|C| ≤ |A| ∧ |C| ≤ |B| "∧ "这个符号什么意思

时间: 2024-06-15 12:03:30 浏览: 194

研究简报图K2∧Km,n的优美性 (2004年)

### 图K2∧Km,n的优美性研究 #### 概述在图论领域，图的优美性是一个重要的研究方向。它不仅具有理论意义，还在实际应用中有广泛的应用前景，如编码设计、变压器箱设计、晶体结构中原子位置的测定以及导弹控制码的设计等。本文针对一类特殊的图——K2∧Km,n——探讨了其优美性，并通过构建特定的标号函数来证明这一性质。 #### 图的优美性定义在讨论图的优美性之前，我们首先需要明确几个基本概念： - **图**：由顶点集和边集构成的一种数据结构。 - **简单图**：指没有自环且任意两个顶点间至多有一条边的图。 - **完全图**：指任意两个不同顶点间都有一条边相连的图。 - **完全二分图**：顶点可以分为两个互不相交的集合，使得每一条边都是连接这两个集合中顶点的图。对于一个简单无向图\( G(V,E) \)，如果存在一种顶点标号方法\(\theta(v)\)（\( v \in V \)），满足以下三个条件，则称\( G \)为**优美图**： 1. 对于任意两个不同的顶点\( u, v \in V \)，它们的标号也不同，即\(\theta(u) \neq \theta(v)\)。 2. 最大的顶点标号等于图的边数，即\(\max\{\theta(v) | v \in V\} = |E|\)。 3. 对于任意两条不同的边\( e_1, e_2 \in E \)，它们的边标号也不同，即\(\theta'(e_1) \neq \theta'(e_2)\)，其中边标号\(\theta'(e) = |\theta(u) - \theta(v)|\)，\( e = uv \)。 #### 定义及符号 - **K2∧Km,n**：这类图是由两个不相交的简单图K2和Km,n通过边连接而形成的。具体来说，K2中的每个顶点与Km,n中的所有顶点都通过边相连。 - **Km,n**：表示完全二分图，其顶点可以分为两个互不相交的集合，分别包含m个和n个顶点，且每个集合中的顶点与另一个集合中的所有顶点都有边相连。 #### K2∧Km,n的结构描述考虑图\( K2∧Km,n \)，其顶点集为\( V(K2∧Km,n) = \{C, D, B_j, A_i | i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2, ..., m\} \)，其中\( C \)和\( D \)来自\( K2 \)，\( B_j \)和\( A_i \)分别来自\( K_m \)和\( K_n \)。边集为\( E(K2∧Km,n) = \{CD, CB_j, CA_i, DA_i, DB_j, B_jA_i | i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2, ..., m\} \)。因此，\( K2∧Km,n \)的顶点数和边数分别为\( m + n + 2 \)和\( m(n + 2) + 2n + 1 \)。 #### K2∧Km,n的优美性证明为了证明\( K2∧Km,n \)是优美图，我们需要构建一个顶点标号函数\( f(v) \)来满足上述优美性的三个条件。定义该标号函数如下： - \( f(C) = 0 \) - \( f(D) = 2n + 1 + m(n + 2) \) - \( f(A_i) = 2n + 1 + m(n + 2) - i \) （\( i = 1, 2, ..., n \)） - \( f(B_j) = n + 1 + (j - 1)(n + 2) \) （\( j = 1, 2, ..., m \)）接下来验证这个标号函数是否满足优美图的三个条件： 1. **不同的顶点，顶点标号各不相同**：根据定义很容易看出，不同的顶点拥有不同的标号。 2. **最大顶点标号等于边数**：\( \max\{f(v) | v \in V\} = f(D) = 2n + 1 + m(n + 2) = |E| \)。 3. **不同的边，边标号也不同**：定义边标号函数\( f'(e) \)为\( e \)两端顶点标号之差的绝对值。根据\( f(v) \)的定义，可以确保所有边的边标号均不相同。通过以上分析，我们可以得出结论：对于所有的正整数\( m, n \in \mathbb{N}^+ \)，图\( K2∧Km,n \)是优美图。 #### 结论通过对图\( K2∧Km,n \)的优美性的研究，我们不仅加深了对图论中优美图的理解，还提供了一种有效的标号方法来证明特定类型图的优美性。这项研究不仅具有理论价值，也为实际应用提供了基础。

这个符号 "∧" 是逻辑运算符中的"与"操作符，表示两个条件同时成立。在这个表达式中，|C| ≤ |A| ∧ |C| ≤ |B| 表示"C的基数小于等于A的基数，并且C的基数小于等于B的基数"。基数是集合中元素的个数，所以这个表达式可以理解为"C集合的元素个数小于等于A集合的元素个数，并且C集合的元素个数小于等于B集合的元素个数"。

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|C| ≤ |A| ∧ |C| ≤ |B| "∧ "这个符号什么意思

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