；当n>1时，Sn的余数等于Sn-1的余数乘以2加上n乘以2^(n-1)的余数再加1的余数。

Python代码如下：